数列求通项公式及求和的方法
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数列专题
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数列求通项公式及求和的方法
<
/p>
考点
1
求通项公式
1
、公式法：已知数列｛
a
n
｝为等差或等比数列，根据通项公式
a
n
=a
1
+(n-
1)d
或
a
n
=a
1
q
n-1
进行求解
.
例
1
< br>：已知｛
a
n
｝是一个等差数列
，且
a
2
=1,a
5
=-5
，求｛
a
n
｝的通项公式
.
变式
已知等差数列
< br>
a
n
中，
a
10
28
,
S
6
51
,
求数列
a
n
的
通项公式。
2
、前
< br>n
项和法：已知数列｛
an
｝的
前
n
项和
Sn
的解析式，求
a
n
.
例
2
：已知数列｛
an
｝的前
n
项和
Sn=
2n-1
，求通项
a
n
.
变式
已知下列各数列<
/p>
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
的公式为
S
n
＝
3
n
2
2
n
(
n
N
< br>)
，求
{
a
n
}
的通项公式。
3
、
sn
与
an
的关系式法：已知数列｛
an
｝的前
n
项和
sn
与通项
an
的关系式，求
an
例
3
：已知数列｛
an
｝的前
n
项和
sn
满足
an+1=sn
，其
中
a1=1
，求
an.
变式
已知
{
a
n
}
中，<
/p>
a
n
1
n
a
n
，且
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
n
2
4
、累加法：当数列｛
an
｝中有
an-an-1=f(n)
，即第
n
< br>项与第
n-1
项的差是个有“规律”的数时，就可以用这
种方
法
.
例
4
：
a1=0,
an+1=an+2(n-1)
，求通项
an
变式
已知数列
{
a
n
}
的
首项
a
1
1
，且
a
n
<
/p>
a
n
1
3(
n
2)
，则
a
n
．
5
、累乘法：当数列｛
an
｝中有，即第
n
项与第
n-1
项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法
.
例
5
：
a1=1,an
=a
n-1
(n),
求通项
an
6
、构造法：
<
/p>
（
1
）、配常数法：在数列｛
an
｝中有
an=kan-1+b
（
k,b
均为常数且
k
≠
0
），从表面形式上来看
< br>an
是关于
an-1
的
1
“一次函数”的形式，这时用下面的方法
:
一般化方法：设
an +m=k(an-1+m)
则
{an
+m}
成等比数列
例
6
：已知
a1=1,an=2an-1+1(n2),
求通项
an
（
2
）配一次函数法：在数列
{an}
中有
an=kan-1+bn+c
（
k
,b,c
均为常数且
k
≠
0
），这时用下面的方法
:
一般化方法：设
an+tn+u=k(an-1+t(n-1)+u)
则
{an+tn+u}
成等比数列
例
7
：已知
a1=1,an=2an-1+3n-2
(n2),
求通项
an
(3)
、取倒数法：这种方法适用于
an= , (
n2)
（
k,m,p
均为常数
m
≠
0
），两边取倒数
后得到一个新的特殊
(
等差或等
比
)
数列或类似于
an=kan-1+b
的式子
.
例
8<
/p>
：已知
a1=2,an=
(n2),
求通项
an
(4)
取对数法：一般情况下适用于（
k,l
为非零
常数）
例
9
：已知
a1=3,an (n2)
求通项
an
考点
2
数列求和
< br>（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项 的和易于
求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式
S
n
n
< br>(
a
1
a
n
)
2
的
推导。
{
a
n
b
n
}<
/p>
的前
n
项
（二）错位相减法：这是推导等比数列的前
< br>n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
和，
其中
{
a
n
}
、
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列。
（三）分组求和法
所谓分组求
和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。
1
a
n
n
(
)
n
1
{
a
}
S
2
例
3
．
已知数列
n
满足
，求其前
n
< br>项和
n
。
（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如
< p>1
2
3
n
n
(
n
1
)<
/p>
1
1
2
2
2
3
2
n
2
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
2
、
6
等公式。
2