数列、求导公式
-
数列的一般形式可以写成
a1
，<
/p>
a2
，
a3
，„
，
an
，„
简记为｛
an
｝，
项数
有限的数列为“
有穷数列
”（
finite
< br>sequence
），
项数无限的数列为“
无穷数列
”（
infinite
sequence
）。
从第
2
项起
，
每一项都大于它的前一项的数列叫做
递增数列
；
如：
1,2,3
，
4,5,6,7
从第
2
项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做
递减数列
；如：
8,7,6,5,4,3,2,1
,
从第
2
项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫
做
摆动数列
；
各项呈周期性变化的数列叫做
周期数列（如三角函数）
；
各项相等的数列叫做
常数列
。如：
2,2,2,2,2,2,2,2,2
,
。
通项公式
：数列的第
N
项
an
与项的序数
n
之间的关系可以用一个公式
表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
递推
公式：如果数列｛
an
｝的第
n
项与它前一项或几项的关系可以用一
个式子来表示，那么这个公式叫做
这个数列的
递推公式
。
数列中数的总数为数列的
项数
。特别地，数列可以看成以正整数集
N*<
/p>
（或它的有限子集｛
1
，
2
，„，
n
｝）为定义域的函
数
an=f(n)
。
如果可以用一个公式来表示
,
则它的通项公式是
a(n)=f(n).
编辑本段
表示方法
如果数列｛
an
｝的第
n
项与序号
n
之间的关系可以
用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的
通项公式
。如
an=(-1)^(n+1)+1
如果数列｛
an
｝的第
n
项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表<
/p>
示，那么这个公式叫做这个数列的
递推公式
。如
an=2a(n-1)+1 (n>1)
等差数列
定义
<
/p>
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一
项与它的前一项的差等于同一
个常数，这个数列就叫做
等差数列
（
arithmetic sequence
）
，这个常数叫
做等差数列的
公差（
common difference
）
，公差通常用字母
d
表示。
缩写
<
/p>
等差数列可以缩写为
A.P.
（
Arithmetic
Progression
）。
等差中项
由三个数
a
，
A
，
b
组成的等差数列可以堪称最简单
的等差数列。这时，
A
叫做
a
与
b
的
等差中项（
arithmetic
mean
）
。
有关系：
A
＝（
a
＋
b
）
/2
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-
1) (n≥2)
an=kn+b(k,b
为常数
)
前
n
项和
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
<
/p>
且任意两项
am
，
an
的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前
n
项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a
3+an-
2=„=ak+an
-k+1
，k∈{1,2,„,n}
若
m
，
n
，
p
，q∈N*，且
m+n=p+q
，则有
am+an=ap+aq
S2n-1=(2n-1)an
，<
/p>
S2n+1=(2n+1)an+1
Sk
，
S2
k-Sk
，
S3k-S2k
，„，
Snk-S(n-
1)k„成等差数列，等等。
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项
-
首项）÷公差＋
1
首项
=2
和÷项数
-
末项
末项
=2
和÷项数
-
首项
设
a1,a2,a3
为等差数列。则
a2
为等差中项
,
则
2
倍的
a2
等于
a1+a3
，
即
2a2=a1+a3
。
应用
<
/p>
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，
当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，
常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有
an=m,am=n.
则
a(m+n)
＝
0
。
等比数列
定义
<
/p>
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一
项与它的前一项的比等于同一
个常数，这个数列就叫做
等比数列
（
geometric
sequen
ce
）
。这个常数叫做
等比数列的
公比（
common ratio
）
，公比通常用字母
q
表示。
< br>
缩写
等比数列可以缩写为
G.P.
（
Geometric
Progression
）。
等比中项
如果在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的
等比中项
。
有关系：
G^2
＝
ab
；
G
＝±(ab)^(1/2)
注：两个非零同号的
实数
的等比中项有
两个，它们互为相反数，所以
G^2=ab
是
< br>a,G,b
三数成等比数列的必要不充分条件。
通项公式
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-
1) (n≥2)
前
n
项和
当
q≠1
时，等比数列的前
n
项和的公式为
Sn=a
1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-
q) (q≠1)
性质
任意两项
am
，
an
的关系为
an=am·q^(
n
-m)
（
3
）从等比数列的定义、通项公式、前
< br>n
项和公式可以推出：
a1·
an=a2·an
-
1=a3·an
-
2=„=ak·an
-k+1
，k∈{
1,2,„,n}
（
4
）等比中项：aq·ap=ar^2，
ar
则为
ap
，
aq
等比中项。
记
π
n=a1·a2„an，则有
π
2n-1=
(an)2n-1
，
π
2n+1=(a
n+1)2n+1
另外，
一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数
列；
反之，
以任一个正数
C
为底，
用一个等差数列的各项做指数构造幂
Can
，
则是等比数列。
在这个意义下，
我们说：
一个正项等比数列与等差数列是“同
构
”的。
性质：
①若
m
、
n
、
p
、q∈N*，且
< br>m
＋
n=p
＋
< br>q
，则
am·an=ap·aq；
②在等比数列中，依次每
k
项之和仍成等比数列
.
“G
是
a<
/p>
、
b
的等比中项”“G^2=ab（G≠
0）”.
(5)
等比数列前
n
项之和
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
在等比数列中，首项
A1
与公比
q
都不为零
.
注意：上述公式中
A^n
表示
A
的
n
次方。
应用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式
---
复利。
即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。