非等差(比)数列通项公式的求法
-
非等差、等比数列通项公式的求法
数列通项公式是给出和研究数列性质的重要形式，也是数列的重要内容；
非等差、等比数列是等差、等比数列的拓宽和延伸，因此，可通过转化为新
的等差、等比
数列求其通项公式；灵活掌握其求法，对提高学生等价转换、
化归等数学思想方法、提高
学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决
问题的能力以及思维的灵活性都具有重要
意义，下面举例说明。
一、
转化为
{
1
2
}
、
{
a
n
}
、
{
a
n
}
等形式的等差、等比数
列再求
a
n
a
n
例
1
在数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
1
,<
/p>
a
n
1
1
a
n
1
1
1
.
a
< br>n
2
2
a
n
，求
a
n
.
2
a
n
解
由已知
得：
∴
{
1
1
}
是以
1<
/p>
为首项，
为公差的等差数列
.
2
a
n
∴
1
1
1
< br>
(
n
1
)
，
a
n
2
2
.
n
1
即
a
n
二、
对于给出
a
n
与
S
n
关系式，求数列通项公式
a
n
例
2
、在数列
< br>{
a
n
}
中，已知
a
1
1
，
2
S
n
a
n
<
/p>
解
当
n
1
时
,
S
1
a
1
1
，
当
n
2
时，
2
S
n
=
S
n
S
n
1
1
.
S
n
S
n
1
- 1 -
1
，
（
a
n
＞
0
< br>）
，求
a
n
a
n
2
2
∴
(
S
n<
/p>
S
n
1
)(
S
n
S
n
1
)
1
< br>，即
S
n
S
n
1
1
.
2
可
见，
{
S
n
}
是以
1
为公差的等差数列
.
2
∴
S
n
=
n
，即
< br>S
n
n
，
1
∴
a
n
n
n
1
（
n
1
）
< br>
(
n
2
)
∵当
n
1
时，
a
n
n
n
1
也成立
.
故所求通项公式为
a
< br>n
n
n
1
.
(
n
1
)
S
1
说明：
给出
a
n
与
S
n
关系式，
要求数列通项公式，
由
a
< br>n
求出
.
S
n
S
n
1
(
n
2
)
三、
几类常见递推数列通项公式的求法
类型Ⅰ
形
如
a
n
1<
/p>
a
n
f
(
n
)
型的递推数列
例
3
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
a
n
a
n
1
1
，求
a
n
n
(
n
1
)
解：
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
< br>
2
)
(
a
n
2
a
n
3
)
(
a
2
a
1
)
< br>
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
< br>
)
1
=
(
n
n
1
n
1
n
n
2
n
1
2
3
3
< br>1
=
.
2
n
1
说明：
a
n
1
a
n
<
/p>
f
(
n
)
型的递推数列可用叠加法：
a
n
(
a
< br>n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
n
2
< br>
a
n
3
)
(
a
2
a
1
)
a
1
=
f
(
n
1
)
f
(
n
2
)
< br>
f
(
n
3
)
f
(
2
)
f
(
1
)
a
1
求得
a
n
.
类型Ⅱ
形如
a
n
1
a
n
< br>f
(
n
)
型的递推数列
- 2 -
例
4
在数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
1
，<
/p>
a
n
2
n
a
n
1
，求
a
n
.
解
a
n
a
n
a
n
1
a
n
2<
/p>
a
2
a
1
a
n
1
a
n
2
a
n
3
a
1<
/p>
=
2
n
2
n
1
2
n
< br>2
2
n
3
2
2
1
2
(
n
1
)(
n
2
)
2
.
说明：形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型的递推数列可用叠
代法：
a
n
a
n
1
a<
/p>
n
2
a
2
a
n
a
1
=
f
(
n
1
)
f
(<
/p>
n
2
)
f
(
n
3
)
f
(
2
)
f
(
1
)
a
1
求得
a
n
a
n
1
a
n
2
a
n
3
a
1
< br>类型Ⅲ
形如
a
n
1
< br>pa
n
q
(
p
1
,
q
0
)<
/p>
型的递推式。
例
5
已知
数列
{
a
n
}
中，
a
1
<
/p>
1
，
a
n
1
2
a
n
1
，求
a
n
.
解一
由<
/p>
a
n
1
2
a
n
1
得
a
n
1
1
2
(
a
n
1
< br>)
即
a
n
1
1
2
.
a
n
1
∴
{
a
n
1
}
是以
a
1
1
为首项，
2
为公比的等比数
列。
∴
a
n
1
2
2
n
1
2
n
，
即
a
< br>n
2
n
1
.
解二
由<
/p>
a
n
1
2
a
n
1
①
得
a
n
2
a
n
1
1
(
n
< br>2
)
②
①
－②
得：
a
n
1
a
n
2
(
a
n
a
n
< br>1
)
∴
a
n
1
a
n
2
a
n
a
n
1
(
n
2
)
< br>，
- 3 -