怎么利用构造法求数列的通项公式
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用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查
的内容，作为两类特殊数列
----
等差数列·等比数列可
直接根据它们的通项公式求解，
但也有一些数列要通过构造转化为等
差数列或等比数列，
之后
再应用各自的通项公式求解，体现化归
思想在数列中的具体应用。
例
1:<
/p>
数列
a
n
中
,
a
1
1
,
a
n
1
< br>
2
a
n
1
则
a
n
(
)
A<
/p>
．
2
n
B
．
2
n
1
C
．
2
n
1
D
．
2
n
1
解法
1
：
a
n
1
2
a
n
1
a
n
1
1
2
a
n
2
2
(
< br>a
n
1
)
又
a
1
1
2
a
n
1
1
a
n
1
< br>
2
a
n
1
是首项为
2
公比为
2
的等比数列
n
1
a
n
1
2
2
2<
/p>
,
a
n
2
1
,
所以选
C
n
n
解法
2
归纳总结：
若数列
a
n
满足
a
n
1
pa
n
q
(
p
1
,
q
为常数）
，
则令
a
n
1
p
(
a
n
< br>)
来构
造等比数列，并利用对应项相等求
的值，求通项公式。
例<
/p>
2
：数列
a<
/p>
n
中，
a
1
1
,
a
2
3
,
a
n
< br>2
3
a
n
1
2
a
n
，则
a<
/p>
n
。
解：
a<
/p>
n
2
a
n
1
2
(
a
n
1
a
n
)
a
2
a<
/p>
1
2
a
n
a
n
1
为首项为
2
公比也为
2
的等比
数列。
a
n
a
n
1<
/p>
2
n
1
，
（
n>1
）
n>1
时
第
1
页
共
7
页
a<
/p>
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
<
/p>
(
a
2
a
1
)
a
1
2
n
1
2
n
n
2
<
/p>
2
1
1
2
1
2
显然
n=1
时满足上式
n
a
n
2
1
2
< br>
1
n
小结：先构造
a
n
1
a
n
等比数列，再用叠加法
,
等比数
列求和求出通项公式，
例
3
：已知数列
a
n
中
a
1
5
,
a
2
2
,
< br>a
n
2
a
n
1
3
a
n
2
,
(
n
3
)
求这个数列的通
项公式。
解：
a
n
2
a
n
1
<
/p>
3
a
n
2
a
n
a
n
1
3
(
a
n
1
a
n
<
/p>
2
)
又
a
1
a
2
7
,
a
n
a
n
1
形成首项为
7
，公比为
3
的等比数列，
n
2
则
a
n
a
n
1
7
3
………………………①
又
a
n
3
a
n
1
(
< br>a
n
1
3
a
n
2
)
，
a
2
3
a
1
13
，
a
n
3
a
n
1
形成了一个首项为—
13
，公比为—
1
的等比数列
n
2
则
a
n
3
a
n
1
(
13
)
(
1
)
………………………②
n
1
n
1
13
(
1
)
①
3
②
4
a
n
7
3
a
n
7
4
3
n
1
13
4
(
1
)
n
1
小结：
本题是两次构造等比数列，
属于构造方面比较级，
最终用加减消元的方法确定出数列的
通
项公式。
n
n
1
例
4
：
设数列
a
n
的前项和为
S
n
,
若
2
a
n
2
S
n
成立，
(1)
求证：
a
n
n
2
是等比数列。
(2)
求这个数列的通项公式
证明：
(1)
当
n
1
,
b
a
1
2
(
b
1
)
< br>a
1
,
a
1
2
第
2
页
共
7
页
又<
/p>
b
a
n
2
n
(
b
1
)
S
n
………………………①
<
/p>
b
a
n
1
2
n
1
(
b
1
)
S
n
1
………………………②
②—①
b
a
n
1
b
a
n
2
n
(
b
1
)
a<
/p>
n
1
a
n
1
b
a
n
2
n
当
b
2
时，有
a
n
1
2<
/p>
a
n
2
n
a
n
1
(
n
1
)
2
n
2
a
n
<
/p>
2
(
n
1
)
2
n
n
2
(
a
n
n
2
n
1
)<
/p>
又
a
1
2
1
1
1
a
n
n
2
n
1
为首
项为
1
，公比为
2
的等比数列，
(2)
a
n
n
2
n
1
2
n
1
,
< br>
a
n
(
n
1
)
2
n
1
小结：本题构造非常特殊，
要注意恰当的化简和提取公因式，
本题集中体现了构造等比数列的价值
与魅力，
同时也彰显构
造思想在高考中的地位和作用。
n
1
例
5
：数列
a
n
满足
a
1
3
,
a
n
1
2
a
n<
/p>
3
2
，则
a
n
A
．
(
3
n
1
< br>)
2
B
．
(
6
n
3
)
2
解：
a
n
1
2
a
n
3
2
<
/p>
a
n
1
2
n
1
n
1
n
n
1
C
．
3
(
2
n
1
)
2
a
n
2
< br>n
n
1
D
．
(
3
n
2
)
2
n
1
,
3
2
a
< br>n
1
2
n
1
3
a
n
2
n
3
,
又
a
1
2
3
a
n
构成了一个首项这
，公差为
< br>3
的等差数列，
n
2
2
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