等差、等比数列性质总结
-
等差数列性质总结
1.
等差数列的定义式：
a
n
a
n
1
d
（
< br>d
为常数）
（
n
2
）
；
< br>
2
．等差数列通项公式：
a
n
a
1
(<
/p>
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
*
)
，
首项
:
a
1
，公差
:d
，末项
:
a
n
a
a
m
推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
．
<
/p>
从而
d
n
；
n
m
3
．等差中项
（
1
）如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
（
2
）等差中项：数列
a
n
是等差数列
2
a
n
a
n
-1
a
n
1
(
n
2,n
N
+
)
2
a
n
1
a
n
a
n
2<
/p>
4
．等差数列的前
n
项和公式：
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
d
1
S
n
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n
An
2
Bn
2
2
2
2
（其中
A
、
B
是常数，所以当
d
≠
0
时，
S
< br>n
是关于
n
的二次式且常数项
为
0
）
特别
地，当项数为奇数
2
n
1
时，
a
n
1
是项数为
2n+1
的等差数列的中间项
S
2
n
1
a
b
或<
/p>
2
A
a
b
2
2
n
1
a
1
< br>
a
2
n
1
2
2
n
1
a
n
1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
乘以中间
项）
5
．等差数列的判定方法
（
1
）
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
< br>(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
（
2
）
等差中项：数列
a
n
是等差数列
< br>2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
< br>a
n
a
n
2
．
⑶数列
a
n
是等差数列
a
n
kn
b
（其中
k
,
b
是常数）。
（
4
）数列
a
n
是等差数列
S
n
An
2
Bn
,
（其中
A
、
B
是常数）。
6
．等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
< br>a
n
d
(
常数
n
N
)
<
/p>
a
n
是等差数列
等差中项性质法：
2
a
n
< br>a
n
-1
a
n
1
(
n
2
，<
/p>
n
N
)
．
7.
提醒：
（
1
）
等差数列的通项公式及前
n
和公式中，
涉及到
5
个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，
其中
a
1
、
d
称作为基本元
素。只要已知这
5
个元素中的任意
3<
/p>
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
。
（
2
）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(
n
1)
d
②奇数个数成等差，可设为„，
a
2
d
,
a
d
< br>,
a
,
a
d
,
a
2
d
„（公差为
d
）
；
③
偶数个数成等差，可设为„，
a
3<
/p>
d
,
a
d
,
a
d
,
a
3
d
,
„（注意；公差为
2
d
）
8.
等差数列的性质：
（
1
）当公差
d
0
时，
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d
；
n
(
n
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
)
n
是关于
n
的二次函数且常数项为
0.
前
n
和
S
n
na
1
< br>
2
2
2
（
2
）若公差
d
0
，则为递增等差数列，若公差
d
0
，则为递减等差数列，若公差<
/p>
d
0
，则
为常数列。
（
3
）当
m
n<
/p>
p
q
时
,
则有
a
m
a
n
a
p
< br>a
q
，特别地，当
m
n
2
p
时，则有
a
m
a
n
< br>2
a
p
.
注：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
，
（
4
）若
a
n
、
b
n
为等差数列，则
a
n
b
，
1
a
n
<
/p>
2
b
n
都为等差数列
(5)
若
{
a
n
}
是等差数列，则
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S<
/p>
2
n
，„也成等差数列
（
6
）数列
{
a
n
}
为等差数列
,
每隔
k(k
N
*
)
项取出一项
(<
/p>
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
3
k
,
)
仍为等差数列
（
7
）设数
列
a
n
<
/p>
是等差数列，
d
为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是前
n
项
的和
当项数为偶数
2
n
时，
S
< br>奇
a
1
a
3
a
5
a
2
n
1
n
a
1
a
2
n
1
< br>
na
n
2
n
a
2
a
2<
/p>
n
S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2
n
na
n
1
2
S
偶
S
奇
na
n
1
na
n
n
a
n
1
a
< br>n
n
d
na
n
1
a
n<
/p>
1
S
奇
na
n
a
n
当项数为奇数
2
n<
/p>
1
时，则
<
/p>
S
偶
S
偶
n
S
2
n
1
S
奇
S
偶
(2
n
1
)
a
n+1
S
奇
(
n<
/p>
1)
a
n+1
S
S
a
S
na
S
n
1
n+1
n+1
奇
偶
偶
奇
（其中
a
n+1
是项数为
2n+1
的等差数列的中间项）
．
A
（
8
< br>）
{
b
n
}
的前
n
和分别为
< br>A
n
、
B
n
，且
n
f
(
n
)
，<
/p>
B
n
a
(2
n
1)
a
n
A
2
n
1
则
n
f
(2
n
1)
.
b
n
(2
n
1)
b
n
B
2
n
1
（
9
）等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
m
n
，前
m
项和
S
n
m
，则前
m+n
项和
S
m<
/p>
n
m
n
a
n
m
,
a
m
n
,
则
a
n
m<
/p>
0
(10)
求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函数，故可转化为求二次函数的最
值，但要注意数
列的特殊性
n
N
*
。
法二：
（
1
）
“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是
所有非负项之和
a
0
即当
a
< br>1
0
，
d
0
，
由
n
可得<
/p>
S
n
达到最大值时的
n
值．
a
n
1
0
（
2
）
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最
小值是所有非正项之和。
a
n
0
即
当
a
1
0
，
d
0
，
由
可得
S
n
达到最小值时的
n
值．
a
0
n
1
或求
a
n
中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d
的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．