等比数列教学设计2 人教课标版(优秀教案)
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教学设计
等比数列
等比数列的概念及通项公式
从容说课
本节内容先由师生共同分析
日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引
导学生与等差数列类比探索等
比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行
联系，体会等比数列与指数
函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的
数列模型，也让学生经历
了从实际问题抽象出数列模型的过程
教学中应充分利用信息和
多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和
思维的主动性
准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和
巩固课堂所
学知识的目的
教学重点
.
等比数列的概念
.
等比数列的通项公式
教学难点
.
在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系
.
等比数列与
指数函数的关系
教具准备
多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
.
< br>了解现实生活中存在着一类特殊的数列
.
理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式
.
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际
问题
;
.
体会等比数列与指数函数的关系
二、过程与方法
.
采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学
.
发挥学生的主体作用，作好探究性活动
.
密切联系实际，激发学生学习的积极性
三、情感态度与价值观
.
通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考
，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的
科学态度，培养学生的类比、归纳的能力
兴
.
通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密
切联系，激发学生学习的
趣
教学过程
导入新课
师
现实生活中，有许多成倍增长的实例
.
如，将一张报纸对折、对折、再对折、
…
，对折了三
次，手中的报纸的层数就成了层，对折了次就成了层
.
你能举出类似的例子吗？
生
一粒种子繁殖出第二代粒种子，用
第二代的粒种子可以繁殖出第三代
×
粒种子，用第三代
的
×
粒种子可以繁殖出第四代
< br>×
×
粒种子，
师
非常好的一个例子！
现实生活中，我们会遇到许多这类的事例
教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型
师
细胞分裂的个数也是与我们上述提
出的问题类似的实例
.
细胞分裂有什么规律，
< br>将每次分裂
后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？
< br>
生
通过观察和画草图，发现
细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每
次细胞分裂所得到的细胞
数组成下面的数列：
，
，
，
，
…
①
教师出示投影胶片：
“
一尺
之棰，日取其半，万世不竭
师
这是《庄子
·
天下篇》中的一个论述，能解
释这个论述的含义吗？
生
思考、讨论，用现代语言叙述
师
(
用现代
语言叙述后
)
如果把
“
一尺之棰
”
看成单位
“”
，那么得到的数列是什么样的呢？
生
发现等比关系，写出一个无穷等比
数列：
，
教师出示投影胶片：计算机病毒传播问题
.
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播
.
如果把病毒制造者发
送病毒称为第一轮，邮
件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推
.
假设每一轮每一台计
算机都
1
1
1
1
，
，
，
，<
/p>
…
②
2
4
8
16
感染台计算机
,
那么在不重复的情况下
,
这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢
?
师
(
读题后
)
这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的
呢？
引导学生发现
“
病毒制造者发送病毒称为第一轮
”“
每一轮感染台计算
机
”
中蕴涵的等比关系
生
发现等比关系，写出一个无穷等比数列：
，
，
，
，
，
…
③
教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题
师
介绍<
/p>
“
复利
”
的背景
：
“
复利
”
是
我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的
利息和本金加在一起算作本金
，再计算下一期的利息，也就是通常说的
“
利滚利
”.
我国现行定
期储蓄中的自动转存业务实际上就是
按复利支付利息的
给出计算本利和的公式：
< br>本利和本金
×
(
本金
)
，这里为存期
生
列出年
内各年末的本利和，并说明计算过程
师
生合作讨论得出
“
时间
”“
年初本金
”“
年末本利和
”
三个量之间的对应关系，并写出：各年末
本利和
(
单位：元
)
组成了下面
数列：
×
，
×
，
×
，
×
，
×
.
④
师
回忆数列的等差关系和等差数列的
定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同
特点？
师
引导学生类比等差关系和等差数列
的概念，发现等比关系
引入课题：板书课题
等比数列的概念及通项公式
推进新课
［合作探究］
师
从上面的数列①②③④中我们发现
了它们的共同特点是：
具有等比关系
.
如果我们将具有这
样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定
义呢？
生
回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：
< br>一般地，如果把一个数列，从第项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数
列叫做等比数列
［教师精讲］
师
同学们概括得很好，
这就是等比数列
的定义
.
有
些书籍把等比数列的英文缩写记作
.(
).
<
/p>
我们今后也常用
.
这个缩写表示等比数列
.
定义中的这个常数叫做等比数列的公比
(
)
，公比通常
用字母表示
(≠).
请同学们想一想，为什么
≠
呢？
生
独立思考、合作交流、自主探究
师
假设，数列的第二项就应该是，那
么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什
么了呢？
生
分母为了
师
对了，
问题就出在这里了，所以，必须
师
那么，等比数列的首项能不能为呢？
生
等比数列的首项不能为
师
是的，等比数列的首项和公比都不
能为，等比数列中的任一项都不会是
［合作探究］
师
类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念
生
如果在与中间插入一个数，使、
、成等比数列，那么叫做、的等比中项
.
师
想一想，这时、的符号有什么特点呢？你能用、表示吗？
生
一起探究、是同号的
G
b
，
< br>±
ab
，
a
G
师
观察学生所得到的、
、的关系式，并给予肯定
< br>补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中
任一项等距离的两项之和等于该项的倍，即
.
对于等比
数列来说，有什么类似的性质呢？
生
独立探究，得出：等比数列有类似的性质：
［合作探究］
探究：
()
一个数列
,…,…(≠)
是等差数列，同时
还能不能是等比数列呢？
()
写出两
个首项为的等比数列的前项，
比较这两个数列是否相同？写出两个公比为的等比数列
的前项，比较这两个数列是否相同？
()
任一项及公比相同，则这两个数列相同吗？
< br>()
任意两项、相同，这两个数列相同吗？
()
若两个等比数列相同，需要什么条件？
师
引导学生探究，并给出
()
的答案，
（
)()(
)
可留给学生回答
生
探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流
()
的解
答
［教师精讲］
概括总结对上述问题的探究，得出：
()
中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为，公
比为的
既是等差数列又是等比数列的数列
概括学生对
()()()
的解答
()
中，首项为，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为
，而首项不同的等比数列也是不
会相同的
()
中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；
()
中，是指两个数列中的任意两个对应
项都相同，可以得出这两个数列相同；
()
< br>中，结论是：若两个数列相同，需要
“
首项和公比都相同
(
探究的目的是为了说明首项和公比
是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式
的推导做准备
< br>［合作探究］
师
回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
生
推导等比数列的通项公式
［方法引导］
师
让学生与等差数列的推导过程类比
，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公
式
具体的，设等比数列
{}
首项为，公比为，根据等比数列的定义，我们有：
,…
，
即
师
根据等比数列的定义，我们还可以写出
a
a
2
a
3
a
4
...
n
q
a
1
a
2
a
3
a
n
1
< br>进而有
亦得
师
观察一下上式，每一道式子里，项的下标与的指数，你能发现有什么共同的特征吗？
生
把看成，那么，每一道式子里，项的下标与的指数的和都是
师
非常正确，这里不仅给出了一个由
倒推到与，的关系，从而得出通项公式的过程，而且其
中还蕴含了等比数列的基本性质，
在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关
系式
师
请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子
a
a
2
a
3
a
4
...
n
q
,
再思
考
a
1
a
2<
/p>
a
3
a
n
1
如果我们把上面的式子改写成
a
a
a
2
a
q
,
3
q
,
4
q
,.
..,
n
q
a
1
a
2
a<
/p>
3
a
n
1
那么我们就有了个等式，
将这个等式两边分别乘到一起
(
叠乘
< br>)
，
得到的结果是
a
n
q
n
1
,
于是，
a
1
得
师
这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？
师
在上述方法中，前两种方法采用的
是不完全归纳法，严格的，还需给出证明
.
第三种方法没
有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明
师
让学生说出公式中首项和公比的限制条件
生
，都不能为
［知识拓展］
师
前面实例中也有
< br>“
细胞分裂
”“
计算机病毒传播
”“
复利计算
”
的练习和习题，那里是用什么方
法解决问题的呢？
教师出示多媒体课件三：
前面实例中关于
“
细胞分裂
”“
计算机病毒传播
”“
复利计算
”
的练习或习
题
.
某种储蓄按复利计算成本利息，
若本金为元，每期利率为，设存期是
,
本利和为元
.
（）写出本利和随存期变化的函数关系式；
（）如果存入本金
元，每期利率为，试计算期后的本利和
.
师
前面实例中关于
< br>“
细胞分裂
”“
计算机病毒传播
”“
复利计算
”
的问题是用函数的知识和方法解
决问题的
生
比较两种方法，思考它们的异同<
/p>
［教师精讲］
通过用不同的数学知识解
决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来
.
()
在同一平面直角坐标系中，画出
通项公式为的数列的图象和函数的图象，你发现了什么？
()
在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为
a
< br>n
(
)
1
2
n
1
的数列的图象和函数
(
1
)
的图象，你
2