如何构造辅助数列简化求解通项公式
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如何构造辅助数列简化求解通项公式
作者：陕西洋县中学
刘大鸣
李鹏云
求数列的通项公式，整体变形探求相邻项之间的关系，构造一个辅助数列为等差或等比数列，
< br>通过解方程从而使问题获解
.
如何探求这个整体辅助数列
？常需挖掘题设关系，
用
“待定系数法”
、
方程的观念、化归思想求解
.
1
一般数列由切入点入手，构建
S
n
的整体变量的数列求解
.
例
1
各项非零的数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，首项
a
1
1
且
2
S
2
n
< br>2
a
n
S
n
a
n
,
n
2
，求数
列的通项
a
n
.
解析：
由一般数列的切入点，
“
n
1
时，
a<
/p>
1
S
1
;
n
2
时，
a
n
S
n
S
< br>n
1
”
和题设易化归辅助数列为等差数
列求解
.
< br>由
2
S
2
n
2
a
n
S
n
a
n
,
n
2
和
一
般
数
列
的
切
< br>入
点
有
，
2
S
2
n
2
S
n
S
n
1
S
n
S
n
< br>
S
n
1
，
整
理
有
，
2
S
n
S
n
1
S
n
1
S
< br>n
，易知
S
n
< br>S
n
1
0
，整体把握等差数列定义变形有，
1
1
1
2
(
n
2
)
.
则数列
为首
S
n
S
n
1
S
n
项
1
1
，
2
为公差的等差数列，
1
1
n
1
2
2
n
1
，
S
n<
/p>
1
.
故所求通
项公式
S
1
S
n
2
n
1
1
（
n
1
）
a
n
=
2
n
2
.
2
n
1
2
n
3
评注：一般数
列的切入点沟通了和于项之间的关系，常常借助于它寻求一般数列的切入点，构
建辅助数
列为等差（比）解决问题。
2
“等差型或等比型”数列用“累加（乘）法求通项公式。
例
2
（
04
重庆高考）
设数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
2
5
,
a
n
2
5
< br>a
n
1
2
a
n
,
若
b
n
a
n
1
a
n
,
求数列
a
n
的通项
3
3
3
公式
.
解析：本题实质
是求等差型数列的通项，为降低难度设计构造了一个辅助数列为等比数列，再
用累加法求
通项
.
从三项满足的递推关系和题设入手，
2
设
b
n
1<
/p>
a
n
2
a
n
1
5
a
n
1
2
a
n
a
n
2<
/p>
a
n
a
n
1
2
b
n
,
则
b
n
是等比数列，
故
b
n
< br>
a
n
a
n
1
，
类加
3<
/p>
3
3
3
3
2
1
2
n
1
法得，
2
2
2
n
3
2<
/p>
a
n
a
1
a
2
a
1
a
3
a
2
<
/p>
a
n
a
n
1
,
a
1
1
,<
/p>
a
n
3
n
1
n
1
,
2
,
3
,
.
2
3
<
/p>
3
3
3
1
3
n
n
评析：等差（比）
型数列取
n-1
个等式累加（乘）消（约）项得到数列通项公式
，体现方程思
想和特殊化思想的应用，蕴涵着演绎推理的方法。
3
相邻两项满足一阶线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列
为等比数列求解
.
例
3
（
05
山东）
已知数列<
/p>
{
a
n
}
且
S
n+1
=2S<
/p>
n
+n+5
（
n
∈
N*
）
,<
/p>
求数列
a
n<
/p>
的首项
a
1<
/p>
5
,
前
n
项和为
S
n
，
的通项公式
<
/p>
解析：由一般数列的切入点入手，探求相邻两项满足的一阶线性递推关系，构建辅助数列为
等
比数列求解。
一般数列的切入点沟通，
由已知
S
n
1
2
S
n
n
< br>5
,
∴
n
2
时
,
S
n
2
S
n
1
n
4
,
两式相减，得
S
n
1
S
n
2
(
S
n
S
n
1
)
1
,
即<
/p>
a
n
1
2
a
n
1
,
变形构造数列
，
从而
a<
/p>
n
1
1
2
(
a
n
1
).
当
n=1
时，
S
2
=2S
1
+1+5
，
∴
a
1
a
2
2
a
1
6
< br>又
a
1
5
,
a
2
11
,
从<
/p>
而
a
2
1
2
(
a
1
1
).
故
总
有
a
n
1
1
2
(
a
n
< br>1
),
n
N
*
.
又∵
a
1
5
,
a
n
1
0
,
从而
a
n
1
1
2
.
即
{
a
n
1
}
是以
a
1
1
6
a
n
1
为首项，
2
为公比的
等比数列，则
a
n
< br>1
6
2
n
1
,
a
n
3
2
n
1
.
评注：相邻两项满足线性递推关系，
a
n
1
ka
n
b
< br>k
0
,
k
1
，
待定系数法可化归辅助数列
b
为等比
数列求通项解决。
a
n
< br>k
1
4
相邻三项满足线性递推关系，
待定系数法可化归辅助数列为等比数列求解
.
x
1
例
4 <
/p>
（
05
广东）
已
知数列
{
x
n
}
满足
x
2
1
,
x
n
(
x
n
1
x
n
2
),
n
3
,
4
,
.
若
lim
x
n
2
,
则
x<
/p>
1
（
）
n
2
2
A
．
3
B
．
3
C
．
4
D
．
5
2
解析：
若
注
意
选
择
题
的
特
征
，
变
量
辅
值
，
取
特
< br>殊
值
有
，
3
9
15
33
63
当
x
1
3
时
,
由递
推关系辅值，
x
2
< br>,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
，
l
i
x
m
2
，选
B
；
2
4
8
16
32
n
n
若注重求解数列求通项的方
法以及数列极限的求法，注意到相邻三项满足线性递推关系，可待
定系数法化为辅助数列
为等差型数列求解。
从
递
推
关
系
入
手
，
若
x
n
x
n
1
k
<
/p>
x
n
1
x
n
2
，
则
对
照
系
数
有
，
k
1
1
,
<
/p>
k
1
,
故
k
1
，
2
2
2
x
n
x
n
1
x
1<
/p>
x
n
1
x
n
2
,
x
n
x
n
1
1
,
<
/p>
x
n
x
n
1
为等
比
数列，
首项为
x
2
x
1
1
，
公比
为
2
2
x
n
1
x
n
2
2
n
2<
/p>
1
x
1
,
x
n
x
n
1
1
2<
/p>
2
2
，
则
数
列
a
n
为
等
差
型
数
列
，
取
n-1
个
等
式
累
加
有<
/p>
，
n
1
1
1
2
1
x
n
x
1
x
2<
/p>
x
1
x
3
x
2
x
n
x
n
1
<
/p>
x
1
1
x
1
2<
/p>
2
2
1
1
2
x
x<
/p>
1
1
1
1
2
1
2
n
1
<
/p>
2
x
1
1
3
2
n
1
x
1
2
x
,
<
/p>
lim
x
n
<
/p>
1
2
,
x
1
3
,
选
B
3
x
3
评析：相邻三项满足一阶线性递推关系的数列待定系数化为辅助数列为等比数列，
其原数列实
质为等差型数列，应积累这一学习体验。
5
利用点在曲线上的意义构建辅助数列求解
.
a
例
5 <
/p>
已知一次函数
f
x
的图关于直线
y
x
对称的图象为
C
，
且
f
1
=0
，
若点
A
n
< br>
n
,
n
1
n
N
在
C
a
n
上，
a
1
1
时，对于大于或等于
2
的自然数
n
均有
a
n
1
a
n<
/p>
1
.
a
n
a
n
1
⑴
求
C
的方程；⑵
求数列
a
n
的通项公式
a
n
；