浙江省中考复习数学知识点汇总
-
知识点大全
★★
21
、（
2010
黄冈）已知抛物线
y
ax
bx
c
(
a
0)
顶点为
C
（
1
，
1
）且过原点
O.
过抛物线
上一点
P
（
x
，
y
）向直线
y
（
1
）求字母
a
，
b
，
c
的值；
（
2
）
在直线
x
＝
1
上有一点
F
(1,
)
，
求以
PM
为底边的等腰三角形
PFM
的
P
点的坐标，
并
证明此时△
PFM
为正三角形；
<
/p>
（
3
）对抛物线上任意一点
P
，是否总存在一点
N
（<
/p>
1
，
t
），使<
/p>
PM
＝
PN
恒成
立，若存在请
求出
t
值，若不存在请说
明理由
.
2
5
作垂线，垂足为
M
，连
FM
（如图）
.
4
3
4
解：（
1
）
a
＝－
1
，
b
＝
2
，
c
＝
0
（
2
）过
P
作直线
x=1
的垂线，可求
P
的纵坐标为
< br>MF
＝
PF
＝
< br>1
，故△
MPF
为正三角形
.
（
3
）不存在
.
因为当
t
＜
1
1
，横坐标为
1
3
.
此
时，
MP
＝
4
2
5
5
，
x<
/p>
＜
1
时，
PM<
/p>
与
PN
不可能相等，同理，当
t
＞
，
x
＞
1
4
4
时，
PM
与
PN
< br>不可能相等
.
★★
22
、（
2010<
/p>
济南）如图所示，抛物线
y
x
2
2
x
3
与
x
轴交于
A
、
B
两点，直线
BD
的函数表达式为
y
3
x
3
3
，抛物线的对称轴
l
与直线
BD
交于点
C
< br>、与
x
轴交于点
E
．
⑴求
A
、
B
、
C
三个点的坐标．
⑵点
P
为线段
AB
上的一个动点（与点
A
、点
B
不重合），以点
A
为圆心、以
AP
为半
径的圆弧与线段
AC
交于点
M
，以点
B
为圆心、
以
BP
为半径的圆弧与线段
BC
交于点
N
，
分别连接
AN
、
BM
、
MN
．
①求
证：
AN
=
BM
．
②在点
P
运动的过程中，四边
y
形
AMNB
的面积有最大值还是有最小值？并求出
该最大值或最小值
.
D
l
C
M
N
A
O
E
P
B
知识点大全
解：⑴令
x
2
2
x<
/p>
3
0
，
x
解得：
x
1
1,
x
2
3
，∴
A
(
－
1
，
0)
，
B
(3
，
< br>0)
∵
y
x
2
2
x
3
=
(
x
<
/p>
1)
2
4
，∴抛物线的对称轴为直线
x
=1
，
将
x
=1
代入
y
3
x
< br>3
3
，得
y
=2
3
，∴
C
（
1
，
2
3
）
.
⑵①在
Rt
△
ACE
中，
tan
∠
< br>CAE
=
CE
3
，
AE
< br>∴∠
CAE
=60º
，
由
抛
物
线
的
对
称
< br>性
可
知
l
是
线
段
AB
的
垂
直
平
分<
/p>
线
，
∴
AC=BC
，
∴△
ABC
为等边三角形，
∴
AB
=
BC =AC =
4
，∠
ABC=<
/p>
∠
ACB
=
60º
，
又∵
AM=AP
，
BN=BP
，∴
BN = CM
，
∴△
ABN
≌△
BCM
，
∴
AN
=
BM
.
②四边形
AMNB
的面积有最小值．
设
AP=m
，四边形
AMNB
的面积为
S
，
由①可知
AB
=
BC=
4
，
BN = CM=BP
，
S
△
ABC
=
3
×
4
2
=
4
3
，
< br>
4
∴
CM=BN= BP=<
/p>
4
－
m
，
CN=m
，
过
M
作
MF
⊥
BC
,
垂足为
F
，则
MF
=
MC
•sin60
< br>º
=
3
(4
m
)
，
2
3
3
2
1
1
∴
S
△
CMN
=
CN
MF
=
m
•
(4
m
)
=
m
3
m
，
2
4
2
2
∴
S
=
S
△<
/p>
ABC
－
S
△<
/p>
CMN
=
4
3<
/p>
－（
=
3
2
m
3
m
）
4
3
(
m
< br>2)
2
3
3
∴
m
=2
时，
S
取得最小值
3
3
.
4
★★
23
、（
2010
济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（
4
，
1
）的抛物线
交
y
轴于
A
点
，交
x
轴于
B
，
C
两点（点
B
在点
C
的左侧）
.
已知
A
点坐标为（
0
，
3
）
.
（
1
）求此抛物线的解析式；
（
2
）
过点
B
作线段
AB
的垂线交抛物线于点
D
，
如果以点
C
为圆心的圆与直线
BD
相
切，请判断抛物线的对称轴
l
与⊙
C
有怎样的位置关系，并给
出证明；
知识点大全
（
3
）已知点
P
是抛物线上的一个动点，且位于
A
，
C
两点之间，问：当点
P
运
动到
什么位置时，
PAC
的面积最大？并求出此时
P
点的坐标和
PAC
的最大面积
.
（
1
）解：设抛物线为
y
a
(
x
4)
1
.
2
2
y
D
A
O
B
C
x
∵抛物线经过点
A
< br>（
0
，
3
），∴
3
a
(0
4)
1
.
∴
a
∴抛物线为
y
(2)
答：
l
< br>与⊙
C
相交
.
证明：当
1
.
4
1
1
(
x
4)
2
<
/p>
1
x
2
2
x
3
.
4
4
1
(
x
< br>
4)
2
1
0
时，
x
1
2
，
x
2
6
.
4
2
2
∴
B
为（
2
，
0
），
C
为（
6
，
0
）
.
∴
AB
3
2
< br>13
.
设⊙
C
与
BD
相切于点
E
，连接
CE
，则
BEC
90
AOB
. <
/p>
∵
ABD
<
/p>
90
，∴
<
/p>
CBE
90
ABO
.
又∵
< br>
BAO
90
ABO
，∴
BAO
CBE
.
∴
AOB
∽
BEC
. <
/p>
∴
CE
6
2
8
CE
BC
2
.
.
∴
.
∴
CE
2
OB
AB
13
13
∵抛物线的对称轴
l
为
x
4
，∴
C
点到
l
的距离为
2.
∴抛物线的对称轴
l
与⊙
C
相交
.
(3)
解：如图，过点
P
作平行于
y
轴的直线交
AC
于点
Q
.
可求出
AC
的解析式为
y
1
x
3
.
2
1
m
3
）
.
2
设<
/p>
P
点的坐标为（
m
，
m
2
2
m
3
），则
Q
点的坐标为（
m
，
∴
PQ
∵
S
PAC
1
4
1
1
1
3
m
3
(
m
2
< br>
2
m
3)
m
2
m
.
2
4
4
2
1
1
3
3
27
S
PAQ
S
PCQ
(
m
2
m
)
6
(
m
3)
2
,
2
4
2
4
4<
/p>
知识点大全
∴当
m
<
/p>
3
时，
PAC
的面积最大为
此时，
P
点
的坐标为（
3
，
27
.
4
3
）
.
4
★★
24
、
（
2010
晋江）
已知：
如图，
把矩形
OCBA
放置于直角坐标系中，
OC
3
，
BC
2
，
取
AB
的中点
M
，连结
MC
，把
<
/p>
MBC
沿
x
轴的
负方向平移
OC
的长度后得到
DAO
.
(1)
试
直接写出点
D
的坐标；
(2)
已知点
B
与点
D
在经过原点的抛物线上，点
P
在第一象限内的该抛物线上移动，
过点
P
作
PQ
x
轴于点
Q
，连结
OP
.
①若以
O
、
P
、
Q
为顶点的三角形与
y
DAO
相似，试求出点
P
的坐标；<
/p>
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一
点
T
，使得
TO
TB
的值最大
.
解：
(1)
依题意得：
D
A
M
B
O
C
x
3
,
2
；
2
y
(2)
①
∵
OC
3<
/p>
，
BC
2
，
∴
B
3
,
2
.
∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解
析式为
y
ax
bx
a
0
2
P
D
A
M
B
O
T
E
C
Q
x
又
抛
物
线
经
过
点
B
3
,
2
与
点
3
< br>D
,
2
2
知识点大全
4
a
,
9
a
3
b
2
,
4
2
2
9
< br>∴抛物线的解析式为
∴
9
解得：
y
x
x
.
∵点
P
在抛物线
3
2
9
3
a
b
2
< br>
b
2
4
3
上，∴设点
P
x
,
4
2
2
x
x
.
9
3
4
2
2
x
x
PQ
QO
51
9
3
< br>x
，
1)
若
PQO
∽
DAO
，
则
，
解得：
x
1
0
(
舍去
)
或
x
2
，
3
2
DA
AO
16
2<
/p>
∴点
P
51
153
,<
/p>
.
16
64
4
2
2
x
x
x
OQ
PQ
9
9
3
，
2)
若
OQP
∽
DAO
，
则
，
解得：
x
1
0
(
舍去
)
< br>或
x
2
，
3
2
D
A
AO
2
2
∴
点
P
9<
/p>
,
6
.
2
②存在点
T
，使得
TO
TB
的值最大
.
抛物线
y
4
2
2
3
x
x
的对称轴为直线
x
，设抛物线与
x
轴的另一个交点为
E
，则点
4
9
3
3
3
E
<
/p>
,
0
.
，∵点
O
、点
E
关于直线
x
对称
，∴
TO
TE
，
要使得
TO
TB
的值最大，
4
2
即是使得
TE
TB
的值最大，
<
/p>
根据三角形两边之差小于第三边可知，当
T
、
E
、
B
三
点在同一直线上时，
TE
TB
的值
最大
.
设
过
B
、
E
两
点
的
直
线
解
析
< br>式
为
A
y
kx
b
k
0
<
/p>
，
4
3
k
b
2
,
k
,
∴
3
解得：
3
k
b
0
2
b
2
∴直线
BE
的解析式为
y
D
B
M
P
E
H
Q
C
4
x
2
.
3
知识点大全
当
x
3
4
3
时，
y
<
/p>
2
1
.
4
3
4
3
,
1
< br>
使得
TO
< br>TB
最大
.
4
∴存在一点
T
★★
25
、
（
2010
）
如图，
在等边
ABC
中，
线段
AM
为
BC
边上的中线
.
动点
D
在直线
．．
AM
上时，以
CD
为一边且在
CD
的下方作等边
<
/p>
CDE
，连结
BE
.
(1)
填空：
ACB
______
度；
(2)
当点
D
在线段
．．
AM
< br>上
(
点
D
不运动到点
A
)
时，试求出
AD
的值；
BE
(3)
若
AB
<
/p>
8
，以点
C
为圆
心，以
5
为半径作⊙
C
与直线
BE
相交于点
P
、
Q
两点，
在点
D
运动的过程中
(
点
D
与点
A
重
合除外
)
，试求
PQ
< br>的长
.
B
A
A
D
A
C
M
E
B
C
B
C
备用图
(1)
解：
(1)60
；
(2)
∵
ABC
与
DEC
都是等边三
角形
∴
AC
BC
，
CD
CE
，
A
CB
DCE
60
∴
ACD
DCB
DCB
BCE
∴
ACD
BCE
，∴
< br>
ACD
≌
< br>BCE
SAS
备用图
(2)
AD
1
.
BE
(3)
①
当
点
D
在
线
段
AM
上
（
不
与
点
A
< br>重
合
）
时
，
由
(2)
可
知
A
CD
≌
BCE
，
则
∴
AD
B
E
，∴
CBE
CAD
30
，作
CH
BE
于点
H
，则
PQ
2
HQ
，连结
CQ
，则
CQ
5
.
知识点大全
在
Rt
CBH
中，
< br>
CBH
30
，
BC
< br>AB
8
，则
< br>CH
BC
< br>sin
30
8
在
Rt
< br>
CHQ
中，
由勾股定理得：<
/p>
HQ
1
4
.
2
则
PQ
2
HQ
6
CQ
2
CH
2
5
2
4
2
3
，
A
②当点
D
在线段
AM
的延长线上时，∵
<
/p>
ABC
与
DE
C
都是等边三角形
∴
AC
BC
，
CD
CE
，
ACB
DCE
60
∴
ACB
DCB
DCB
DCE
∴
ACD
BCE
∴
ACD
≌
BCE
SAS
B
M
P
C
∴
CBE
CAD
30
，同理可得：
PQ
6<
/p>
.
D
③当点
D
在线段
MA
的延长线上时，
∵
ABC
与
DEC
都是等边三角
形
∴
AC
BC
，
CD
CE
，
AC
B
DCE
60
∴
ACD
ACE
B
CE
ACE
60
∴
ACD
BCE
∴
ACD
≌
BCE
SAS
E
A
D
Q
E
∴
CB
E
CAD
，
∵
CAM
30
∴
CBE
CAD
150
，
∴
C
BQ
30
.
同理可得：
PQ
6
，综上，
PQ
的长是
6.
B
M
P
C
Q
★★
26
、
（
2010
莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y
< br>
ax
bx
< br>
c
交
x
轴于
2
A
(
2
,
0
),
B
(
6
,
0
)
两点，交
y
轴于
点
C
(
0
,<
/p>
2
3
)
.
（
1
）求此抛物线
的解析式；
（
2
）
若此抛物线的对称轴与直线
y
2
x
交于点
D
，
作⊙
D
与<
/p>
x
轴相切，
⊙
D
交
y
轴于点
E
、
F
两点，求劣弧
EF
的长；
（
< br>3
）
P
为此抛物线在第二象限图
像上的一点，
PG
垂直于
x
轴，垂足为点
G
，试确定
P
点的
位置，使得△
PGA
的面积被直线
AC
分为
1
︰
2
两部分
.
y
E
D
C
F
x
O
A
B
（第
26
题图）