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2021年2月10日发(作者：古筝之美)

报童诀窍

一、问题：

报童每 天清晨从报社购进报纸零售，

晚上将没有卖掉的报纸退回。

设报 纸每

份的购进价为

b

，零售价为

a

，退回价为

c

，假 设

a>b>c

。即报童售出一份报纸

赚

a-b

，退回一份赔

b-c

< p>
。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，

不够卖会少挣钱。试 为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。

二、模型分析：

购进量由需求量确定 ，

需求量是随机的。

假定报童已通过自己的经验或其他

渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为

r

份

的概率是

f(r)(r=0,1,

2

…

)

有了

f(r)

,a

和

b,c

就可以建立关于购进量的优化模型。

三、模型建立：

假设每天购进量是< /p>

n

份，需求量是随机的，

r

可以小于，等于或大于

n,

，

所以报童每天的收入也是随机的。

那么，

作为优化模型的目标 函数，

不能取每天

的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收 入。从概率论大数定律的观点看，

这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。

记报童每天购进

n

份报纸的平均收入为

G(n),

如果这天的需求量

< p>
r<=n,

则

售出

r

份，

退回

n-r

份 ；

如果需求量人

r>n,

则

< p>
r

份将全部售出。

需求量为

r

的概率

是

f(r),

则

G



n











a



b



r





< br>b



c



n



r





f



r

< /p>



r



0

n

r



n

< p>


1





a



b



nf



r





问题归结为在

f



r



,

a

,

b

,

c

已知时，求

n

是

G(n)

最大。

四、模型求解：

购进量

n

都相当大，将

r

视为连续变量便于分析和计算，这时概率

f(r)

转化

为概率密度函数

p(r)

G



n





< br>





a



b



r





b



c



n



r





p



< p>
r



dr







a



< br>b



np



r



dr

0

n

计算

< /p>

n



dG





a



b



np



n

< p>








b



c



p



r



dr





a



b



np

< /p>

n









a



b

< p>


p



r



dr

0

< br>n

dn

n



dG

dG



0

令

得



2



a

< /p>

c



np



n







b



c





p



r

< br>

dr





a



b





p



r

< /p>

dr

0

n

dn

dn

n



p



r



dr

a



< p>
b





得到

b



c

< br>

p



r



dr

0



n

n

n

应满足上式。

< br>



0

p



r



dr



1

使报童日平均收入达到最大的购进量为



n

0

p



r



dr

< /p>

a



b

a



c

根据需求量的 概率密度

p(r)

的图形可以确定购进量

n

在图中用

p1,p2

分别表示曲线

p(r)

下的

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