原子物理学(褚圣麟)完整答案.doc
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第三章
量子力学初步
波长为
1
A
的
X
光光子的动量和能量各为多少
动量为：
p
h
10
3
10
24
千克
米
10
能量为：
E
hv
hc
/
3
10/10
10
焦耳
。
用上述电压加速的质
10
经过
10000
伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长
子束的德布罗意波长是多少
h
/
对于电子：
m
e
10
公斤，
10
库仑
把上述二量及
h
的值代入波长的表示式，可得：
A
V
对于质子，
m
A
10000
A
10
公斤，
e
10
库仑
，代入波长的表示式，得：
10
3
2
10
27
10
19
必须考虑相对论修正。
因而原来
10
3
A
A
的电子
电子被加速后的速度很大，
德
V
布罗意波长与加速电压的关系式应改为：
(1
10
6
V A
)
V
其中
V
是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。
证明：德布罗意波长：
h/
对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能
K
与其动量
p
之间有如下关系：
K
2 Km c
pc
而被电压
V
加速的电子的动能为：
K
eV
eV
p
c
( )
2 m
p
m eV
2
h
h
eV
c
( )
/
因此有：
1
/
meV
eV
1
m c
2
一般情况下，等式右边根式中
eV
/ 2 m c
一项的值都是很小的。所以，可以将上式的
2
根式作泰勒展开。只取前两项，得：
h
2meV
由于上式中
h / 2
eV
(1
mc
4
h
)
(1
meV
V
10 )
m eV
2
A
，其中
V
以伏特为单位，代回原式得：
V
(1
V
10
)
V A
由此可见，
随着加速电压逐渐升高，
电子的速度增大，
由于相对论效应引
起的德布罗意波长
变短。
试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。
上述结果不
但适用于
圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。
证明：轨道量子化条件
p
是：
0,
p
pdq
2
nh
对氢原子圆轨道来说，
r
mr
所以有：
S
2
r
n
mv
h
n
, n
所以
,
< br>氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件
是：
p
d
n h
其中
p
2
r
mr
,
p
mr
(
p
r
dr
p d
)
nh
,
其
而
( p dr
dr
p d )
( mrdr
mr
dt
mr
d
dt
)
dt
mvdt
h
mvds
ds
r
ds
ds
因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。
带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约
1
微米。当观察能量为
1000
电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不
于多少
根据测不准原理，有
p x
h
，由此
h
2
2
x
经典力学的动量为：
p
2
mK
p
h
5
p
2
10
x
2
mK
电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小，
足见电子的径迹与直线不会有明显区
别。
证明自由运动的粒子（势能
V
0
）的能量可以有连续的值。
i
(
p
h
（
1
）
自由粒子的哈密顿量是：
H
h
m
（
2
）
2
自由粒子的能量的本征方程为：
H
E
2
把（
1
）式和（
2
）式代入（
3
）式，得：
i
2
(
p
h
[
Ae
]
2
m
即：
为
小
A(
d
d
dy
d
dz
h
2m
p
2m
E
dx
p
2m
E
也可以有任意的连续值。
自由粒子的动量
p
可以取任意连续值，所以它的能量
粒子位于一维对称势场中，势场形式入图
3-1
，即
ctg
(
（
1
）试推导粒子在
E
式中
是粒子的质
d
dx
波函数处处为有限的解是：
d
dx
处处有限的解是：
( x )
d
dx
处处有限的解是：
( x )
有上面可以得到：
1
dx
有连续性条件，得：
{
L
{
0
x
L
,
V
x
0 ,
x
L
,
V
V
0
V
情况下其总能量
E
满足的关系式。
d
2
dx
h
(
E
2
h
Ae, A
是一任意常
( x )
2
h
Bsin(
x
),
B,
是任
2
h
De
, D
是任意常
1
dx
ctg
1
dx
解得：
tg
(
L)
1
因此得：
L
n
2tg
(
/
)
这就是总能量所满足的关系式。
tg
(
n
L
)
2
tg
L
2
2
n
偶数，包括
{
ctg
L
n
奇
2
L
L
2
亦即
L
L
2
令
L
u
,
L
v
，则上面两方
utg
v
u
2
v
utg
u
2
另外，注意到
u
和
v
还必须满足关系：
v
u
V L
h
（
）
2
/
3
所以方程（
1
）和（
2
）要分别与方程（
3
）联立求解。
有一粒子，其质量为
m
,
在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为
；在势箱内，
V
a
、
b
、
c
在势箱外，势能
V
0
。式计算出粒子可能具有的能
量。
解：势能分布情况，由题意知：
V
0,0
a;
V
y
0,0
x
b;
V
z
c
;
0,0
在势箱内波函数
( x , y
, z )
满足
x
y z
2 2
2
2
m
h
[E (V
V
解这
类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。
令
( x, y , z )
(
)
(
)
)
(
代入（
1
）式，并将两边同除以
X x
Y
y
Z z
，
(
1 dX
X
dx
2m
V
)
h
1 dY
2m
V
)
1 dZ
Z dz
Y
dy
h
2m
V )
h
2
m
E
h
方程左边分解成三个相互独立的部分，
个常数。由此，得到三个方程如下：
它们之和等于一个常数。
因此，每一部分都应等于一
1
dX
X
dx
1
dY
m
2
V
h
m
2
E
h
Y
dy
1
dZ
m
h
V
2
2
m
h
E
2
Z dz
其中
E
m
h
V
2
m
h
E
E
E
E ,
E ,
E ,
E
皆为常
数。
d
2m
X
( E
dx
h
V ) X
0
X
边界条件：
(0)
X l
(
)
n
可见，方程（
2
）的形式及边界条件与一维箱完全相同，因此，其解为：
X
2
sin
a
a
E
h 2 a
类似地，有
n , n
Y
2
sin
b
b
h
2
b
n
E
n , n
Z
2
sin
cc
n
, n
n
E
h
2
c
( x ,
y ,
8
sin
abc
n
z
a
n
sin
xn
b
y
sin
c
E
h
n
n
(
m
ab c
2
n
)
可见，
三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。
相当于三个一维箱中粒子的能量之和。
势箱，
a
而粒子的能量
对于方
b
c
,
波函数和能量为：
y
n
x
n
8
sin
sin
sin
( x , y ,
a
n
z
a
a
a
E
n
, n
n
n
n
h
2ma
第四章
碱金属原子
已知
Li
原子光谱主线系最长波长
6707 A
，辅线系系限波长
3519 A
。
求
锂原子第一激发电势和电离电势。
解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产
无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为
V
，电离电势为
V
，则有：
eV
h c
V
hc
eV
伏特
h
c
hc
V
e 1
c
1
(
)
伏特。
Na
原子的基
态
3S
。已知其共振线波长为
5893
A
，漫线系第一条的波长为
8193
A
，
基线系第一条的波长为
18459
A
，主线系的系限波长为
2413
A
。试求
3
S
、
3P
、
3
D
、
4F
各谱
项的项值。
解：将上述波长依次记为
,
即
, ,
,
5893 A,
8193
A,
18459 A,
容易看出：
T
T
T
T
~
v
1
1
1
1
10
米
10
米
10
米
10
米
T
T
1
A
A
2858
K
原子共振线波长
7665
，主线系的系限波长为
试求
4S
、
4P
谱项的量子数修正项
解：由题意知：
。已知
K
原子的基态
4S
。
,
值各为多少
A
7665
,
4
s
A
T
v
~
2858
,
/
R
1/
由
T
R
(4
，得：
设
R
R
,
则有
s
, T
1
1
与上类似
p
4
R
T
/
Li
原子的基态项
2S
。当把
Li
原子激发到
3P
态后，问当
3P
激发态向低能级跃迁时
可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）
答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，
使碱金属原子中
n
相同而
l
不同的能级有很
记为
E
量。
(
,
)
E
。理论计算和实验结果都表明
n l
l
越小，能量越低于相应的氢原子的能
当从
3P
激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：
l
S
。
2
1
，可能产生四条光谱，分
别由
以下能级跃迁产生：
P
S
S
3
3
;3
P P
2
;2
S
P
2
;3
为什么谱项
S
项的精细结构总是单层结构试直接从碱金属光谱双线的规律和从
电子
的。最低
P
能级是这线系中诸线共同有关的，
所以如果我们认为
P
能级是双层的，
而
S
能级
主线
是单层的，就可以得到第二辅线
系的每一条谱线都是双线，且波数差是相等的情况。
系的每条
谱线中二成分的波数差随着波数的增加逐渐减少，足见不是同一个来源。
主线系是诸
P
能级跃迁到最低
S
能级所产生的。
我们同样认定
S
能级是单层的，
而推广所有
P
能级是双层的，且这双层结构的间隔随主量子数
n
的增加而逐渐减小。这样的推论完全符
合碱金属原子光谱双线的规律性。因此，肯定
S
项是单层结构，与实验结果相符合。
碱金属能级的精细结构是由于碱金属原子中电子的轨道磁矩与自旋磁矩相互作用产生
附加能量的结果。
S
能级的轨道磁矩等于
0
，不产生附加能量，只有一个能量值，因而
只能发生在
2
P
1
S
之间。而
S
能级是单层的，所以，赖曼系的第一条谱线之精细结构
是由
P
能级分裂产生的。
氢原子能级
的能量值由下式决定：
E
Rhc ( Z
)
3
Rhca
1
n
(
Z
n
S
)
1
=
4
n
j
2
其中
(Z
)
( Z
E
(2
P
)
E
S
)
(1
c
h
E
P
hc
)
E
(2
S)
E
P
E
S
c
(2
)
(1
)
E
hc
P
E
S
(2
)
)
hc
P
[
E
P
E
(2
)
(1
[
E
E
(2
)
E
S
E
P
(1
)][
(2
)
(1
E(2 P
)
16
hc
64
E(2 P
)
hc
16
64
E (1S
)
4
Rhc
a
4
将以上三个能量值代入
的表达式，
S
能
a
64
4
1
48
11a48
15a
64
64
a
64
4
R
a
(48
11 )(48
R
10
米
10A
T
10
米
,R
10
米
Na
结构裂距。
解：已知
T
n
R
T
Ra Z
n l ( l
而
Z
n/ n
所以有：
T
米
原子在热平衡条件下处在各种不同能量激发态的原子的数目是按玻尔兹曼分布的，
N
即能量为
E
的激发态原子数目
g
和
g
是相应能量状态的统计权
原子数，
重，
N
0
KT
g
0
g
e
E
E
(
) /
。其
中
N
是能量为
E
的状态的
K
是玻尔兹曼常数。从高温铯原子气体光谱中
测出其共振光谱双线
,
A
g
A
的强度比
I
：
I
2,
g
4
。
2 3
：
。试估算此气体
的温度。已知相应能级的统计权重
解：相应于
，
E
的能量分别
hc/
;
E
hc/
N
，即
<
/p>
所测得的光谱线的强度正比于该谱线所对应的激发态能级上的粒子数
I
I
I
N
N
N
3g
g
e
g
2
3
e
2g
由此求得
T
为：
T
E
E
Kln
2g
3g
第五章
多电子原子
H
原子的两个电子处在
2p3d
电子组态。问可能组成哪几种原子态用原子态的符
号表示之。已知电子间是
解：因为
l
LS
耦合。
1, l
2, s
s
1
S
L
l
s
l
l
,
S
s
或
s
l
,
l
2
s
l1,
，
0,1;
L
L
L
L
3,2,1
S
S
1 ,
1 ,
2 ,
S
2 ,
S
0 ,
1
,
D
L
L
1
,
H
已知
D
，
原子的两个电子被分别激发到
2p
和
3d
轨道，器所构成的原子态为
问这两电子的轨道角动量
少
p
与
p
之间的夹角
，自旋角动量
p
与
p
之间的夹角分别为多
解：（
1
）已知原子态为
D
，电子组态为
2p3d
L
2,
S
1, l
因此，
p
l ( l
1)
h
p
P
P
l
( l
2
1)
L ( L
1)
p
p
2
pp
cos
cos
( P
p
p ) / 2 p 1
2
（
2
）
1
2
p
p
s
3
h
P
S S
h
(
1)
p 2
p p cos
( P
p
2
而
P p
cos
p ) /
1
3
锌原子（
Z=30
）的最外层电子有两个，基态时的组态是
4s4s
。当其中有一个被激
发，考虑两种情况：
（
1
）那电子被激发到
5s
态；（
2
）它被激发到
4p
态。试求出
LS
耦合情
况下这两种电子组态分别组成
的原子状态。画出相应的能级图。从（
解：（
1
）组态为
4s5s
时
l
l
0,
s s
1
2
1
）和（
2
）情况形成的
L
S
S
0, S
0
时，
J
时
J
1
;
0,1
L
1,
P
三
0,
单
根据洪
特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的
5
种跃迁：
4
P
S
P
S
4
4
;5
5
4P
4S
5
4
,5
S
S
P
;
所以有
5
条光谱线。
（
< br>2
）外层两个电子组态为
4s4p
时：
l 0, l
1, s
s
1
2
L
S
S
1,
S
0
时，
J
时
J
1
;
0,1
L
1,
单
三
2,1,0,
根据洪特定则可以画出能级图，
因此只有一条光谱线。
试以两个价电子
目的可能状态
.
证
根据选择定则可以看出，
只能产生一种跃迁，
4 P 4 S
，
l
2
和
l
3
为例说明
,
不论是
LS
耦合还是
jj
耦合都给出同样数
明
:(1)LS
耦合
S
S
S
0
，
1; L
5,4,3,2,1,
0
时
; J
时
J
1
;
L
L
L
L
1,
,
1;
代入一个
L
值便有一个三重态．５个
L
值共有５乘３等于１５个原子态：
P
D
;F G
; H
因此，
LS
耦合时共有２０个可能的状态．
（２）
jj
耦合：
j
J
s
或
jl
l
5
3
j
j
,
j
s; j
2
2
7
或
5
2
2
将每个
j
、
j
合成
J
得：
j
2
j
2
j
2
j
2
<
/p>
5
3
5
3
和
j
2
7
，合成
J
，合成
J
，合成
J
，合成
J
和
j
2
7
5
5
和
j
2
和
j
2
共２０个状态：
5
2
) ,
(
3
2
,
; (
)
5
,
)
; (
3
,
)
2
2
LS
耦合还是
jj
耦合，都会给出同样数目的可能状态．
所以，对于相同的组态无论是
利用
LS
耦合、泡利原理和洪特定则来确定碳
Z=6
、氮
Z=7
的原子基态。
m
值
解
:
碳原子的两个价电子的组态
2p2p,
属于同科电子
.
这两个电子可能有的
是
1,0,-1;
可能有
m
值
1 ,
1
,
两个电子的主量子数和角量子数相同
,
根据泡利原理
,
它们
是
2
2
m
和
m
至少要有一个不相
同
的其余两个量子数
.
它们的
m
和
m
的可能
配合如下表所
示
.
为了决
定合成的光谱项
,
最好从
M
m
的最高数值开始，因为这就等
于
L
出现的
M
最高数值。现在，
M
D
项。除了
M
2
以外，
M1,0,
M
。这些谱项在表中以
得最高数值是
2
，因此可以得出一个
D
项。又因为这个
只与
M 0
相伴发生，因此这光谱项是
M
0
这一光谱项，它们都是
共有两项是
M
1,
2
也属
的数字右上角的记号“。”
表示。
1, M
0
；有三项是
M 0,
M
0
。在寻找光谱项的过程中，
把它
P
项，在表中
们的哪一项选作
D
项的分项并不特别重要。
类似地可以看出有九个组态属于
以
M
的
碳原子
m
mmm
m M
m M
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
-1/2
-1/2
1/2
1/2
1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
1
1
0
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
1
1
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