原子物理学习题答案(褚圣麟)很详细
-
1
．原子的基本状况
1.1
解：根据卢瑟福散射公式：
<
/p>
ctg
2
<
/p>
4
0
K
Mv
2
b
4
b
0
2
2
2
Ze
Ze
得到：
19
2
Ze
2
ctg
79
(1.60
10
)
ctg
150
2
2
b
3.97
10
15
米
12
6
<
/p>
19
4
0<
/p>
K
(4
8.85
10
)
(7.68
10
10
)
2
式中
K
1
是
<
/p>
粒子的功能。
2
Mv
1.2
已知散射角为
的
粒子与散射核的
最短距离为
r
m
2
Ze
2
1
(
)
(
1
)
，
4
<
/p>
0
Mv
2
sin
2
1
试问上
题
粒子与散射的金原子核之间的最短距离
r
m
多大？
解：将
1.1
题中各量代入
r
m
的表达式，得：<
/p>
r
min
9
2<
/p>
Ze
2
1
(
)
(1
)
2
4
0
Mv
sin
2
1
4
79
(1.60
10
19
)
2
1
14
9
10
(1
)
3.02
10
米
6
19
7.68
10
1.60
10
sin
75
1.3
若用动能为
1
兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核
可能达到的最
解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为
180
< br>
。当入射粒子的动能全部转化为两
粒子间的势能时，两
粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：
Ze
2
1
Ze
2
2
Mv
K
p
，故有：
r
min
4
0
K
p
2
4
0
r
min
79
(
1.60
10
19
)
2
13
9
10
1.14
10
米
10
6
1.60
10
19
9
由上式看出：
r
min
与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电
量得到核
第
1
页
代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为
1.14
10
13
米。
1.7<
/p>
能量为
3.5
兆电子伏特的细
粒子束射到单位面积上质量为
1
.
05
10
2
公斤
/
< br>米
2
的银
箔上，
粒
解：设靶厚度为
t
'
。非垂直入射时引起
粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的
厚度
t
'
，而是
t
t
'
/
sin
60
，如图
1-1
所示。
因为
散射到
与
d
之间
d
立体
角内
的粒子数
dn
与总入射粒子数
n
的比为：
dn
<
/p>
Ntd
(1)
n
2
ze
而
d
为
：
d
(<
/p>
)
(
)
2
2
4
0
Mv
20
º
1
2
d
sin
4
2
（
2
）
60
°
t
,
60
º
t
把（
2
）式代入（
1
）式，得：
dn
1
2
ze
2
2
d
Nt
(
)
(
)
……
（
3
）
n
4
0
Mv
2
4<
/p>
sin
2
图<
/p>
1.1
式中立体角元
d
ds
/
< br>L
2
,
t
t
'
/
s
in
60
0
2
t
'
/
3<
/p>
,
20
0
N
为原子密度
。
Nt
'
为单位面上的原子数，
Nt
'
/
m
Ag
(
A
Ag
/
N
0
)
< br>
1
，其中
< br>是单位面积式
上的质量；
m
Ag
是银原子的质量；
A
Ag
是银原子的原子量；
N
0
是
阿佛加德罗常数。
将各量代入（
3<
/p>
）式，得：
dn
2
N
0
1
ze
2
2
d<
/p>
2
(
)
(
)
n
Mv
2
3
A
Ag
4
0
sin
4
2
由此，得：
Z=47
第二章
原子的能级和辐射
2.1
试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。
第
2
页
解：电子在第一玻尔轨道上即年
n=
1
。根据量子化条件，
p
mvr
n
可得：频率
h
2
v
nh
h
15
2
2
6
.
58
10
赫兹
2
a
1
2
ma
1
2
ma
1
6
2
.
188
10
速度：
v
2
a
1
h
/
ma<
/p>
米
/
秒
1
2
2
22
2
加速度：
w
v
/
r
v
/
a
1
9
.
046
10
米
/
< br>秒
2.3
用能量为
12.5
电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基
跃迁时，会出现那些波长的光谱线？
解：把氢原子有基态激发到你
n=2,3,4……
等能级上去所
需要的能量是：
1
1
)
其中
< br>hcR
H
13
.
6
电子伏特
1
2
n
2
< br>1
E
1
13
.
6
(
1
2
)<
/p>
10
.
2
电子伏特
2
1<
/p>
E
2
13
.
6
(
1
2
)
12
.
1
电子伏特
3
1
E
3
13
.
6
(
1
2
)
12
.
8
电
子伏特
4
E
hcR
H
(
其中
E
1
和
E
2
小于
12.5
电子伏特，
E
3
大于
12.5
电子伏特。可见，具有
12.5
电子伏特能量的
电子不足以把基态氢原子激发到
n<
/p>
4
的能级上去，所以只能出现
n
3
的能级间的跃迁
。
跃迁时可能发出的光谱线的波长为：
1
1
1
R
H
(
1
1
)
5
R
H
/
36
2
2
2
3
1
6565
A
< br>2
1
R
H
(
1
1
3
)
R
H
4
1
2
2
2
2
1215
A
3
R
H
(
1
1
8
)
R
H
9
1<
/p>
2
3
2
3
1025
A
第
3
页
H
e
Li
1
1
1
1
,
H
H
4<
/p>
9
1
1
2.5
试问二
次电离的锂离子
L
i
从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可
能使处于基态的一次电离的
氦粒子
H
e
的电子电离掉？
解：
L
i
由第一激发态向基态
跃迁时发出的光子的能量为：
H
e<
/p>
的电离能量为：
1
1
v
He
4
hcR
He
(
2
)
4
hcR
He
1
hv
Li
27
R
Li
27
1
m
/
M
He
hv<
/p>
He
16
R<
/p>
He
16
1
<
/p>
m
/
M
Li
1
m
/
M
H
e
1
m
< br>/
M
Li
，
由于
M
H
e
M
Li
,
所以
从而有
hv
Li
hv
He
，所以能将
H
e
的电子电离掉。
2.9
Li
原子序数
Z=3
，其光谱的主线系可用
下式表示：
解：
与氢光谱类似，
碱金属光谱亦是单电子原子光谱。
锂光谱的主线系是锂原子的价
电子由高的
p
能级向基态跃迁而产生的。<
/p>
一次电离能对应于主线系的系限能量，
所以
Li
离
子电离成
< br>Li
离子时，有
E
1
R
hc
Rhc
Rhc
5
.
35
电子伏特
2
2
(
1
0
.
< br>5951
)
(
1
0
.
5951
)
Li
是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此
Li
Li
时，电离能
E<
/p>
3
为：
Z
2
Rhc
2
R
E
3
Z
R
hc
122
.
4
电子伏特
。
2
1
设
Li
Li
的电离能为
E
2
。而
Li
Li
需要的总能量是
E=203.44
电子伏特，所以有
E
2
E
E
1<
/p>
E
3
75
.
7
电子伏特<
/p>
2.10
具有磁矩的原子，在横向均
匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？
答：设原子的
磁矩为
，磁场沿
Z
< br>方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为
Z
，于
第
4
页
是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为
F
Z
对均匀磁场，
B
B
，其中
是磁场沿
Z
方向的梯度。
Z
Z
B
0
，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，
且对磁场
Z
B
的
取向服从空间量子化规则。对
于非均磁场，
0
原子在磁场中除做上
述运动外，还
Z
受到力的作用，原子
射束的路径要发生偏转。
2.11
史特恩
-
盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向
磁场，磁场的梯
度为
B
10
3
特
Z
解：
< br>银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。
其轨道为抛物线；
在
'
经磁场区域
L
1
后向外射出时粒子的速度为
v
，
出射方向与
L<
/p>
2
区域粒子不受力作惯性运动。
入射方向
间的夹角为
。
与速度间的关系为：
tg
v
v
粒子经过磁场
L
1
出射
时偏离入射方向的距离
S
为：
S
1
B
L
1
2
(
)
Z
……
（
1
）
2
m
Z
v
将上式中用已知量表示出来变可以求出
Z
f
B
,
t
L
1
/
v
m
m
Z
< br>B
L
1
v
Z
m
Z
v
Z
B
L
1
L
2
S
'
L
< br>2
tg
m
Z
v
2
d
d
<
/p>
B
L
1
L
2
S
S
'
Z
2
2
m
Z
v
2
v
at
,
a
把
S
代入（
1
）式中，得：
d
Z
B
L
1
L<
/p>
2
Z
B
L
1
2
2
2
m
Z
v
2
m
Z
v
2
整理，得：
Z
B
L
1
2
m
<
/p>
Z
v
2
(
L
1
2
L
2
)
d
2
由此得：
Z
0
< br>.
93
10
< br>
23
焦耳
/
< br>特
第三章
量子力学初步
第
5
页
3.1
波长为
1
A
的
X
光光子的动量和能量各为多少？
解：根据德布罗意关系式，得：
6<
/p>
.
63
10<
/p>
34
24<
/p>
1
6
.
63
10
千克
米
秒
动量为：
p
10
10
h
能量为：
E
hv
hc
/
6
.
63
10
34
3
10
8
/
10
10
1
< br>.
986
10
15
焦耳
。
3.2
经过
10000<
/p>
伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长
?
用上述电压加速的质
子束的德布罗意波长是多少？
解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：
h
/
< br>2
meV
对于电子：
m
9
.
11
10
31
公斤，
e
1
.
60
10
19
库仑
把上述二量及
h
的值
代入波长的表示式，可得：
12<
/p>
.
25
12<
/p>
.
25
A
A
0
.
1225
A
V
10000<
/p>
对于质子，
m
1
.
67
1
0
27
公斤，
e
1
.
6
0
10
1
9
库仑
，代入波长的表示式，得：
<
/p>
6
.
626<
/p>
10
34<
/p>
2
1
.
67
10
27
19
1
.
60
10
10000
<
/p>
2
.
862
<
/p>
10
A
3
12
.
25
A
的电子德<
/p>
3.3
电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原
来
V
布罗
意波长与加速电压的关系式应改为：
12
.
25
V
(
1
0
.
489
1
0
V
)
A
<
/p>
6
其中
V
是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。
证明：德布罗意波长：
h
/
p
对高速粒子在考虑相对论效应时，
其动能
K
与其动量
p
之间有如下关系：
K
2
2
< br>Km
0
c
2
p
2
c
2
而被电压
V
加速的电子的动能为：
K
eV
第
6
页
(
eV
)<
/p>
2
p
2
m
0
eV
2
c
2
p
2
< br>m
0
eV
(
eV
)
2
/
c
2
因此有：
h
/
p
h
2<
/p>
m
0
eV
1
1
eV
2
m
0
c
2
一般情况下，
等式右
边根式中
eV
/
2
m
0
c
2
一项的值都是很小的。
所以，
可以将上式的根
< br>式作泰勒展开。只取前两项，得：
< br>
h
2
m
0
eV
(
1
eV
h
6
)
(
1
0
.
489
10
V
)
2
4
m
0
c
2
m
0
eV
12
.
25
A
，其中
V
以伏特为单位，代回原式得：
< br>由于上式中
h
/
2
m
0
eV
V
12
< br>.
25
V
(
1
0
.
489
10
V
)
A
6
由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相
对论效应引起的德布罗意
波长变短。
第四章
碱金属原子
4.1
已知
Li
原子光谱主线系最长波长
6707
A
< br>，辅线系系限波长
3519
A
。求锂原
子第一激发电势和电离电势。
解：
主
线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。
辅线系系限波长是电子
从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为
V
< br>1
，电离电势为
V
，则有：
第
7
页