椭圆焦点三角形面积公式的应用
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椭圆焦点三角形面积公式的应用
x<
/p>
2
y
2
定理
在椭圆
2
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）中，焦点分别为
F<
/p>
1
、
F
2
，点
P
是
a
b
椭圆上任意一点，
F
1
PF
2
，则
S
<
/p>
F
PF
b
2
tan
.
1
2
y
P
P
2
证明：记
|
PF
1
|
r
1
,
|
PF<
/p>
2
|
r
2
，由椭圆的第一定义得
< br>r
1
r
2
2
a
,
(
r
1
r
2
)
2
4
a
2
.
F
1
O
F
2
x <
/p>
在△
F
1
PF<
/p>
2
中，由余弦定理得：
r
1
2
r
2
2
2
r
1
r
2
co
s
(
2<
/p>
c
)
2
.
配方得：
(
r
1
r
2
)
2
2
r
1
r
2
< br>
2
r
1
r
2
cos
4
c
2
.
即
4
a
2
2
r
1
r
2
(
1
cos
)
4
c
< br>2
.
2
(
a
2
c
2
)
2
b
2
r
1
r
2
.
1
< br>cos
1
< br>cos
由任意三角形的面积公式得：
< br>
S
F
1
PF
2
1
sin
r
1
r
2
sin
b
2
<
/p>
b
2
2
1
cos
2
sin
2
2
b
2
tan
.
2
2
cos
2
2
cos
S
F
1
PF
2
b
2
tan
.
2
y
2
x
2
同理可证，在椭圆
2
2
1
（
a
< br>＞
b
＞
0
）中，公式仍然成立
.
a
b
典题妙解
x
2
y
2
1
上的一点，
F
1
、
F
2
是其焦点，且
例
1
若
P
是椭圆
100
64
F
1
PF
2
60
，求
△
F
1
PF
2
的面积
.
x
2
y
2
1
中
，
a
10
,
b
8
,
c
6
,
而
60
.
记
解
法
一
：
在
椭
圆
100
6
4
|
PF
1
|
r
1
,
|
PF
2
|
r
2
.
点
P
在椭圆上，
由
椭圆的第一定义得：
r
1
r
2
2
a
20
.
< br>
在△
F
1
PF
2
中，由余弦定理得：
r
1
2
r
2
2
2
r
1
r
2
< br>cos
(
< br>2
c
)
2
.
配方，得：
(
< br>r
1
r
2
)
2
3
r
1
r
2
144
.
400
3
r
1
r
2
144
.
从而
r
1
r
2
S
F
1
PF
2
< br>256
.
3
< br>1
1
256
3
< br>64
3
r
1
r
2
sin
.
2
2
3<
/p>
2
3
x
2
y
2
1
中，
b
2
64
，而
60
.
解法二：在椭圆
100
64
S
F
1
PF
2
b
2
tan
2
64
tan
30
64
3
.
3
解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
x
2
y
2
例
2
已知
P
是椭圆
1
上的点，
F
1<
/p>
、
F
2
分别是椭
圆的左、右焦
25
9
点，若
PF
1
PF
2
|
PF
1
|
|
PF
2
|
1
，则△
F
1
PF
< br>2
的面积为（
）
2
A.
3
3
B.
2
3
C.
D.
3
3
3
解：设
F
1
PF
2
<
/p>
，
则
cos<
/p>
S
F
1
PF
2
b
2
tan
PF
1
PF
2
|
PF
1
|
|
PF
2
|
< br>1
，
60
.
2
2
9
tan
30
<
/p>
3
3
.
故选答案
A.
x
2
y
2
例
3
（
04
湖北）已
知椭圆
1
的左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
，点
P
16
9
在椭圆上
.
若
P
、
F
1
、
F
2
是一个直角三角形的三个顶点，则点
P
到
x
轴的距
离为（
）
A.
D.
9
7
9
9
B.
C.
7
5
4
9
7
9
或
7
4
b
2
9
解：若
F
1
或
F
2
< br>是直角顶点，则点
P
到
x
轴的距离为半通径的长
；
< br>a
4
若
P
是直角顶点，设点
P
到
x
轴的距离为
h
，则
S
F
PF
b
2
tan
9
tan
45
9
，
1
2
2
又
S
F
PF
(
2
c
)
h
7
h
,
<
/p>
1
2
1
2
7
h
9
，
h
9
7
.
故答案选
D.
7
金指点睛
y
2
x
2
1.
椭圆
1
上一点
P
与椭圆两个
焦点
F
1
、
F
2
的连线互相垂直，则△
49
24
F
1
PF
2
的面积为（
）
A.
20
B.
22
C.
28
D.
24
x
2
2.
椭圆
y
2
1
的左右焦点为
F
1
、
F
2
，
P
是椭圆上一点，当△
F
1
PF
2
的面
4
积为
1
时，
PF
1
PF
2
的值为（
）
A.
0
B.
1
C.
3
D.
6
x
2
3.
椭圆
y
2<
/p>
1
的左右焦点为
F
1
、
F
2
，
P
是椭圆
上一点，当△
F
1
PF
2
的面
4
积最大时，
PF
1
PF
2
的值为（
）
A.
0
B.
2
C.
4