牛顿几何三大定理及证明
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牛顿三大定理
<
/p>
牛顿定理
1
：完全
四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，
三
点共线。这条直线叫做这个四边形的
牛顿线
。
证明：
四边形
AB
CD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD
中点
M,AC<
/p>
中点
L,EF
中点
N
。
取
BE
中点
P,BC
中点
R,PN∩CE=Q
R,L,Q
共线，
QL/LR=EA/AB
，
M,R,P
共线。
< br>RM/MP=CD/DE
，
N,P,Q
< br>共线，
PN/NQ=BF/FC
三式相乘得
:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC
由梅涅劳斯定理
QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 <
/p>
由梅涅劳斯定理的逆定理知
:L,M,N
三点共线
故牛顿定理
1
成立
牛顿定理
2
圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
证明：设四边形
ABCD
< br>是⊙
I
的外切四边形，
E
和
F
分别是它的对角线
AC
和
BD
的中点，
连接
EI
只需证它过点
F
，即只需证△
BEI
与△
< br>DEI
面积相等。
显然，
S
△
BEI=S
△
BIC+S
△
CEI-S
△
BCE
，而
S
△
DEI=S
△
ADE+S
△
AIE-S
△
AID
。注意两个
式子，由
ABCD
外切于⊙
I
，
AB+CD=AD+
BC
，
S
△
B
IC+S
△
AID=1/2*S
四边形
ABCD
，
S
△
ADE+S
△
BCE=1/2*S<
/p>
△
ACD+1/2*S
△
ABC=1/2*S
四边形
ABCD
< br>。即
S
△
BIC+S
△
AID=S
△
ADE+
S
△
BCE
，移项
得
S
△
BIC-S
△
BCE=S
△
ADE-S<
/p>
△
AID
，由
E
是
AC
中点，
S
△
CEI=S
△
AEI
，故
S
△
< br>BIC-S
△
CEI-S
△
BCE=S
△
ADE-S
< br>△
AIE-S
△
AID
，即
S
△
BEI=
△
DEI
，而
F<
/p>
是
BD
中点，由共边比例定理
EI
过
点
F
即
EF
过点
I
，故结论成立。证毕。
牛顿定理
3
圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四
边形对角线交点重合。