牛顿迭代法及其应用
-
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
编号
毕
业
设
计（论文）
题目
Newton
Raphson
算法及其应用
二级学院
数学与统计学院
专
业
信息与计算科学
班
级
108010101
学生姓名
侯杰
学号
1
指导教师
职称
时
间
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
目
录
摘
要
<
/p>
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
3
Abstract
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
3<
/p>
一、绪论………………………………
………………………………………………
4
1.1
选题的背景和意义
……………………………………………………………
4
1.2
牛顿迭代法的优点及缺点
……………………………………………………
4
二、
Newton
Raphson
算法的基本原理
„„„„„„„„„„„„„
„„„„„
5
2.1
Newton Raphsn
算法„„„„„„„„„„„„„
„„„„„„„„„„
5
2.2
一种修正的
Newton
Raphsn
算法„„„„„„„„„„„„„„„„„„
7
2.3
另外一种
Newton
Raphsn
算法的修正„„„„„„„„„„„„„„„„
1
1
三、
Newton
Raphson
算法在计算方程中的应用
„„„„„„„„„
„„„„„
18
四
、
利用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率
„„„„
„„„„„„„„„
21
4.1<
/p>
附息国债实时收益率的理论计算公式„„„„„„„„„„„„„„„
22
4.2
附息国债实时收益率的实际计算方法„„„„
„„„„„„„„„„„
22
4.3
利用牛顿迭代法计算„„„„
„„„„„„„„„„„„„„„„„„
23
五、结论…………………………………………………………………
„„„„„
26
致谢……………………………………………………………
………………………
27
参考文献………………………………
………………………………………………
28
2
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
摘
要
牛顿在
17
世纪提出的一种近似求解方
程的方法，即牛顿拉夫森迭代法
.
迭代法
是一种不断的用变量的旧值递推新值的过程
.
跟迭代法相对应
的是直接法或被称为一
次解法，即一次性解决的问题
.
迭代法又分为精确迭代以及近似迭代
.
“牛顿迭
代法”
就属于近似迭代法，
本文主要讨论的就是牛顿迭代法，<
/p>
方法本身的发现到演变到修正
的过程，
避
免二阶导数计算的
Newton
迭代法的一个改进，
以及用牛顿迭代法解方程，
利用牛顿迭代法计算国债的实时收益率。
关键词
：
Newton
Raphson
迭代算法；近似解；收益率；
Abstract
In
the
17th
century
，
Newton
raised
by
an
approximate
method
of
solving
equations
，
that is Newton
Iteration
，
a
process of recursion new value constantly with the
old
value
of
variable.
Correspond
with
the
iterative
method
is
a
direct
method
or
as
a
solution
，
that is a one-time problem solving.
Iteration is divided into exact iterative and
approximate iterative.
article mainly focuses on the Newton
Iteration. The main contents of this article
include the
discovery
，
evolution
and
amendment
process
of
this
methods;
an
improve
of
avoiding
calculating
Newton
Iteration
with
second-order
derivative;
Newton
Raphson
iterative
method of solving
equations and Calculating the real-time yield of
government bonds.
Keywords:
Newton Iterative Algorithm; approximate
solution; Yield
；
3
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
一、
绪论
1.1
选题的背景和意义
牛顿拉夫森迭代法是牛顿在
17
世纪提出的一种
在实数域和复数域上近似求解方
程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常
困难，甚至不可能，从而寻
找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数
f
(
x
)
< br>的泰勒级数的前面几项来寻找
方程
f
(
x
)
0
的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程
< br>f
(
x
)
0
的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的
重根、复根
,
此时
线性收敛，但是可通
过一些方法变成超线性收敛。
利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：
（
1
）确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中
，至少存在一个直接或间
接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。<
/p>
（
2
）建立
迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一
个值的公式（或关系
）
。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递
推或倒推的方法来完成。
（
3
）对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须
< br>考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭
代过程的控制通常可分为两
种情况：
一种是所需的迭代次数是个
确定的值，
可以计算出来；
另一种是所需的迭代
次数无法确定。
对于前一种情况，
可以构建一个固定次
数的循环来实现对迭代过程的
控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过
程的条件。
1.2
牛顿迭代法的优点及缺点
<
/p>
迭代法是求方程近似根的一个重要方法，
也是计算方法中的一种基
本方法，
它的
算法简单，
是用于求方程
或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
牛顿迭代法是
求方
程根的重要方法之一，其最大优点是在方程
f
(
x
)
0
的单根附近具有平方收敛，
4
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
而且该法还可以用来
求方程的重根、
复根。
牛顿法是方程求根的一个有力方法，
常常
能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。假定有一个函数
y
f
(
x
)
，方程
f
(
x
)
0
在
x
r
处有一个根，对于此根，先估计一个初始值
x
0
（可以是猜测的）
。得
到一个更好的估计值
x
1
。为此
f
(
x
)
x
0
处作该曲线切线，并将其延长与
x
轴相交。切<
/p>
线与
x
轴的交点通常很接近
r
，我们用它作为下一个估计值
x
< br>1
，求出
x
1
< br>后，用
x
1
代替
x
0
。重复上述过程，在
x<
/p>
x
1
处作曲线
的另一条切线，并将其延长至与
x
轴相交，用
< br>切线的
x
轴截距作为下一个近似值
x
2
„„这样继续下去，所得出的这个
x
轴截距的序
列通常迅速接近根
r<
/p>
。
缺
点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿
迭代法计算
量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。
二、
Newton Raphson
算法的基本原理
2.1 Newton
Raphsn
算法
牛顿迭代法
(
Newton meth
od
)
又称为牛顿
-
< br>拉夫森方法
(
Newton-Rapfson meth
od
)
，
它是牛顿在
< br>17
世纪提出的一种近似求解方程的方法
.
多数方程不存在的求根公式，
因
此求精确根相当困难
甚至不可能，从而寻找方程的近似根就会显得特别重要
.
方法在
使用函数
f
(
x
)
的泰勒级数的前面几项来寻找方程
f
(
x
)
<
/p>
0
的根
.
牛顿迭
代法是求方程
的根的重要方法之一，其最大的优点是在方程
f<
/p>
(
x
)
0
的单根附近具有平方收敛性，
而且该法还可
以用来求方程的重根、复根
.
牛顿迭代法方法简单，
每次迭代都是简单的去重复运算，
易于编制程序；
与求解
线性方程的精确法相比较，
简单迭代法对于字长位数较
少的计算机更加的适用，
它可
以用增加迭代的次数来弥补字长位
数少的不足
.
初值可以任意的取，因而中间结果偶
5
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
然的错误不影响最后结果的获得。
多数情况下是得不到一般的数学方法所需的函数表达式，
或者难
以找到原函数。
线性方程组中的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机的工作量太大而
无法实施。
对于这些问题，
都可以利用数值的方法来求解，
在计算机中实现的数值方法也被称之
为数值算法。
< br>牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。
迭代法的一个主
要功能：计算方程时可以比较的快速。
解非线性
方程
f
(
x
)
0
的
New
ton-Rapfson
算法是把非线性的方程线性化为一种
近
似方法
.
把
f
(
x
)
的
x<
/p>
0
点附近展开泰勒
(
Taylor
）级
f
'
'
(
x
0
)
f
(
x
)
f
(
x
0
)<
/p>
f
(
x
x
0
)
f
(
x
0
)
(
x
x
0
)
.
2
!
'
2
取其线性部分用来作为非线性方程
f
(
x
)
0
的近似方程，则有：
< br>
f
(
x
0
)
f
'
(
x
0
)(<
/p>
x
x
0
)
0
.
设
f
'
(
x
0
)
< br>0
，则其解为：
x
1
x
0
f
(
x
0
)
.
'
f
(
x
0
)
再把
f
< br>(
x
)
在
x
1
附近展开泰勒
(
Taylor
)
级数，取其现行部分作为
f
(
x
)
< br>
0
的近似方
程
.
若
f
'
(
x
0
)
0
，则得：
x
2
x
1
f
(
x
1
)
.
f
'
(
x
1
)
这样，得到牛顿
(
Newton-Ra
pfson
)
算法的一个迭代的序列：
x
n
1
x
n
f
(
x
n
)
.
'
f
(
x
n
)
牛顿迭代法有十分明显的几何意义，如下图所示：
6
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
当选取初值
x
0
以后，过（
x
< br>0
，
f
(
x
0
)
）做
f
(
x
)
的切
线，其切线的方程为：
图
1
y<
/p>
f
(
x
0
)
f
'
(
x
0
)(
x
x
< br>0
)
.
求此切线方程和
x
轴的交点，即得：
x
1
x
0
f
(
x
0
)
.
'
f
(
x
0
)
牛顿迭代
法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法
.
：
2.2
一种修正的
Newton
Raphsn
算法
给出了牛顿
(
Newton-Rapf
son
)
算法的一种修正的形式，并证明了当
< br>r
的牛顿
(
< br>Newton-Rapfson
)
算法是二阶收敛的，当
参数
r
1
时
修正
2
1
时是三阶收敛时，数值实
2
验得出结果，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿
(
Newton-Rapfson
)
< br>算法具有一定的
优势
.
众所周知
的，
数值求解非线性方程
f
(
x
)
0
的根的方法很多
.
经典的牛顿迭代法
是非线性方程组求根的一个基本的方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根
.
牛顿
7
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
法因收敛速度快而得
到广泛应用，
也倍受学者的重视，
近年来很多文献中提出各种改
进的牛顿方法
.
文献［
8
］中利用
Newton-Rapfson
迭代法和微分中值定理“中值点”
的渐进性，提出的一种多点迭代的算法<
/p>
.
设
f
(
x
)
满足下述条件：
f
(
x
)
c<
/p>
2
a
,
b
，
f
(
a
)
f
(
b
)
0
.
f
'
(
x
)
< br>
0
，
f
'
'
(
x
)
在
a
,
b
上保号。
（
A)
f
< br>(
b
)
f
(
a
)
a
1
根据微
分中值定理，
即存在
(
a
,
b
< br>)
，
使得：
而
< br>lim
f
'
< br>(
)
，
.
b
a
b
a
b<
/p>
a
2
因此，当
b
与
a
的距离
无限接近时有：
y
A
P
O
D
C
x
图
2
a
(
b
a
)
.
也就是说，在区
间
(
a
,
b<
/p>
)
不甚大的时候，中值点
一定在其渐近的位
1
置
<
/p>
a
(
b
a
)
附近，并随区间变小而趋于其渐近的位置
.
图所示
的迭代算法构造
2
图本方案基于上述考虑，
给出一种通过迭代点而选取另一个点，
利用两个点进行迭代
求近似根的新方法
.
这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它
的点，但其计算精度
却相当的高，
它的某一种特殊情形恰是通常
的
Newton-Rapfson
迭代算法
.
为了更加直
1
2
8
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
观起见，我们通过几
何直观图来构造这种迭代算法
.
设
f<
/p>
(
x
)
满足条件
(A)
，当选定初
值
< br>x
0
f
(
x
0
)
(
仅要求
f
(
x
0
)
f
'
'
(
x
)
0
)
，
如图所示，
作交点的切线交
x
轴于
B
x
<
/p>
0
f
'
(
x
)
,
0
，
0
AQ
线段的斜率为：
f
(
x
0
)
f
(
< br>x
0
)
f
x
0
f
'
(
x
)
0
.
f
(
x
0
)
x
0
x
0
'
< br>
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
由微分中值
定理得知，存在
x
,
x
0
f
'
(
x
)
0
<
/p>
使得：
0<
/p>
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
f
x
0
f
'
(
x<
/p>
)
0
f
'
(
x
0
)
.
f
< br>(
x
0
)
x
0
x
0
f
'
(
x
)
0
f
(
x
0
)
1
f
(
x
0
)
1
r
而
< br>
x
0
'
，因此，我们取数
x
0
'
,
1
，在点
f
(
x
0
)
2
f
(
x<
/p>
0
)
2
f
(
x
0
)
P
x
(
1
r
)
,
'
<
/p>
0
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
作切线
PC
，图中
AD
平行于
PC.
即用点
<
/p>
f
x
(
1
r
)
'
0
f
(
x
0
)
f
(<
/p>
x
0
)
P
的导数
f
'
取代点
A
的导数，而继续用点
A
的迭代格式得到的点<
/p>
D
x
(
1
r
)
'
0
f
(
x
0
)
的坐标
<
/p>
f
(
x
0
)
D
x
0
,
0
.
f
< br>(
x
0
)
'
f
x
(
1
r
)
'
0
< br>f
(
x
)
0
9
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
重复上述过程，得到多点迭代公式：
x
k
1
x
k
f
(
x
k
)
f
(
< br>x
k
)
f
'
x
(
1
r
)
'
k
f
(
x
k
)
< br>
. (1)
其中
x
k
a
,
b
，
k
1
,
2
,
< br>.
下面我们对上述事实，从理论上加以严格的证明
.
定理
设
f<
/p>
(
x
)
满足条件
(A)
，
则由多点迭代公式
(1)
产生的序列
{
x<
/p>
n
}
必收敛于
a
,
b
上的唯一
a
，这里
x
n
a<
/p>
,
b
，
f
(
a
)
0
.
证明
:
函数
f
(
x
)
在<
/p>
a
,
b
上连续，
由连续函数根的存在定理，
从
f
(
a
)
f
(
b
)
0
知道
< br>f
(
x
)
在
a
,
b
上的根存在，又由条件
f
'
(
x
)
0
以及
f
< br>'
'
(
x
)
保号知道，
f
'
< br>(
x
)
在
a
,
b
上不
变号，故
f
(
x
)
在
a
,
b
上是单调函数，因此
f
(
< br>x
)
在
a
,
b
上
的根
a
存在且唯一
.
< br>由定理
条件曲线
y
f
(
x
)
可有如下四种不同的情况：
(1)
< br>f
(
a
)
0
，
f
(
b
)
0
，
f
'
'
(
x
)
0
，则
f
'
(
x
)
单调上升，
f
'
(
a
)
f
'
(
b
)
0
；
(2)
f
(
a
)
0<
/p>
，
f
(
b
)
0
，
f
'
'
(
x
)
0
，则
f
'
(
x
)
单调下降，
f
< br>'
(
a
)
f
'
(
b
)
0
；
(3)
f
(
a
)
0
，
f
(
b
)
0
，
f
< br>'
'
(
x
)
0
，则
f
'
(
x
)<
/p>
单调上升，
f
'
(
a
)
f
'<
/p>
(
b
)
0
；
(4)
f
(
a
)
0
，
f
(
b
)
0
，
f
'
'
(
x
)
<
/p>
0
，则
f
'
(
x
)
单调下降，
f
'
(
a
)
f
'
(
b
)
0
.
通过对自变量的变号或者对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，<
/p>
所以我们
只需对其情况
(
一
)
证明迭代过程
(1)
收敛就可以了
.
若初值
< br>x
n
a
,
b
，
x
0
a
，所以
f
(
x
0
)
0
，故有
x
1
x
0
f
(
x
0
< br>)
f
(
x
0
)
f
'
x
(
1
r
)
'
0
f
(
x
< br>0
)
f
(
x
0
)
'
f
x
0
(
1
r
)
< br>'
f
(
x
0
)
x
0
x
< br>1
x
0
f
(
x
0
)
10
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
x
0
f
(
a
)
f
'
(
)(
x
0
a
)
f
(
x
0
)
f
'<
/p>
x
(
1
r
)
'
0
f
(
x
)
0
.
x
0
f
'
(
)(<
/p>
x
0
a
)
f
(
x
0
)
f
x
0
(
1
r
)
'<
/p>
f
(
x
0
)
'
f
(
x
0
)
一方面，
< br>(
a
,
x
0
)
，且
f
(
x
0
)
<
/p>
f
'
(
x
0
a
)
.
下证
f
'
(
x
)
< br>f
'
.
若
x
(
1
r
)
'
0
f
(
x
0
)
f
< br>(
x
0
)
f
(
x
0
)
'
x
(
1
r
)
，又因
x
f
(
x
)
，由
的单调性有：
，
f
'
(
x
)
f
'
x
< br>(
1
r
)
0
'
'
0
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
x
0
< br>
(
1
r
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
'
'
< br>
，
因此就有
x
f
x
f
(
)
，
与<
/p>
Newton
迭代算法
0
0
'
'
'
f
(
x
0
)
f
(<
/p>
x
0
)
f
(
x
0
)
的收敛性矛盾
. <
/p>
f
(
x
0
)
由
(
一
)
的假设及
f
'
(
)
f
< br>'
可得：
< br>x
(
1
r
)
'
0
f
(
x
0
)
f
'
(
)(
x
0
a
)
x
1
x
0
x
0
(<
/p>
x
0
a
)
a
.
f
(
x
0
)
f
'
x
(
1
< br>r
)
'
0
f
(
x
)
0
一般地，若
x
n
a
，同样可以证明由式
(1)
得到
x
n
1
满足
a
x
n
1
< br>
x
n
.
依极限理论
的必有极限
.
对式
(1)
两边取极限，由极限理论可求得
f
(
a
'
)
0
.
再由
f
'
(
x
)
0
，
x
n
a
,
b
，可
知函数方程
f
(
x
)
0
在
a
,
b
<
/p>
上的根是唯一的，因此有
a
'
a
.
当
r
1
时，式
(1)
即为
Newton-
Rapfson
迭代公式
.
本文给出
的这种多点迭代方法不仅可以广泛应用于方程的近似求根，
更重要的是
< br>它为人们提供了一种新的迭代算法思想，拓宽人们求方程近似求根方面的思路
.
2.3
另外一种
Newton
Raphsn
算法
的修正
Newton-Rapfson
迭代算法是方程求根的一种简单
而直观的近似方法，
但在实际运
用中，
我们常常发现到，
这种方法仅是利用了迭代点及该点的导数值，
而没有充分利
用其他点及其导数的值
.
是否存在可利用的点，这些点我们应怎样的去确定
.
文
[1]
给
11
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
出了一种新的方法，
但这种方法求根的关键在适当地去选取
x
0
和
r
或
r
n
.
选取不适当
时，就会出现某次迭代
的值不是迭代序列中的值
.
因此，我们会问这些值特别是
x
0
能
否不依靠人为
选取，而通过迭代点来选取，本文将利用
Newton-Rapfson
迭代算法和
微分中值定理“中值点”的渐近性，来寻找除迭代点以外的可以利用
点，给出一种多
点迭代方法
.
设
f
(
x
)
满足下列叙述条件：
f
(
x
)
c
2
a
,
b
，
f
(
a
)
f
(
b
)
< br>0
；
f
'
(
x
)
0
，
f
'
(
x
)
在
a
,
b
上保号
.
(A)
根据微分中值定理，
存在
<
/p>
(
a
,
b
)
，
使
f
(
b
)
f
(
a
)
a
1
f
'
(<
/p>
)
而
lim<
/p>
.
因此，
b<
/p>
a
b
a
b
a
2
1
当
b
与
a
的距离无限接近时就有：
a
(<
/p>
b
a
)
.
也就是说，在区间
a
,
b
不
甚大的
2
1
时候，中值点
一定在其渐近的位置
a
(
b
a
)
附近，并随
区间变小而趋于其渐
2
近的位置
.
本方案基于上述考虑，给出一种通过其迭代点选取另一个点，利用两个点
去迭代求近似根的新方法
.
设
f
(
x
)
满足下
列的条件
(A)
：
(1)
f
(
x
)
在区间在区间
< br>a
,
b
上存在二阶导数；
(2)
f
'
(
x
)
在
a
,
b
上不等于零；
(3)
f
'
'
(
x
)
在<
/p>
a
,
b
上不变号；
(4)
f
(
a
)
f
(
b<
/p>
)
0
；
为了更为直观，
我们通过几何直观图来构造
多点迭代算法
.
设
f
< br>(
x
)
满足条件
(A)
，
当选定初值
x
0
（仅要求
f
(
x
0
)
f
'
'
(
x
)
0
）后，如图所示：<
/p>
12
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
y
A
P
Q
O
D
C
B
图
3
x
f<
/p>
(
x
0
)
f
(
x
0
)
f
x
0
'
f
(
x
0
)
<
/p>
f
(
x
0
)
；
做
A
点的切线交
X
轴于
B
，
AQ
线段斜率为：
x
,
0
0
f
'
(
x
0
)
f
< br>(
x
0
)
x
0
x
0
f
'
(
x
)
0
< br>
f
(
x
0
)
由微分中值定理可知，存在<
/p>
x
0
f
'
(
x
)
,
x
0
使得：
0
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
< br>
f
x
0
f
'
(
x
)
0
f
'
(
x
0
)
. <
/p>
f
(
x
0
)
x
0
x
0
f
'
(
x
)
0
<
/p>
而
x
0
f
(
x
0
)
1
f
(
x
0
)
1
<
/p>
r
，
因
此
，
我
们
可
以
取
数
x
,
1
，
就
在
点
0
'<
/p>
'
f
(
x
0
)
2
f
(
x
0
)
2
f
(
x
0
)<
/p>
作切线<
/p>
PC
，图中的
AD
平行于
PC.
即用点
P
f
x
< br>
(
1
r
)
'
0
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
< br>P
x
(
1
r
)
,
'
0
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
< br>
的导数
f
< br>'
代替点
A
< br>的导数，
而仍用点
A
的迭代格式
去得到点
D
的坐
x
(
1
r
)
'
0<
/p>
f
(
x
0
)
标
13
重庆理工大学毕业论文
（
Newton Raphson
算法及其应用）
< br>
f
(
x
0
)
D
x
0
,
0
(2)
f
(
x
k
)
'
<
/p>
f
x
0
(
1
r
)
'
f
(
x
k
)
<
/p>
f
(
x
k
)
主要对
(2)
式的分子
f
(
x
0
)
用
f
(
x
k
)
与
f
< br>x
k
的和取代，这
f
(
x
k
)
'
f
x
(<
/p>
1
r
)
'
k
f
(
x
)
k
样就能得到新的迭代公式：
f
(
x
k
)
f
(
x
k
< br>)
f
x
k
f
(
x
)
'
k
f
x
k
(
< br>1
r
)
f
'
(
x
)
k
x
k
1
x
k
. (3)
f
(
x
k
)
f
'
x
(
1
< br>r
)
'
k
f
(
x
k
)
如果令
(
x
)
x
(
1
r
)
f
(
x
< br>k
)
f
(
x
k
)
x
w
(
x
)
x
.
.
则：
k
1
k
k
f
'
(
)
f
'
(
x
k
)
< br>
f
x
k
1
.
x
k
1
x
k
1
< br>'
f
(
x
)
从而可知
(3)
式中迭代函数为：
(
x
)
w
(
x
)
f
< br>w
(
x
)
.
f
'
w
(
x
)
引理
1[5]
对于迭代公式
x
k
1
(
x
k
)
，如果
p
在所求根<
/p>
x
*
的邻近连续并且：
< br>
'
(
x
)
'
'
(
x
)
k
p
1
(
x
< br>)
0
，
(
p
)
(
x
*
)
0
，则该公式在
x
*
的邻近是
p
阶收
敛的
.
定理
1
设方
程
f
(
x
)<
/p>
的根为
x
*
，函
数
f
(
x
)<
/p>
在
x
*
的的邻域
内有至少四阶连续的导
数，且
f
'
(
x
)
0
，则就迭代公式
(3)
在的
x
*
邻近至少是三阶收敛的
.
证
明
迭
代
公
式
(3)
的
迭
代
函
数
为
：
(
x
)
w
(
x
)
f
(
w<
/p>
(
x
))
，
在
其
中
f
'
(
w
(
x
))
w
(
x
k
)
x
k
f
(
x
k
)
*<
/p>
*
*
*
f
(
x
)
f
(
x
)
0
w
(
x
)
x
，由于方程
的根为
所以
，从而可知
，
x
f
'
(
)
14