拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较
-
拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较
[
摘
<
/p>
要
]
在生产和科研中出现的函数是多样的
。对于一些函数很难找出其解析表达式。即使在某些情况下，可以写出函
数的解析表达式
，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然
而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值 计算方法的基础。
拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是
讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者
的比较。
[
关键词
]
拉格朗日插值
牛顿插值
插值多项式
比较
一、
背景
在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际
问题中，虽然可以断定所考虑的函数
f
(<
/p>
x
)
在区间
[<
/p>
a
,
b
]
上存在且连续，但却难以找到它的
解析表达式，只能通过实验和观测得
到在有限个点上的函数值（即一张函数表）
。显然，
要利用这张
函数表来分析函数
f
(
x
)
的性态，
甚至直接求出其他一些点上的函数值可能
是非
常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式）
，构造某
个简单函数
P
(
x
)
作为
f
(
x
)
的
近似。
这样就有了插值法，
插值法是解决此类问题目前常用的<
/p>
方法。
如设函数
y
f
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上连续
，
且在
n
1
个不同的点
a
x
0
,
x
1
,
,
x
n
b
上分别
取值
y
0
,
y
1
,
,
y
n
。
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类
中，求一简单函数
P
(
x
)
，使
P
(
x
i
)
y
i
(
i
0
,
1
,
,
n
)
而在
其他点
x
x
i
上，作为
f
(
x
)
的近似。
通常，称区间
[
a
,
b
]
为插值区间，称点
x<
/p>
0
,
x
1
,
,
x
n
为插值节点，称式
P
(
x
i
)
y
i
为插值
条件，
称函数类
为插值函数类，称
P
(
x
)
为函数
f
(
x
)
在节点
x
0
,
x
1
,
,
x
n
处的插值函数。
求插值函数
P
(
x<
/p>
)
的方法称为插值法。
插值函数类
的取法不同，所求得的插值函数
P
(
x
)
逼近
f
(
x
)
的效果就不同。它的选
择取决于使用上的需要，常用
的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多
项式作为插值函数时，相应的
插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与
牛顿插值法就是这类插值问题
。
在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超
过
n
的代数多项式
P
(
x
)
a
< br>0
a
1
x
a
n
x
n
使
P
n
(
x
i
)
y
i
(
i
< br>
0
,
1
,
,
n
)
，其中，
a
0
,
a
1
,
<
/p>
,
a
n
为实数。
第
1
页
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7
页
拉格朗日插值法即是寻求函数
L
n
(
x
)
（拉格朗日插值
多项式）近似的代替函数
f
(
x
)
。
相似的，牛顿插值法则是通过
N
n
(
x
)
（牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。
二、
理论基础
（一）拉格朗日插值法
在求满足插值
条件
n
次插值多项式
P
n
(
x
)
之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点
x
i
(
i
0
,
1
,
,
n
)
中任一点
< br>x
k
(
0
k
n
)
，作一
n
次多项式
l
k
(
x
)
，使它在该点上取值为
1
，
而在其余点
x
i
(
i
0
,
1
,
k
1
,
k
< br>1
,
,
n
)
上取值为零，即
1
i
< br>k
l
k
(
x
i
)
0
i
k
上式表明
n<
/p>
个点
x
0
,
x
1
,
,
x
k
1
,
x
k
< br>
1
,
,
x
n
都是
n
次多项式
l
k
(
x
)
的零点，故可设
l
k
(
< br>x
)
A
k
(
x
x
0
)(
x
<
/p>
x
1
)
(
x
x
k
1
)(
x
x
k
< br>
1
)
(
x
x
n
)
其中，
A
k
为待定系数。由条件
l
k
(
x
k
)
< br>
1
立即可得
A
k
1
(
x
k
x
0
)
<
/p>
(
x
k
x
k
1
)(
x
k
x
k
1
< br>)
(
x
k
x
n
)
[
1
]
故
l
k
(
x
)
(
x
x
0
)
(
x
x
k
< br>
1
)(
x
x
k
1
)
(
x<
/p>
x
n
)
(
x
k
x
0
)
(
x
k
x
k
1
)(
x
k
x
k
1
)
(
x
k
x
n
)
由上式可以写出
n
1
个
n
次插值多项
式
l
0
(
x<
/p>
),
l
1
(
x
),
,
l
n
(
x
)
。我们称它们为在
n
1
个节
点
x<
/p>
0
,
x
1
,
,
x
n
上的
n
次基本插值多项
式或
n
次插值基函数。
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的
n
次插
值多项式
y
0
l
0
(
x
)
y
1
l
1
(
x
)
<
/p>
y
n
l
n
(
x
)
1
i
k
根据条件
l
k
(
x
i
)
< br>
，容易验证上面多项式在节点
x
i
处的值为
y
i
(
i
0
,
1
,
<
/p>
,
n
)
，
0
i
k
因此，它就是待求的
n
次插值多项式
P
n
(
< br>x
)
。
形如
y
0
l
0
(
x
)
<
/p>
y
1
l
1
(
x
)
y
n
l
n
(
x
)
的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为
L
n
(
x
)
，即
第
2
页
共
7
页
L
n
(
x
)
y
1
l
1
(
x
< br>)
y
2
l
2
(
x
)
y
n
l
n
(
x
)
(
x
x
0
< br>)
(
x
x
k
1
)(
x
x<
/p>
k
1
)
(
x
x
n
)
(
x
k
x
0
)
(
x
k
x<
/p>
k
1
)(
x
k
x
k
1
)
(
x
k
< br>
x
n
)
作为常用的特例，令
n
1
，由上式即得两点插值公式
L
1
(
x
)
< br>
y
0
y
1
y
0
(
x
x
0
)
，这是一个线性函数，故又名线性插值
。
x
1
<
/p>
x
0
若令
n
1
，则又可得到常用的三点插值公式
L
2
(
x
)
y
0
(
x
< br>x
0
)(
x
x
2
)
(
x
x
0<
/p>
)(
x
x
1
)
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
y
1
y
2
(
x
0
x<
/p>
1
)(
x
0
x
2
)
(
x
1
x
0
)(
x
1
x
2
)
(
x
2
x
0
)(
x
2
x
1
)
这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。
（二）牛顿插值法
由
线
性
代
数
知
，
任
何
一
个
不
高
< br>于
n
次
多
项
式
，
都
可
以
表
示
成
函
数
1
,
x
x
0
,
(
x
< br>x
0
)(
x
x
1
),
,
(
x
x
0
)(
x<
/p>
x
1
)
(
x
x
n
1
)
的线性组合。既可以吧满足插值条件
P
(
x
i
)
< br>
y
i
(
i
0
,
1
,
,
n
)
的
n
次插值多项
式写成如下形式
a
0
a
1
(
x
x
0
)
a
2
(<
/p>
x
x
0
)(
x
x
1
)
a
n
(
< br>x
x
0
)(
x
x
1
)
(
x<
/p>
x
n
1
)
其中，
a
k
为待定系数。这种形式的插值多项式称为
牛顿插值多项式，记为
N
n
(
x
)
，即
N
n
(
x
)
a
0
< br>
a
1
(
x
x
0
)
a
2
(
x
x
0
)(
x
x
1
)
a
n
(
x
x
0
)(
x
x
1
)
(
x
x
n
1
)
因此，牛顿插值多项式
N
n
(
x
)
是插值多项式
P
n
< br>(
x
)
的另一种表示形式。
[
1
]
<
/p>
设函数
f
(
x<
/p>
)
在等距节点
x
k
x
0
<
/p>
kh
(
k
0
,
1
,
,
n
)
处的函数值
f
(
x
k
)
y
k
为已知，其中
h
是正常数
，
称步长。
我们称两个相邻点
x
k
和
x
k
1
处函数之差
y
k
1
y
k
为函数
f
(
x
)
在点
x
k
处
以
< br>h
为步长的一阶向前差分，记作
y
k
，即
y
k
y
k<
/p>
1
y
k
于是，函数
f<
/p>
(
x
)
在各节点
处的一阶差分依次为
y
0
y
1
y
0
,
y
1
y
2
y
1
,<
/p>
y
n
1
y
n
y
n
1
又称一阶差分的差分
<
/p>
2
y
k
(
y
k
)
y
k
1
y
k
为二阶差分。一般的，定义函数
f
(
x
)
在点
x
k<
/p>
处的
m
阶差分为
m
y
k
<
/p>
m
1
y
k
1
m
1
y
k
。
在等距节点
x
k
x
0
kh
(
k
0
,
1
,
,
n
)
情况下
，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。
事
实
上
，
由
插
< br>值
条
件
N
n
(
x
0
)
y
0
可
得
a
0
y
0
；
再
由
插
值
条
< br>件
N
n
(
x
1
)
y
1
可
得
k
y
0
y
1
y
0
y
0
；一般的，由插值条
件
N
n
(
x<
/p>
k
)
y
k
可得
a
k
a
1
k
!
h
< br>k
x
1
x
0
h
第
3
页
共
7
页
(
k
1
,
2
,
,
n
)
。
< br>