牛顿方程、拉格朗日方程、达朗伯原理及哈密顿的比较
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牛顿方程、拉格朗日方程、达朗伯原理及哈密顿方程的比较
（以阿特伍德机为例）
r
o
x
M
1
M
2
已知
：绳长为
l
，半径为
r
，滑轮质量不计，
m
1
，
m
2
的坐标分别为
x
1
，
x
2<
/p>
。试求两物
体的加速度
x
1
，
x
2
。
1
、牛顿方程：
对于
m
1
：
m
g
－
T
1
2
1
＝
m
1
1
x
2
< br>1
①
②
m
g
－
T
x
T
1
2
1
＝
m
< br>x
2
＝－
x
2
③
＝
T
1
④
1
1
1
m
＝－
＝
x
x
m
分析：
当
m
1
＞
m
2
时
m
2
m
g
2<
/p>
m
x
＝－
x
＝
m
1
2
1
m
2
< br>
1
m
g
2
当
m
1
＜
m
2
时
x
1
＝－
x
2
＝
当
m
1
＝
m
2
m
m
2
1
<
/p>
m
1
m
g
2
x
d
1
＝－
x
< br>2
＝
0
2
、拉格朗日方程
< br>
L
dt
q
1
1<
/p>
L
0
q
2
1
2
1
势能零点为坐标轴
X
轴零点处<
/p>
T
＝
＝
＝
m
v
2
1
－
－
1
m
v
2
2
2
2
< br>2
2
x
2
m
x
2
1
1
m
x
2
2
2
2
1
< br>1
2
m
1
x
m
x
1
U
＝
m
1
g
x
1
m
2
< br>g
x
2
l
r
L
T
U
1
m
1
2
x
1
m
x
2
< br>2
1
g
m
g
x
m
1
1
2
l
r
x
1
L
< br>q
m
m
x
1
2
1
L
x
1
（广义动量）
L
q
m
1
g
m
2
g
L
x
1
（广义力）
固有：
m
1
m
2
x
1
m
1
m
2
g
0
3
、达朗伯原理
首先，推导虚功原理
虚位移：
t
0
虚功（约束力）
=0
理想约束
在牛顿力学中有，当
m
1
=
m
2
时
虚功原理：
F
F
N
0
F
N
<
/p>
r
i
i
i
i
i
0
r
i
0
（平衡条件）
i