牛顿质点动力学
-
.
牛顿质点动力学
d
p
1
牛顿第二定律
f
dt
从三个方面来应用：
全局性研究：
对称性、守恒律、稳定性；
局部研究：
平均值、动量定理、动能定理；
瞬时研究：
极限求导、奇异性、突变性；
2
重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题；
3
从动力学观点上升到能量的观点。
哈密顿原理、保守力及其势
4
五大类典型模型
概括：
一个原理
：哈密顿原理（
稳定性与对称性原理
）
；
二种建模方法
：动力学方法、能量法；
三类研究方法
：对称性方法（全局）
、
平均值方法（局部）
求极限、求导、突变及奇异性研究方法（
瞬时）
；
四大重点问题
：矢量性（
矢量空间法
）
、
连续性（
微元动力
学法
）
、相对性（
相对速度公式法
）
、非惯性（
等效性法
）
；
五项典型模型
：准粒子模型、碰撞模型、势模型
、相空间模
型、简谐振动与波模型。
（
科学计算技术与研究式的学习模
式
）
1
/
10'.
.
哈密顿原理、对称性和稳定性
1.
拉格朗日函数和哈密顿量
拉格朗日函数
L
对于一个物理系统，
可用一个称为拉格朗日函数的量
L
(
q
i
,
q
i
,
t
)
来描述，其中
q
i<
/p>
是
广义坐标
，
q
i
dq
i<
/p>
/
dt
是
广义速
度
；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对
系统的自由度
确定的，
譬如一个质点限制在
半径
R
的球面上
运动，
其坐标显然有
x
、
y
、
z
三个，
但广义
坐标只有
,
两
个，其中
x
R
sin
cos
，
y
R
sin
sin
b
,
z
R
cos
；一
般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，
仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的
,
与
坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。
在保守力作用下，
系统的拉格朗日量
L
定义为动能与势
能之差；
L
T
U
哈密顿量
H
物理系统还可以用一个称
之为
哈密顿量
的函数描述，
在
保守力作用下
，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
< br>
H
(
q
i
,
p
i
,
t
)
=
T
U
（
i=1
，
2
…
s
）
其中
p
i
L
/
(
q
哈密顿量是广义坐标和
i
)
是
广义动量
，
广义
动量的函数
，
在直角坐标下对于质点运动的广义动量可
写成
p
m
v
。作用量
I
定义为
2
/
10'.
.
I
Ldt
t
1
其中，积分上下限是质点初末态
< br>q
I
、
q
F
对应的时间。
2.
哈密顿原理及轨道稳定性
哈密顿原理指出：
当系统由
q
I
演化到
q
F
，
其真实的轨
道总是满足作用量
I
取极值的条件。具体来讲，当给予广义
坐标和速度一个无穷
小扰动
q
i
、
(
dq
i
/
dt
)
，<
/p>
而作用量十分
稳定，不受扰动，即δ
I<
/p>
=0
。因此哈密顿原理的实质就是轨
道的
稳定性原理，
质点从
q
I
运动到
q
F
总是选择一条最
稳定
的轨道。
其次，
I
在扰动下是不变量，所以哈密顿原理也是一个
对称性
原理；总之
哈密顿原理是物理学的最高原理
。
< br>
考察空间平移的对称性，设一个系统由两个粒子组成，它们
只限于在具有空间平移对称性的
x
轴上运动，
设两粒子坐标
为
x1
和
x2
，系统的势能
E
P
E
P
(
x
1
,
x
2
)
，当体系发生一平
t
2
x
1
x<
/p>
,
x
2
x
2
x
，但两
移
x
时，两粒子坐标变为：
x
1
x
1
x
2
x
1
x
，
空间平移
粒子的相对距离未变，即
x
x
2
对称性意味着势能与<
/p>
x
无关。
此外
，两粒子在相互作用势
能下，所受的力
E
P
E
P
x
E
P
f
1
x
1
< br>
x
x
1
x
f
2
E
P
E
x
E
P
< br>P
x
2
x
x
2
x
所以<
/p>
f
1
f
2
0
，即作用力等
于反作用力的牛顿第三定律成
3
/
10'.
.
立，故有动量守恒。
一般可以表述为
：
系统的哈密顿量在空间坐标平移下保持不
变，称系统具有空间
平移对称性，
它对应着动量守恒律。
3.
哈密顿正则方程
当以变数
(
q
i
,
p
i
)
< br>为参数时，由哈密顿原理可以得到一组
哈密顿正则方程：
dp
i
/
dt
H
/
q
i
dq
i
/
dt
H
/
p
i<
/p>
例如一个一维弹簧振子的哈密顿量
2
2
H
p
/
2
m
kx
/
2
正则方程为
:
dp
/
dt
H
/
< br>x
kx
dx
/
dt
H
/
< br>
p
p
/
m
其中
dx
/
dt
p
/
m
即动量的定义，
而
dp
/
dt
kx
是一维简
谐振子的牛顿方程；一般情况下，
哈密顿正则方程组的第一
个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义
。
例
1
、弹簧连接体：如右图所示，用轻
弹簧联接的两个质量
同为
m
的滑块放置
在光滑的水平桌面上，
试用能量法建立动
力学方程。
解：
2
2
m
k
x
1
l
系统的动能
T
P
1
/
2
m
P<
/p>
2
/
2
m
P
1
m
x
1
、
P
2
m
x
2
分别为两滑块的动量
x
2
4
/
10'.
.
< br>1
2
U
k
(
x
x
l
)
系统的
弹性势能
，
2
1<
/p>
2
其中
k
是弹簧
的劲度系数，
l
是弹簧的原长；
哈密顿量
正则方程
2
2
dx
1<
/p>
H
P
1
H
dP
1
P
P
1
k
< br>(
x
x
l
)
,
2
2
1
H
1
2
k
(
x
2
x
< br>1
l
)
x
1
d
t
P
1
m<
/p>
dt
2
m
2
m
2
dP
2
H
k
(
x
x
l
),
dx
2
H
P
2<
/p>
2
1
x
2
dt
P
2
m
dt
图
2-3-10
Java
学件弹簧连接体
图
2-3-11
Java
< br>学件行星运动
引力势模型
质量为
< br>m
的粒子在中心引力势
B
/
r
作用下如何运动，
其中
B
GMm
< br>，
G
是万有引力常数，
M
为中心天体的质量。
在平面极坐标下粒子的哈密顿量
p<
/p>
2
B
L
2
p
r
B
H
2
2
m
r
2
mr
2
m
r
2
p
r
1
dr
2<
/p>
1
dr
1
L
dr
2
2
2
径向动能
2
m
2
m
(
dt
)
2
m
(
d
)
2
m
r
4
(
d
)
2
2
5
/
10'.