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2021年2月11日发(作者：什么什么)

小刘老师亲笔

北师大版九年级数学

初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题

知识点：

1

、本章三角函数源自于

勾股定理

：

直角 三角形两直角边

a

、

b

的平方和等于斜边

c

的平方。

a

2



b

2



c

2

（

勾股定理

也叫

毕达哥拉斯定理，在部分课外资料

/

习题当中会出现毕达哥拉斯定理

）

2

、如下图，在

Rt

△

ABC

中，

∠

C

为直角

，则∠

A

< br>的锐角三角函数为

(

∠

A

可换成∠

B)

：

B

对

斜边

c

a

边

b

A

C

邻边

定

义

表达式

取值范围

关

系



A

的对边

正

0



sin

A



1

a

sin

A



sin

A



c

斜边

弦

(< /p>

∠

A

为锐角

)



A

的邻边

0



cos

A



1

余

b

cos

A



cos

A



c

(

∠

A

为锐角

)

斜边

弦



A

的对边

t an

A



0

正

a

tan

A



tan

A



b

(

∠

A

为锐角

)



A

的邻 边

切

sin

A



cos

B

cos

A



s in

B

sin

2

A



cos

2

A



1



A

的邻边

b

tan

A



cot

A



1

cot

A



cot

A



0

余

c

ot

A





A

的对边

a

切

(

∠

A

为锐角

)

cot

A



tan

B

（注：余切函数已经从北师大版教材当中删除，此处仅做扩展，实际中考当中并不会出现 ，同时删

除的内容还包含

正割

(sec )

和余割

(csc)

两部分内容

）

3

、任意锐角的 正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

< p>
sin

A



cos

B

cos

A



sin

B

由



A





B

< p>


90



得



B



90







A

sin

A



cos(< /p>

90





A

)

cos

A



sin(

90





A

)

60

°

3< /p>

2

1

2

4

、

30

°、

45

°、

60

°特殊角的三角函数值

< p>
(

重要必背

)

三角函数

sin



cos



30

°

1< /p>

2

45

°

2

2

2

2

3

2

tan



3

3

1

3

-

1

-

小刘老师亲笔

6

、正弦、余弦的增减性：

当

0

°≤

< /p>

≤

90

°时，

s in



随



的 增大而增大，

cos



随



的增大而减小。

7

、正切、的增减性：

当

0

°

<



<90

°时，

t an



随



的 增大而增大，

解直角三角形的定义

1

、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

< p>
依据：①边的关系：

a

2



b

2



c< /p>

2

；②角的关系：

A+B=90

°；③边角关系：三角函数的定义。

(

注意：< /p>

尽量避免使用中间数据和除法

)

2

、应用举例：

(1)

仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

铅垂线

仰角

俯角

视线

水平线

h

i



h

:

l

l

α

视线

h

。

坡度一般写成

1:

m

l

(2 )

坡面的铅直高度

h

和水平宽度

l

的比叫做坡度

(

坡 比

)

。

用字母

i

表示，

即

i



的形式，如

i



1:5

等。

h

< br>

tan



。

< br>

l

3

、从某点的指北方向按顺 时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图

，

< p>
OA

、

OB

、

< p>
OC

、

OD

的方向

角分别是：

45

°、

135

°、

225

°。指北或指南方向 线与目标方向

线所成的小于

90

°的水平角，叫做方

向角。

所以

,OA

、

OB

、

OC

、

OD

的方向角分别是：

北偏东

30

°（东北方向）

，

南偏东

45

°（东南方向），

南偏西

60

°（西南方向），

< p>
北偏西

60

°（西北方向）。

把坡面与水平面的夹角记作



(

叫做坡角

)

，那么

i



3

< br>例

1

：

已知在

< br>Rt

△

ABC

中，



C



90

°

，

sin

A



，则

tan

B

的值为（

）

5

4

4

5

3

A

．

B

．

C

．

D

．

3

5

4

4

a

b

，

tan

B



c

a

3

b

4< /p>

x

4

和

a

2



b

2

< p>


c

2

；

由

sin

A



知，

如果设

a



3

x

，

则

< br>c



5

x

，

结合

a

2



b

2



c< /p>

2

得

b



4

x

；

∴

< p>
tan

B





< p>


，

5

a

3

x

3

【解析】本题考查三角 函数的定义和勾股定理，在

RT

Δ

AB C

中，∠

C=90

°，则

sin

A



所以选

A

．

-

2

-

小刘老师亲笔

例

2

：

4cos30



sin

60





< p>
(



2)



1



(

2009

< p>


2008)

0

=___ ___

．

【解析】本题考查特殊角的 三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，

4cos 30



sin

60





(



2)



1



(

2009



2008)

0

=

4



3

3



1



3





< /p>







1



，

2

< p>
2



2



2

故填

3

2

．

1.

某人想沿着梯子爬上高

4

米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于

< p>
60

°，否则

就有危险，那么梯子的长至少为（< /p>

）

A

．

8

米

< p>

B

．

8

3

米

C

．

8

3

米

3

D

．

4

3

米

3

2.

一 架

5

米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是

< p>
40

°

，则梯子底端到墙的距离为（

）

5

< p>
5

A

．

5sin

40

°

< p>
B

．

5cos

40

°

C

．

D

．

tan

40

°

cos

40

°

3.

如图是某商场一楼与二楼 之间的手扶电梯示意图．其中

AB

、

C D

分别表示一楼、二楼地面的水平

线，∠

ABC

=150

°，

BC

< p>
的长是

8m

，则乘电梯从点

B

到点

C

上升的高度

h

是（

）

A

．

8

3

m B

．

4 m

3

A

1

B

C

h

D

C

．

4

3

m D

．

8 m

4.

河堤横断面如图所示，堤高

BC=5

米 ，迎水坡

AB

的坡比是

1:

< p>
3

（坡比是坡面的

铅直高度

BC

与水平宽度

AC

之比），则

AC

的长是（

）

A

．

5

3

米

B

．

10

米

C

．

15

米< /p>

D

．

10

3

米

B

C

A

5

．

如图，在矩形

ABCD

中，

DE

⊥

< br>AC

于

E

，∠

< br>EDC

∶∠

EDA=1

∶

3

，且

AC=10

， 则

DE

的长度是（

）

A

．

3 B

．

5 C

．

5

2

D

．

2

5

2

-

3

-

-

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