五年级下册数学期末复习专题讲义-3.长方体和正方体
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五年级下册数学期末复习专题讲义
-3.
长方体和正方体
【知识点归纳】
1
< br>、由
6
个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围
成的立体图形叫做
长方体
。两个面相交的边叫做
棱
。三条棱相交的点叫做
顶点
。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做
长方体的长、宽、高
。
长方体特点：
< br>（
1
）有
6
个面，
8
个顶点，
12
条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（
2
）一个长方体最多有
6
个面是长方形，最少有
4
个面是长方形，最多
有
2
个面是正方形。
2
、由
6
个完全相同的正方形
围成的立体图形叫做
正方体（也叫做立方体）
。
正方体特点：
（
1
）正方体有
12
条棱
，它们的长度都相等。
（
2
）正方体有
6
个面，每个面都是正方形，每个面
的面积都相等。
（
3
）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种
特殊的长方体
。
相同点
面
长方体
都有
6
个面，
6
个面都是长方形。
不同点
棱
相对的棱的长度都相等
12
条棱，
（有可能有两个相对的面是正方形）
。
正方体
8
个顶点。
6
个面都是正方形。
12
条棱都相等。
< br>3
、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和
=
（长
+
宽
+
高）×
4
＝长×
4+
宽×
4+
高×
4 L=
（
a
＋
b
＋
h
）×
4
长
=
棱长总和÷
4
－
宽
－高
a=L
÷
4
－
b
－
h
宽
=
棱长总和÷
4
－长
－高
b=L
÷
< br>4
－
a
－
h
高
=
棱长总和÷
4
－长
－宽
h=L
÷
< br>4
－
a
－
b
正方体的棱长总和
=
棱长×
12 L=a
×
12
正方体的棱长
=
棱长总和÷
12 a=L
÷
12
4
、长方体或正方体
6
个面和
总面积叫做它的
表面积
。
长方体的表面积
=
（长×宽＋长×高＋宽×高）×
2 S=2
（
ab
＋
ah
＋
bh
）
无底（或无盖）长方体表面积
=
长×宽＋（长×高＋宽×高）×
2
S=2
（
ab
＋
< br>ah
＋
bh
）－
ab S=2
（
ah
＋
bh
）＋
ab
无底又无盖长方体表面积
=
（长×高＋宽×高）×
2 S=2
（
ah
＋
bh
）
贴墙纸
正方体的表面积
=
棱长×棱长×
6 S=a
< br>×
a
×
6
用字母表示：
S=
6a
生活实际：
油箱、罐头盒等都是
6
个面
游泳
池、鱼缸等都只有
5
个面
水管、烟囱等都只有
4
个面。
注意
1
：用刀分开物体时，每分
一次增加两个面。
（表面积相应增加）
注意
2
：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，
表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、
高各扩大
2
倍，表面积就会扩大到原来的
4
倍）。
5
、物体所占空间的大小叫做物体的
体积
。
长方体的体积
=
长×宽×高
V=abh
长
=
体积÷宽÷高
a=V
÷
b
÷
h
宽
=
体积
÷长÷高
b=V
÷
a
÷
h
高
=
体积÷长÷宽
h=
V
÷
a
÷
b
正方体的体积
=
棱长×棱长×棱长
V=a
×
a
×
a = a
3
读作“
a
的立方”表示
3
个
a
相乘，（即
a
·
a
·
a
）
长方体或正方体底面的面积叫做
底面积
。
长方体（
或正方体）的体积
=
底面积×高
用字母表示：
V=S h
（横截面积
相当于底面积，长相当于高）
。
注意
：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6
、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的
容积
。
固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成
L
和
ml
。
1
升
=1
立方分米
1
毫升
=1
立方厘米<
/p>
1
升
=1000
毫升
（
1 L = 1 dm
1 ml = 1 cm
）
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器
里面
量长、宽、高。
（所以，
对于同一个物体，体积大于容积。
）
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会
扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大
< br>2
倍，体积就会扩大到原来的
8
倍）。
3
3
2
*
形状不规则的物体可以用排水法
求体积
，
形状规则的物体可以用公式直接求体积
。
排水法的公式：
V
物体
=V
现在－
V
原来
也可以
V
物体
=S
×
(h
现在
-
h
原来
)
V
物体
=
S
×
h
升高
×进率
8
、
【体积单位换算】
大单位
小单位
÷进率
小单位
大单位
进率：
1
立
方米＝
1000
立方分米＝
10000
00
立方厘米
（立方相邻
单位进率
1000
）
1
立方分米＝
1000
立方厘米＝
1
升＝
1000
毫升
1
立方厘米＝
1
毫升
1
平方米
=100
平方分米
=10000
< br>平方厘米
1
平方千米<
/p>
=100
公顷
=1000000
平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体
或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率
×进率
【单位换算】
大单位
小单位
÷进率
小单位
大单位
长度单位
：
1
千米
=1000
米
1
分米
=10
厘米
1
厘米
=10
毫米
1
分米
=100
毫米
1
米
=10
分米
=100
厘米
=1000
毫米
（相邻单位进率<
/p>
10
）
面积单
位：
1
平方千米
=100
公顷
1
平方米
=100
平方分米
1
平方分米
=100
平方厘米
1
公顷
=10000
< br>平方米
（平方相邻单位进率
100
）
质量单位：
1
吨
=1000
千克
1
千克
=1000
克
人
民
币：
1
元
=10<
/p>
角
1
角
=10
分
1
元
=100
分
【典例讲解】
例
1
．
下面的（
）号图形是这个
A<
/p>
．
C
．
的后面．
B
．
【分析】
根据长方体的特征，长方体的
6<
/p>
个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对
面的
面积相等．据此解答．
【解答】
解：
通过观察图形可知，这个长方体的
6
个面都是长方形，上、下面
最大，左、右面最小．由
此可知，
A
图是这个长方体的后面．
故选：
A
．
【点评】
此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用．
例
2
．
李宁把送给妈妈的生日礼物放在一个长
6
分米、
宽
5
分米、高
4
分米的长方体盒子里，包装这个盒子
至少需要
148
平方分米的包装纸；如果在它
的外面打上“十字形”的彩带，那么至少需要
41
分米
彩
带（接头处长
3
分米）．
【分析】
根据长方体的表面积公式：
s
＝（
ab
+
ah
+
bh
）
×
2
，把数据代入公式解答即可；
<
/p>
根据长方体的特征：
12
条棱分为互相平
行的
3
组，每组
4
条棱的长度相等，所需要彩带的长度等于
2
条
长
+4
条高
+2
条宽
+
接头处长，代入数据解答即可．
【解答】
解：（
6
×
5+6
×
4+5
×
4
）×
2<
/p>
＝（
30+24+20
）×
2
＝
< br>74
×
2
＝
148
（平方分米）
6
×
2+4
×
4+5
×
2+3
＝
12+16+10+3
＝
41
（分米）
答：包装这个盒子至少需要
148<
/p>
平方分米的包装纸；如果在它的外面打上“十字形”的彩带，那么至少
需要
41
分米彩带．
故答案为：
148
，
41
．
【点评】
此题主要
考查长方体的表面积公式的灵活运用，及长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是
如何
捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答．
例
3
．
一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长
50
厘米，宽
40
厘米，高<
/p>
30
厘米．做这个鱼缸至少需要玻璃
74
平方
分米．
√
（判断对错）
【分析】
求玻璃的面积，就是求长方体
5
个面的面积，缺少上
面，依据长方体的表面积公式：
S
＝
2
（
ab
+
ah
+
bh
）即可求解．
< br>
【解答】
解：
50
×
40+
（
50
×
30+40
×
30<
/p>
）×
2
＝
2000+5400
＝
7400
（平方厘米）
7400
平方厘米＝
74
平方分米
答：做这个鱼缸至少需要玻璃
74
平方分米．
题干的说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】
此题主要考查长方体的表面积的计算方法在实际生活中的应用．
例
4
．
求下面物体的表
面积和体积（单位：
cm
）．
【分析】
根据长方体的表面积公式：
S
＝（
ab
+
ah
+
bh
）
×
2
，体积公式：
V
< br>＝
abh
，把数据代入公式解答．
【解答】
解：（
7
×
4+7
×
3+4
×
3
）×
2
（
28+21+12
）×
2
＝
61<
/p>
×
2
＝
122
（平方厘米）
7
×
4
×
3
＝
84
（立方厘米）
< br>
答：这个长方体的表面积是
122
平方厘米，体积是
84
立方厘米．
【点评】
此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运
用，关键是熟记公式．
例
5
．
一个长方形蓄水池，长
9
米，宽
4
米．
< br>（
1
）这个蓄水池占地面积是多少平方米？合多少平方分
米？
（
2
）
若沿着蓄水池的边走两圈，一共走了多少米？
（
3
）在池底铺上面积为
4
平
方分米的地砖，一共要用多少块地砖？
【分析】
（
1
）这个蓄水池占地面积就是它的底面积，根据长
方形的面积公式解答．
（
2
）根据长方形的周长公式，求出蓄水池底面的周长再乘
2
即可．
（
3
）首先根据正方形的面积公式，求出地砖的面积，然后用底面积除以每块地砖的面积即可．
【解答】
解：（
1
）
9
×
4
＝
36
（平方米）
36
平方米＝
3600
平方分米
答：这个蓄水池占地面积是
36
平方米，合
3600
平方分米
．
（
2
）（
9+4
）×
2
×
2
＝
13
×
2
×
2
＝
52
（米）
答：一共走了
52
米．
（
3
）
3600
÷（
4
×
4
）
＝
3600
÷
< br>16
＝
225
（块）
答：一共要用
225
块地砖．
【点评】
< br>解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进
行计算解答问题．
【同步测试】
一．选择题（共
10
小题）
1
．一个长
3
厘米，宽
4
厘米，高
5
厘米的木箱平放在地面
上，占地面积至少是（
）
A
．
12
平方厘米
B
．
15
平方厘米
C
．
20
平方厘米
D
．
25
平厘米
2
．乐乐准备画一个长方体，他画出了长方体的三条棱，如图，根据这三条棱的长度，你认为他画的最有可
能是下面图形（
）
A
．
B
．
C
．
3
．用
48
厘米长的铁丝做成一个正方体框架
．这个正方体的棱长最大是（
）
A
．
8
厘米
B
．
6
厘米
C
．
4
厘米
4
．
3
个棱长都是
10
cm
的正方体
拼成一个长方体，这个长方体的体积是（
）立方厘米．
A
．
1800
B
．
1400
C
．
3000
5
．用混凝土铺一段长为
80
米、宽为
15
米的路面，混凝土厚为
25
厘米．一辆运料车每次最多运
6
立方米
的混凝土，这辆运料车至少运（
）次才能完成任务．
A
．
5000
B
．
200
C
．
50
<
/p>
6
．一个长方体木箱，从里面量得长
6<
/p>
分米，宽
4
分米，高
5
分米．如果在木箱里放棱长是
2
分米的正方体
包装盒，最多能放（
）个包装盒．
A
．
7
B
．
12
C
．
15
7
．用下面（
）号图形可以画出正方形．
A
．
B
．
C
．
8
．一根长方体木料，它的横截面积是
8
cm
2
，把它截成
3
段，表面积增加（
）
cm
2
．
A
．
8
B
．
24
C
．
32
<
/p>
9
．一个长方体按以下方法分别割成了两个长方体，表面积分别增
加了
16
cm
2
，
24
cm
2
，
32
cm
2
，原来长方体
的表面积是（
）
cm
2
．
A
．
36
B
．
72
C
．
144
10
．
一本图书的长是
16
厘米，
宽
10
厘米，
厚是
0.5
厘米，
如果把三本这样的书包成一包，
最少需要
（
）
平方厘米的包装纸．（接口处不计）
A
．
240
B
．
199
C
．
398
D
．
1028
二．填空题（共
8
小题）
11
．■■■■■做成一个长
5
厘米，宽
4
厘米，高
3
厘米的长方体框架，长方体棱长总和是
cm
．如
果将这根■■■■做成一小正方体
框架，正方体棱长是
厘米．
12
．李叔叔从一个长方体的一端截下一个最大的正方体后，长
方体剩余部分的长是
8
分米，宽和高与原来
相同，表面积减少了
36
平方分米．剩余长方体的体积是<
/p>
立方分米．
13
．一个商品盒是正方体形状，棱
长为
6
厘米，这个商品盒的体积是
立方厘米，在这个盒的四周贴
上商标，贴商标的面积是
平方厘米．
14
．一个长方体按以下三种方式切割成两个长方体，表面积分别增加了
16
cm
2
、
24
cm
2
、
12
cm
2
，原来长方体<
/p>
的表面积是
cm
2
．
15
．把表面积是
< br>24
平方米的正方体切成体积相等的
8
< br>个小正方体，每个小正方体的表面积是
．
16
．把
一根长
48
厘米的铁丝焊成一个宽
2<
/p>
厘米，高
1
厘米的长方体框架，这个框架
的长是
厘米．
1
7
．一根长方体木料，正好可以锯成两个同样大小的正方体，此时表面积增加了
20
平方厘米，这根长方体
木料原来的表面积是
平方厘米．
18
．有一个长方体玻璃鱼缸，长
50
分米，宽
35
分米，高
24
分米．这个
鱼缸前面的玻璃破损，需重配一块
平方分米的玻璃；这个鱼缸最多能注
升的水．
三．判断题（共
5
小题）
19
．长方体长和宽可以相等，长、宽、高也可以相等．
（判断对错）
20
．
长方体和正方体的表面积就是求它
< br>6
个面的面积之和，
也就是它所占空间的大小．
（判断对错）
21
< br>．长方体的每一个面不一定都是长方形．
．（判断对错）
22
．把
3
块棱长都为
2
厘米的正方体拼成一个长方体，表面积增加了
8
平方厘米．
（判断对错）
23
< br>．体积大的长方体的表面积一定大．
（判断对错）
四．计算题（共
1
小题）
24
．请你分别计算图一的表面积、图二的体积．
五．应用题（共
6
< br>小题）
25
．用丝带捆扎一种
礼品盒如下，长
30
厘米，宽
20
厘米，高
25
厘米．结头处长
25
厘米，要捆扎这种礼
品盒至少要用多少厘米丝带
？
26
．
一根铁丝恰好可以焊接成一个长
5
厘米，宽
3
厘米，高
4
厘米的长方体框架．
若这根铁丝也恰好能焊
接成一个正方体框架．
（
1
）这个正方体框架的棱长是多少厘米？
（
2
）给这个正方体框
架的表面焊接上铁皮，铁皮的面积是多少平方厘米？
27
．笑笑将一个长
15
cm
< br>，宽
8
cm
，高
28
cm
的长方体饼干盒的四周和盒盖都贴上商标纸，
需要多少平方厘
米的商标纸？
28
．一
盒饼干长
20
厘米，宽
15
厘米，高
30
厘米，现在要在它的四周贴上商标纸
，这张商标纸的面积是多
少平方厘米？
29
．用铁丝悍接一个正方体框架，一共用了
180
分米长的铁丝，这个正方体的棱长是多少分米？
30
．一个长方体容器，从里面量长是
40
< br>厘米，宽是
25
厘米，水深
15
厘米．现在要放进一块棱长是
10
厘<
/p>
米的正方体铁块，铁块完全浸没在水中且水没有溢出，容器里的水面会升高多少厘米？