第十章 对称与群第一节 图形的对称性与对称群
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第十章
对称与群
第一节
图形的对称性与对称群
对称是自然界
的一种十分重要的几何性质。
一个物体通过空间中的某种运动最终又回
< br>到原来所占据的空间的性质称为对称性，这种运动成为对称变换。
观察下列图形：
图
1
图
2
图
1<
/p>
中的图形在绕中心旋转某个角度后都与原来的图形重合
（即又回到
原来所占据的
空间）
，所以，它们具有旋转对称性。图
2
中的图形在绕中心旋转某个角度或关于某条直
线作反射（翻转）后都与原来的图形重合（即又回到原来的位置）
，所以，他们既具有旋
转对称性又具有反射对称性。
下面具
体研究图
1
中的四边形（第一排第三个图形）和图
2
中的四边形（第二排第三
个图形）的对称性。
观察图
1
中的四
边形（如下图
3
）
。
< br>
图
3
可以用印有这个图的胶片和印有同样图的一张纸，让纸固定不
动，旋转叠加在纸上
的胶片的方法来研究图形的对称性。
通过观察可发现，这个图形在旋转
0
0
，
90
0
，
180
0
，
270<
/p>
0
之后，与原来的图形重合。
即这个图形
具有
0
0
，
9
0
0
，
180
0
，
270
0
的旋转对称性。进一步观察会发现这个图形除这四
种旋转对称外，没有其它的旋转对称。
因为—
90
0
的旋转与
270
0
的旋转是相同的，
4
50
0
的
旋转与
90
0
的旋转是相同的，等等。将这四种旋转变换分别记为<
/p>
R
0
，
R
90
，
R
180
，
R
270
。
下面研究这四种变换的性质。
先考察
这四种旋转变换的复合运算。变换复合的含义与映射复合相同，如变换
R
90
与
变换
R
270
的复合（从右到左）
R
90
R
2
70
是指将这个图形先旋转
270
0<
/p>
再旋转
90
0
。四种变
换的复合运算列表如下。
R
0
R
90
R
180
R
270
R
0
R
0
R
90
R
180
R
270
R
90
R
90
R
180
R
270
R
0
R
180
R
180
R
270
R
0
R
90
R
270
R
270
R
0
R
90
R
180
由
上表可知，四种旋转变换
R
0
，
R
90
，
R
180
，
R
270 <
/p>
对变换的复合运算封闭，即这四种
变换中的任何两个变换的复合仍
然是这四种变换之一，如，
R
270
R
180
= R
90
< br>；任意三个变换
的复合运算满足结合律，如，
（
R
90
R
180
）
R
270
=R
90
（
R
180<
/p>
R
270
）
=
R
180
；四种变换中，
R
0
是一
个特殊的变换，它是保持原图形不动的旋转
，
R
0
与任何一个变换的左右复合仍然
是这个
变换，如，
R
0
R
180
=
R
180
R
0
=
R
180
；这四个变换中的每一个变
换都有一个变换与其左右复
合的结果为
R
0
。如，对于
R
270
，存在变换
R
90
，
R
270
R
90
= R
90
R
27
0
= R
0
。
我们称该图形具有四重旋转对成性
，满足上述
4
条性质的变换
{ R
0
，
R
90
，
R
180
，
R
270
}
称为该图
形的对称群，记为
C
4
。
C
4
是图
1
中的四边形（第一排第三个图形）的对称性的
一种数学刻画。
观察图
2
中的四边形（如下
图
4
）
。
图
4
可以用
印有这个图
4
的胶片和印有同样图的一张纸，在纸和胶片上取一
点
P
，让纸固
定不动，旋转或折叠叠加
在纸上的胶片，观察点
P
的变化。
<
/p>
通过观察可发现，这个图形具有
0
0
，
90
0
，
180
0
，
270<
/p>
0
的旋转对称性，也具有关于水
平轴、垂
直轴和两条对角线的反射对称性。现用
R
θ
表示角度为
θ
的旋转变换，
H
、
V
、
D
、
D’
分别表示关于水平轴、
< br>垂直轴、
连接左上角和右下角的对角线、
连接右上角和左
下角的
对角线的反射变换。这
8
种变换
的复合运算列表如下。
R
0
R
90
R
180
R
270
H
V
D
D’
R
0
R
0
R
90
R
180
R
270
H
V
D
D’
R
90
R
90
R
180
R
270
R
0
D
D’
V
H
R
180
R
180
R
270
R
0
R
90
V
H
D’
D
R
270
R
270
R
0
R
90
R
180
D’
D
H
D
H
H
D’
V
D
R
0
R
180
R
270
R
90
V
V
D
H
D’
R
180
R
0
R
90
R
270
D
D
H
D’
V
R
90
R
270
R
0
R
180
D’
D’
V
D
H
R
270
R
90
R
180
R
0
由上表
可知，
8
种变换
R
0
，
R
90
，
R
180
，
R
270
，
H
、
V
、
D
、
D’
对变换的复合运算封闭，
即这<
/p>
8
种变换中的任何两个变换的复合仍然是这
8
种变换之一，如，
R
90
H=
D’
，
H R
90
=