三角形内嵌三个等圆的半径计算
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三角形内嵌三个等圆的半径计算
严斌
摘
要
:
文
【
1
】
对三角形内
嵌入两个等圆的研究有了较好的成果，
在此基础上利用从特
殊到
一般的方法，
研究了三角形内嵌三个等圆的半径计算，
得出了一
般三角形内嵌三个等圆
的半径公式。
关键词
:
三角形；圆；半径计算；内嵌三等圆
< br>
0
引言
在三角形内嵌两个等圆
,
已有文章《三角形内嵌入等圆的半
径计算》（罗江
.
凯里学院学
报
.
第
29
卷第
6
期
.2010
年
12
月
154 -15
）表明
：三角形内嵌两等圆的半径计算公式为：
，
其中
为三角形的面积、
为三角形内嵌两等圆的半径。
此文章
对三角形内嵌入两个等圆的研究有了较好的成果，
并在生产生活中有重要的价值和意
义。但是，
在三角形内嵌入三个等圆，现在国内还未见到这方面的成
果。研究在三角形内切
三个等圆的半径计算，在生产生活中有着重要的作用，此问题的研
究有重要的价值和意义，
经过研究得到在三角形内嵌三个等圆半径计算的一般公式。
1
等腰三角形内嵌三个等圆的半径计算公式及证明
对于一般的等腰三角形内嵌三等圆，三个圆的圆心分别在
三条角平分线上。
定理
1
：
设
为等腰三角形，
AB
=c, AC=BC=a,
，
为三角形
ABC
内嵌的三个等圆，则
的半径为：
证明
：如图
1
，在
AC=BC=a,
。
中，
AB=c,
为三角形
ABC
< br>内嵌的三个等圆，设半径均为
r
，由三圆分
，
别以临边相切，易知
三
角形
ABC
的面积：
(
图
1)
由根以系数的关系有：
化简得：
将
，
代入上式，化简得：
推论
1
：
正三角形
ABC<
/p>
，其边长为
a
，则其内嵌的三个等圆半径
为：
。
推论
2
：
直角等腰三角形
ABC
，
AC=BC=a,
则其内嵌的三个等圆半径为
：
将
或
a=b=c
分别代入上式可得到正三角形内切三个等圆的半径长度，同样将
。
< br>
AC=BC=a
代入上式可得到直角等腰三角形内切三
个等圆的半径长度。
2
一般的直角三角形内嵌三等圆半径计算公式
< br>由
推论
2
知一般的等腰三角形内
嵌三等圆，三个圆的圆心分别在三条角平分线上，
若将一边边长成为一般直角三角形，<
/p>
在其内嵌入三等圆，
则较长的两边总有两个圆和边相切，
最短直角边只有一个圆和他相切。
定理
2
：
设
为直角三角形
，
AB=c>C=b>BC=a
。圆
，
，
为两个三角形
内嵌的等圆，则
的半径为：
证明
：
如图
2
：在
径为
r
，
∠
A
为
θ,
连接
相
切。
即有
由图可知
中，已知、
AB=c>C=b>BC=a
。圆
，
并延长交
BC
于
D
点。
连接
为等腰三角形。
过点
,
，
，
。
由
，设圆的半
分别以
、
。
作
< br>BC
的平行线交
，
于
E
点，
连接
，
，
，
，
,
,
,
（图
2
）
三角形
ABC
的面
积
:
即：
由根以系数的关系得：