切线长定理及三角形的内切圆
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切线长定理及三角形的内切圆
一知识回顾
1.
< br>定义：
经过圆外一点作圆的切线，
这点和切点之间的线段
的长，
叫做这点到圆的切线长。
注意
：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这
条线
段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角。
3.
常用辅助线
已知
PA
，
PB
切⊙
< br>O
于
A
，
B
。
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
图（
1
）中，有什么结论？（
PA
＝
PB
）
图（
2
）中，连结
AB
，增加了什么结论？（增加了∠
PAB<
/p>
＝∠
PBA
）
图
（
3
）
中，
再连结
OP
，
增加了什么结论？
（增加了∠
OPA<
/p>
＝∠
OPB
，
O
P
⊥
AB
，
A
C
＝
BC
，
）
。
图（
4<
/p>
）中，再连结
OA
，
OB
。又增加了什么结论？（增加∠
OAP
＝∠
OBP
＝
90
°，∠
AOB
＋∠
APB
＝
180
°，以及三角形全等）
4.
和三角形的各边都相切的圆
和三角形
各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三
角形叫做
圆的外切三角形。
注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和
边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，
各边都与圆相切的叫做“切”。
二
典型例题
例
1.
已知：如图，
P
为⊙
O
外一点，
PA
，
PB
为⊙
O
的切线，
A
和
B
是切点，
BC
是直
径。求
证：
AC
∥
OP
。
(
一题多解
)
例
2.
已知
PA
、
PB
分
别切⊙
O
于
A
、
B
，
E
为劣
弧
AB
上一点，过
E
< br>点的切线交
PA
于
C
、交
PB
于
D
。
（
1
）
若
PA = 6
，求△
PCD
的周长。
（
2
）
若∠
P =
50
°求∠
DOC
例
3.
已
知，如图，从两个同心圆
O
的大圆上一点
A
，作弦
AB
切小⊙
O
于
C
点，
< br>AD
切小⊙
O
于
E
点。
求证：
AB
＝
AD.
例
4.
已知
：
AB
为⊙
O
直径，
AD
∥
BC
，∠
B = 90
°，
DC
切⊙
O
于
E
求证：
（
1
）
CD = AD + BC
（
2
）∠
COD
= 90
°
例
5
如图，△
ABC
中，∠
A
＝
α
，
O
是△
ABC
的内心。求证：∠
BOC=90
°＋
1
2
例
6
已知，如图，⊙
O
< br>是
Rt
△
ABC
的内切圆，∠
C
＝
90
°
（
1
）若
AC
＝
12cm
，
BC
＝
9cm<
/p>
，求⊙
O
的半径
r
；
（
2<
/p>
）若
AC
＝
b<
/p>
，
BC
＝
a
，
AB
＝
c
，求⊙
O
的半径
r<
/p>
。
例
7
如图
,
在⊿
ABC
中
,
∠
C=
90
°
,AC=8,AB=10,
点<
/p>
P
在
AC
上
,AP=2,
若⊙
O
的圆心在线段
BP
上
,
且⊙
O
与
AB
、
AC
都相切
,
则⊙
O
的半径是多少
?