正多边形的有关计算
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正多边形的有关计算
【基础知识精讲】
一、定理
:
正
n
边形的半径和边心距把正
n
边形分成
2n
个全等的直角三角形
.
二、正多边形有关计算
(
n
2
)
180
n
(1)
正
n
边形角的计
算公式：
①每个内角等于
(n
为大于或
等于
3
的整数
)
；
②每个外角
360
＝每个中心角＝
n
.
(2)
正
n
边形的其他有关计算，
由于正
n
边形的半径和边心距把正
n
边形分成
2n
个全等的直角三角形，
而每个直角三角形都
集中地反映了这个正
n
边形各元素之间的关系，所以，可以把正
n
边形的计算转化为
解直角三角形的问
题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径
R
，一条直角边是边心
距
r
n
，另一条直角边是
a
n
边长
a
的一半
(
即
2
n
180
90
)
；两个锐角分别为中心角的一半
(
即
n
)
和一个内角的一半
(
即
n
)
或
(
即
180
90°
-
n
).
【重点难点解析】
重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题<
/p>
.
难点是通过作正
n
边形的半径和边心距
把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题
< br>.
例
1.
某正多边形的每个内角比其外角大
100°，求这个正
多边形的边数
.
360
(
n
2
)
180
n
解：设此正多边形的边
数为
n
，则各内角为
，外角为
n
，依题意得：
(
n<
/p>
2
)
180
360
<
/p>
n
-
n
＝100
°.
解得
n
＝
9
答：这个正多边形的边数为
9.
例
2.
如图
7-4
2
，已知：正三角形
ABC
外接圆的半
径为
R
，求它的边长，边心距、周长和面积
.
解：连
结
OB
，过
O
作
OM⊥BC
于
M
180
∴∠BOM＝
3
＝60°，∴∠OBM
＝30°
1
∴OM＝
2
2
1
OB
＝
2
2
R
，∴
γ
3
R
＝
2
BM
＝<
/p>
OB
OM
＝<
/p>
R
R
2
(
)
2
2
3
R
3
R
＝
3
2
R
∴a
3<
/p>
＝
BC
＝
2BM
＝
∴P<
/p>
3
＝
3a
3
＝
3
∴S
3
＝
3S
△BOC
1
＝3×
2<
/p>
R
3
R·
2
3
3
＝
4
R
2
例
3.
一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比
.
解：<
/p>
如图
7-43
，
设
O
，
O′分别是正三角形
ABC
，
正六边形
EFG
HIJ
的中心，
分别作
OD⊥BC
于
D
，
作
O′K⊥GH
180
1
于
K
，连
O
B
，O′G，则在
Rt△ODB
中，∠
BOD＝
3
＝60°，
BD
＝
2
a
3
，
∴r
3
＝
OD
＝BD·ctg60°＝
3
6
a<
/p>
3
，
∴S
3
＝<
/p>
6S
△ODB
1
＝6×
2
BD·OD
1
＝6×
2
1
×
2
a
3
×
3
6
a
3
＝
3
4
a
3
.
2
180
1
在
Rt△
O′KG
中，∠GO′K＝
6
＝30°
，
GK
＝
2
a
6
∴r
6
＝O′K＝GK·ctg30°＝<
/p>
3
2
a
6
∴S
6
＝
12S
△O′GK
1
＝12×
2
×GK×O′K
1
＝12×
< br>2
1
×
2
a
3
×
2
3
3
3
2
a
＝
2
6
a
6
2
∵S
3
＝<
/p>
S
6
，
∴
3
4
a
2
3
3
3
＝
2
3
＝
2
a
< br>6
2
2
a
5
2
a
6
∴
2
a
5
2
a
6
∴
，
< br>
＝
3
2
，即
a
3
∶a
2
＝
6
2
例
4.
求证
：正
n
边形的面积
S
< br>n
等于其周长
P
n
与边心距
r
n
的积的一半<
/p>
.
证明：
如图
7-44
，
设⊙O
是正
n
边形
< br>ABC…的内切圆，
其中
AB
与
⊙O
相切于
D
，
连
OA
，
OD
，
OB
，
知
OD⊥AB
且
OD
＝
< br>r
n
，∴S
△OAB
1
＝
2
1
·AB·OD＝
2
P
n
·
n
·r
n
.
∵正
n
边形有
n
个如同△O
AB
的等腰三角形，
∴S
n
＝<
/p>
nS
△OA
B
1
＝n·
2
P
n
·
n
1
·r<
/p>
＝
2
n
P
n
r
n
.
【难题巧解点拨】
例
1.<
/p>
已知：如图
7-45
，⊙O
半径为
R
，求⊙O
内接正八
边形的边长
a
8
，边心距
r
8
和中心角
.
解：连结
OA
、
OB
，并作
OK⊥AB
于点
K
，
中心角
α
360
＝∠AOB＝
8
＝45°
1
在
Rt△
AOK
中，∠AKO＝90°，
OA
＝
R
，∠AOK＝
2
∴AK＝
0.3827R
∴a
8<
/p>
＝
AB
＝
2AK
＝
0.7654R
α
＝22.5°
故
AK<
/p>
＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，
r
8
＝
OK
＝OA·cos∠AOK＝
R
·cos22.5°＝
0.9239R
〔说明〕
(1)
正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计
算常
常归结为解这个直角三角形
.
(2)
若正
n
边形的半径为
R
，则它的中心角
α
360
＝
n
，
180
1
80
边长
a
＝2R·sin
n
，边心距
r
＝R·cos
n
.
n
a
例
2.
已知如图
7-46
，等边△ABC
的边长为
a
，求其
内切圆的内接正方形
DEFG
的面积
.
解：设
B
C
切⊙O
于
M
，连
OM
，
OB
，则
OM⊥BC，
180
在
Rt△OMB
中，∠BOM＝
3
＝60°
1
BM<
/p>
＝
2
1
BC
＝
2
a
1<
/p>
OM
＝BM·ctg∠BOM＝
2
a·ctg60°＝
3
6
a
连结
OE
，作
ON⊥EF
于
N
，