初中数学各种公式(完整版)
-
数学各种公式及性质
1
．
乘法与因式分解
①
< br>(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－<
/p>
b
2
；
②
(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±
2
ab
< br>＋
b
2
；
③
(
a
＋
b
)(
a
2
－<
/p>
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
＋
b
3
；
④
(
a
< br>－
b
)(
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
－
b
3
；
a
2
＋
b
2
＝
(
a
＋
b
)
< br>2
－
2
ab
；
(
a
－
b
)
2
＝
(<
/p>
a
＋
b
)
2
－
4
ab
。
2
．
幂的运算性质
①
a
×
a
＝
a
⑥
a
-
n<
/p>
＝
m
n
m
+
n
a
＝
a
；
②
a
÷
m
n
m
-
n
a
n
a
n
；
③
(<
/p>
a
)
＝
a
；
④
(
ab
)
＝
a
b
；
⑤
(
)
< br>＝
n
；
b
b
m
n
m
n
n
n
n
1<
/p>
(
)
-
n
＝
(
)
n
；
⑦
a
0
＝
1(
a
≠0)
。
n
，特别：
a
3
．
二次根式
①
(
)
2
＝
a<
/p>
(
a
≥0)
；<
/p>
②
＝丨
a
丨；<
/p>
③
＝
×
；
④
＝
(
a
＞
0
，
b
≥0)
。
4
．
三角不等式
|a|-
|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
（定理）
；
加强条件：
||a|-
< br>|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
也成立，这个不等式也可称为向量的三角
不等式（其中
a
，
b
< br>分别
为向量
a
和向量
b
）
|a+b|≤|a|+|b|
；
|a-
b|≤|a|+|b|
；
|a|≤b<=>
-
b≤a≤b
；
|a-
b|≥|a|
-|b|
；
-
|a|≤a≤|a|
；
5
．
某些数
列前
n
项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
；
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n
2
；
< br>2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
；
1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
2
=n(n+1
)(2n+1)/6
；
1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
+…n
3
=n
2
(n+1)
2
/4
；
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*
7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
；
6
．
一元二次方程
对于方程：
ax
＋
bx
＋
c
＝
0
：
b
b
2
4
ac
2
①
求根公式
是
x
＝
，其中
△
＝
b
－
4
ac
叫做根的判别式。
2
a
2
当
△
＞
0
时，方程有两个不相等
的实数根；
当
△
＝
0
时，方程有两个相等的实数根；
当
△
＜
0
时，方程没有实数根．注意：当
△
≥0
时，方程有实数根。
②
若方程有两个实数根
x
1
和
x
2
，则二次三项式
< br>ax
2
＋
bx
< br>＋
c
可分解为
a
(
x
－
x
1
)(
x
－
x
2
)
。
③
以
a
和
b
为根的一元二次方程是
x
2
－
(
a
＋
b
)
x
＋
ab
＝
0
。
7
．
一次函数
一次函数
< br>y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
的图象是一条直线
(
b
是直线与<
/p>
y
轴的交点的纵坐标，称为截距
)
。
①
当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大
(
直线从左向右上升
)
；
②
当
k
＜
0
时，
y<
/p>
随
x
的增大而减小
(
直线从左向右下降
)
；
③
特别地：当
b
＝
0
时，
y
＝
kx
(
k
≠0)
又叫做正比例函数
(
y
与
x
成正比例
)
，图象必过原点。
8
．
反比例函数
反比例函数
y
＝
(
k
< br>≠0)
的图象叫做双曲线。
①
当
k
＞
0
时，双曲线在一、三象限
(
在每一象限内，
从左向右降
)
；
②
当
k
＜
0
时，双曲线在二、四象限
(
在每一象
限内，从左向右上升
)
。
9
．
二次函数
（
1
）
.
定义：
一般地，如果
y
ax
2
bx
< br>c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a
0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函数。
（
2
）
.
抛物线的三要素：
开口方
向、对称轴、顶点。
①
a
的符号决定抛物线的开口方向：当
a
0
时，开口向上；当
a
0
时，开口向下；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②
平行于
y
轴（或
重合）的直线记作
x
h
.
特别地，
y
轴记作直线<
/p>
x
0
。
（
3
）
.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
（
0,0
）
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
b
4
ac
<
/p>
b
2
(
，
)
2
a
4
a
x
0
（
y
轴）
当
a
0
时
x
0
（
y
轴）
开口向上
当
a
0
时
开口向下
（
4
）
.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
（
，
）
①公式法：
y
ax
bx
c
a
x
，
∴
顶点是
，对称
轴是
2
a
4
a
2
a
4
a
2
2
直线
x
b
。
2
a
2
②配方法：运用配方的方法，将抛
物线的解析式化为
y
a
x
h
< br>
k
的形式，得到顶点为
(
h
,
k
)
，对称轴是直线
x
h
。
③运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，
对称轴与抛物线的交点
是顶点。
(
x
2
,
y
)
（及
y
值相同）
若已知
抛物线上两点
(
x
1
< br>,
y
)
、
，
则对称轴方程可以表示为：
x
<
/p>
2
y
ax
bx
c
中，
a
,
b
,
c
的作用
（
5
）
.
抛物线
x
1
x
2
2
①
a
决定开口方向及开口大小，这与
y
ax
2
中的
a
完全一样。
②
b
和
a
共同决定抛
物线对称轴的位置
.
由于抛物线
y
ax
2
bx
c
的对称轴是
直线。
b
b
x
，故：
①
b
0
时，
对称轴为
y
轴；
②
0
（即
a
、
b
同号）时，对称轴在
y
轴
2
a
a
b
左侧；
③
0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y
轴右
侧。
a
③
c
的大小
决定抛物线
y
ax
< br>2
bx
c
与
y
轴交点的位置。
当
x
0
时，
y
c
，
∴
抛物线
y
ax
2
bx
c
与
y
轴有且只有一个交点（
0
，
c
）
：
①
c
0
，抛物线经过原点
;
< br>②
c
0
,
与
y
轴交于正半轴；
③
c
0
< br>,
与
y
轴交于负半轴
.
b
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
.
如抛物线的对称轴在
y
轴右侧，则
0
。
a
（
6
）
.
用待定系数法求二次函数的解析式
①一般
式：
y
ax
2
bx
c
.
已知图像上三点或三对
x
、
y
的值，通常选择一般式
.
②顶点式：
y
a
x
h
k
.
已知
图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
2
③交点式：已知图像与
x
轴的交点坐标
x
1
、
x
2
，通常选用交点式：
y
a
x
x
1
x<
/p>
x
2
。
（
7
）
.
直线与抛物线的交点
①
y
轴与抛物线
y
ax
2
bx
c
得交点为
(0,
c
)
。
②抛物
线与
x
轴的交点。
二次函数
y
ax
2
bx
c
的图
像与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
、
x
2
，是对应一元二次方程
ax
2
bx
c
0
的两个实数根
.
抛物线与
x
轴的交点情况可
以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
a
有两个
交点
(
0
)
抛物线
与
x
轴相交；
b
有一个
交点（顶点在
x
轴上）
(
0
< br>)
抛物线与
x
轴相切；
c
没有交点
(<
/p>
0
)
抛物线与
x
轴相离
。
③平行于
x
轴的直线与抛物线的交点
同②一
样可能有
0
个交点、
1
个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点时，两交点的纵坐标相等，
设纵坐标为
k
，则横坐标是
< br>ax
2
bx
< br>
c
k
的两个实数根。
④一次函数
y
kx
n
k
0<
/p>
的图像
l
与二
次函数
y
ax
2
bx
c
a
0<
/p>
的图像
G
的交
点，由
方程组
y
kx
n
y
ax
bx
c
2
的解的数目来确定：
a
方程组有两组不同的解时
l
与
G
有两个交点；
b
方程组只有一组解时
l<
/p>
与
G
只有一个交点；
c
方程组无解时
l
与
G
没有交点。
⑤
抛
物
线
与
x
轴
两
交
点
之
间
的
距
离
< br>：
若
抛
物
线
y
ax
2
bx
c
与
x
轴
两
交
点
为
A
x
1
，
0
，
B
< br>
x
2
，
0
，则
AB
x
1
x
2
10
．
统计初步
（
1
）概念
：
①
所要考察的对象的全体叫做
总体
，
其中
每一个考察对象叫做
个体．
从总体中抽取
的一部份个体叫做总体的一个
样本
，样本中个体的数目叫做<
/p>
样本容量．
②
在一组数据中，出现
次数最多的数
(
有时不止一个
)
，叫做这组数据的
众数
．<
/p>
③
将一组数据按大小顺序排列，把处在
最
中间的一个数
(
或两个数的平均数
)<
/p>
叫做这组数据的
中位数．
（
2
）公式：
设有
n
个数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，那么：
①
平均数为：
x
=
x
1
+
x
2
+
< br>......
+
x
n
；
n
②
极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法
得到的差称为极差，即：极差
=
最大值
-
最小值；
③
方差：数据
x
1
、
x
2
……,
x
n
的方差为
s
2
，
则
s
2
=
2
1
轾
x
-
x
< br>+
(
)
犏
1
n
臌
(
x
2
-
x
)
+
.....
+
2
(
x
n
-
x
)
2
④标准差：方差的算术平方根。
数据
x
1
、
x
2
……,
x
n<
/p>
的标准差
s
，
则
s
=
2
1
轾
(
x
1
-
x
)
+
犏
n
臌
< br>(
x
2
-
x
)
+
.....
< br>+
2
(
x
n
-
x
)
2
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。