推荐初中数学平方差公式(一)
-
平方差公式
(
一
)
一、教学目标
(
一
)
知识目标
1.
经历探索平方差公式的过程
. <
/p>
2.
会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算
.
(
二
)
能力目标
1.
在探索平方
差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力
.
2.
培养学生观察、归纳、概括等能力
.
(
三
)
情感目标
<
/p>
在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美
< br>.
二、教学重难点
（一）教学重点
平方差公式的推导和应用
.
（二）教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式
.
三、教具准备
投影片四张
第一张：做一做，记作
(§
1.7.1
A)
第二张：例
1
，记作
(§
1.7.1 B)
第三张：例
2
，记作
(§
1.7.1
C)
第四张：练一练，记作
(§
1.7.1
D)
四、教学过程
Ⅰ
.
创设情景，引入新课
［师］你能用简便方法计算下列各题吗？
(1)2001×
1999
；
(2
)99
2
－
1
［生］可以
.
在
(1)
中
2001×
1999=(2000+1)(200
0
－
1)=2000
2
－
2000+2000
－
1×
1=2
000
2
－
1
2
=4000000
－
1=3999999,
在
(2)
中
99
2
－
1=(100
－
1)
2
－
1=(100
－
1)(100
－
1)
－
1=
100
2
－
100
－
100+1
－
1=10000
－
20
0=9800.
［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将
(1)(2)
中的
2001
，
1999
，
99
化成为整千整百的运算，从而使运算很简便
.
我们不妨观察第
(1)
题，
2001
< br>和
19
99
，一个比
2000
大
1
，于是可写
成
2000
与
1
的和，一个比
2000
小
1
，于是可写成
2000
与
1
的差，所以
2001×
1999<
/p>
就是
2000
与
1
这两个数的和与差的积，即
(2000+1)(2000
－
1)
；再观察利用多项式与多项式相乘的
法则算出来的结果为：
2000
2
－<
/p>
1
2
，恰为这
两
个数
2000
与
1
的平方差
.
即
< br>(2000+1)(2000
－
1)=2000
2
－
1
2
.
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？
我们不妨看下面的做一做
.
Ⅱ
.
使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言
和符
号表示其规律
［师］出示投影片
(§
1.7.1
A)
做一做：计算下列各题：
(1
)(
x
+2)(
x
－
2);
(2)(1+3
a
)(1
－
3
a
);
(3)(
x
+5
y
)(
x
－
5
y
);
(4)(
y
+3
z
)(
y
－
3
z
).
观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又
发现什么规律？再举两
例验证你的发现？
［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法
.
［生］上面四个算式每个因式都是两项
.
［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的
积
.
例如：算式
(1)
是
“
x
”
与<
/p>
“
2
”
这两个数
的和与差的积；算式
(2)
是
“
1
”
与
“
3
a
”
这两个数
的和与差的积；算式
(3)
是
< br>“
x
”
与
“
5
y
”
的
和与差的积；算式
(4)
是
“
y
”
与
“
3
z
”
这两个数的
和与差的积
.
［师］我们观察出了算式的结构
特点
.
像这样的多项式与多项式相乘，它们的
< br>结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案
.
［生］解：
(1)(
x
+2)
(
x
－
2)
=
x
2
－
2<
/p>
x
+2
x
－
4=
x
2
－
4
；
(2)(1+
3
a
)(1
－
3
a
)
=1
－
3
a
+3
a
－
9
a
2
=1
－
9
a
2
；
(3)(
x
+5
y
)(
x
－
5
y
)
=
x
2
－
5
xy
+5
xy
－
25
y
2
=
x
2
－
25
y
< br>2
；
(4)(
y
+3
z
)(
y
－
3
z
)
=
y
2
－
3
yz
+3
zy
－
9
z
2
=
y
2<
/p>
－
9
z
2
(
如有必要的话可以让学生利用乘法分配律
将多项式与多项式相乘转化成单项
式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以
及转化的思想
)
［生］从刚才这位同学的运算，我发现：
即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差
.
这和我们前面的一个简便运算
得出同样的结果
.
即
［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？
< br>［生］可以
.
例如：
(1)101×
99=(100+1)(100
－
1)=100
2
－
< br>100+100
－
1
2
=100
2
－
1
2
=10000
－
1
=9999
；
(2)(
－
x
+
y
< br>)(
－
x
－
y
)=(
－
x
)(
－
x
)+
xy
－
xy
－
y
2
=(
－
x
)
2
－
y
2
=
x
2
－
y
2
.
即
上面两
个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差
.
［师］为什么会有这样的特点呢？
［
生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项
且系数互为相反
数，所以相加后为零
.
只剩下这个数的平方差
< br>.
［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？
［生］可以
.
上述规
律用符号表示为：
(
a
+
b
)(
a
－
b
)=
a
< br>2
－
b
2
①
其中
a
,
b
可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式<
/p>
.
利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即
(
a
+
b
)(
a
－
b
)=
a
2
－
ab
+
ab
－
b
2
=
a
2
－
b
2
< br>
［师］同学们确实不简单
映出此规律的
.
［生］我们可以把
(
a<
/p>
+
b
)(
a
－
b
)=
a
2
－
b
2
叫做平方差公式
.
［师］大家同意吗？
［生］同意
.
［师］好了！这节课我
们主要就是学习讨论这个公式的
.
你能用语言描述这个
公式吗？
［生］可以
.
这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差
.
［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式
.
用它直接运算会很简
单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运
算
.
Ⅲ
.
体
会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，
进一步熟悉平方差
公式
.
出示投影片
(§
1.7.1 B) <
/p>
［例
1
］
(1)
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( ) <
/p>
A.(
x
+1)(1+
< br>x
)B.(
a
+
b
)(
b
－
< br>a
)
C.(
－
a
+
b
)(
< br>a
－
b
)D.(
x
2
－
y
)(
x
+
y
2
)
E.(
－
a
－
b
)(
a
－
b
)F.(
c
2
－
d
2
)(
d
2
+
c
2
)
(2)
利用平方差公式计算：
(5+6
x
)(5
－
6
x
);(
x
－
2
y
)(<
/p>
x
+2
y
);
(
－
m
+
n
)(
－
m
－
n
).
用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快
.
你能给我们发现的规律
(
a
+
b
)(
a
－<
/p>
b
)=
a
2
－
b
2
起一个名字
吗？能形象直观地反