圆的弦长的计算公式
-
圆的弦长公式
知识梳理
一、直线与圆的位置关系
1
．几何判定法：
< br>设
r
为圆的半径，
d
为圆心到直线的距离：
(1)
< br>d
>
r
⇔
圆与直线相离；
(2)
d
＝
r
⇔
圆与直线相切；
(3)
d
<
r
⇔
圆与直线相交．
< br>
2
．代数判定法：
Ax
By
C
0
由
消元，得到一元二次方程的判别式
Δ，则
2
2
2
(
x
< br>a
)
(
y
b
)
r
(1)Δ>0
⇔
直线与圆相交；
(2)Δ＝<
/p>
0
⇔
直线与圆相切；
(3)Δ<0
⇔
直线与圆相离．
二、圆的切线问题
1.
切线方程
（
1
）圆
x
a
<
/p>
y
b
r
2
上一点
P
x
0
,
y
0
处的切线方程为
x
a
x
0
a
y
< br>b
y
0
b
r
2
2
2<
/p>
x
x
0
y
y
0
2
2
x
y
Dx
< br>Ey
F
0
x
x
y
y
D
g<
/p>
E
g
F
0
（
2
）圆
上一点
P
x
0
,
y
0
< br>处的切线方程为
0
0
2
2
2.
切线长公式
过圆外一点
P
x
0
,
y
0
引圆的
切线，设点为
T
,
则切线长
MT
x
0
2
y
0
< br>2
Dx
0
Ey
0
F
或
MT
x
0
a<
/p>
2
y
0
b
r
2
2
三、弦长问题
1.
几何法
直线
l
与圆
C
交于
A
,<
/p>
B
两点，圆心
C
到直线
l
的距离为
d
< br>，则圆的半径
r
，
d
与弦长
AB
的一半
AB<
/p>
AB
2
构成直角三角形的三边，即
d
2
，故求出
后再求
AB
．
r
2
2
2.
代数法——弦长
公式
设
圆
x
a<
/p>
y
b
r
2
，
直线
l
：
y
< br>kx
b
，
则
l
被圆截得的弦长
L
1
k
g
x
1
x
2
4
x
1
x<
/p>
2
2
2
2
2
2
或
L
1
1
2
g
y
y
4
y
1
y
2
<
/p>
1
2
2
k
1
典型例题
2
2
例
1
：已
知圆
C
：
x
＋
(
y
－
1)<
/p>
＝
5
，直线
l<
/p>
：
mx
－
y
＋
1
－
m
＝
0.
(1)
求证：
对
m
∈
R
，直
线
l
与圆
C
总
有两个不同的交点；
(2)
若直线<
/p>
l
与圆
C
交于<
/p>
A
、
B
两点，当
|
AB
|
＝<
/p>
17
时，求
m
的
值．
解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．
(1)
问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，
< br>(2)
问可利用弦长公式求解．
x
＋
y
－
1
＝
5
答案：
(1)
解法一：由
< br>
mx
－
y
＋
1
－
m
＝
0
2<
/p>
2
2
2
2
2
，消去
y
整理，得
(
m
＋
1)
x
－
2
m
x
＋
m
－
5
＝
0.
2
2
2
2
2
∵Δ＝
(
－
2
m
)
－
4(
m
＋
1)(
< br>m
－
5)
＝
16
m
＋
20>0
，对一切
m
∈
R
成立，∴直线
l
与圆
C
总有两个
不同交点．
解法二：由已知
l
：
y
－
1
＝
m
(
x
－
1)
< br>，
故直线恒过定点
P
(1,1)
．
2
2
∵
1
＋
(1
－
1)
<5
，∴
P
(1,1)
在
圆
C
内．
∴
直线
l
与圆
C
总有两个不同的交点．
(2)
解法一
：圆半径
r
＝
5
，
圆心
(0,1)
到直线
l
的距离为
d
，
d
＝
r
2
－
< br>
|
AB
|
2
＝
3
.
2
2
|
－
m
|
由点到直线的距离公式，得
m
2
＋
－
1
＝
2
3
，
2
解得
m
＝±
3.
解法二：设
A
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，<
/p>
|
AB
|
＝
x
1
－
x
2
2
＋
y
< br>1
－
y
2
2
＝
1
＋
k
2
x
1
－
x
2
2
＝
1
＋
k
2
[
x
1
＋
x
2
2<
/p>
－
4
x
1
x
2
]
＝
1
＋
k
2
100
k
2
1
－
k
2
－
4·
25
k
k
－
2<
/p>
k
2
＋
1
2
k
2
＋
1
2
2
∴
m
＝±
3.
练习
1
：直线
l
经过点
P
(5,5)
，且和圆
C
：
x
＋
y
＝
25
相交，截得的
弦长为
4
5
，求
l
的方程．
答案：解法一：设直线
l
的方程为
y
－
5
＝
k
(<
/p>
x
－
5)
且与圆
C
相交于
A
(
x
1
，
y
1
)
、
B
(
x
2
，
y
2
)
，
< br>
y
－
5
＝
k
x
－
5
2
2
x
＋
y
＝
25
2
2
消去
y
，
<
/p>
得
(
k
＋
1)
x
＋
10
k
(1
－
k
)
x
＋
25
k
(
k
－
2)
＝
0.
2
2
∴Δ＝
[10
k
(1
－
k
)]
－
4(
k
＋1)·25
k
(
k
－
2)>0.
解得
k
>0.
10
k
1
－
k
25
k
k
－
2
x
1
＋
x
2
＝－
，
x
1
x
2
＝
.
2
k
＋
1
k
2
< br>＋
1
由斜率公式，得
y
1
－
y
2
＝
k
(
x
< br>1
－
x
2
)
．
∴
|
AB
|
＝
<
/p>
x
1
－
x
2
2
＋
y
1
－
y
2
2
＝
1
＋
k
2
x
1
－
x
2
2
2