人教版八年级数学上《完全平方公式》拓展练习
-
《完全平方公式》拓展练习
一、选择题（
本大题共
5
小题，共
25.0
分）<
/p>
1
．
（
5
分）已知
x
＝
3
y
+5
，且
x
﹣
7
xy
+9
y
＝
24
，则
x
y
﹣
3
xy
的值为（
）
A
．
0
B
．
1
2
2
2
2
2
2
2
C
．
5
2
< br>D
．
12
2
2
2
．
（
5
分）已知实数
x
< br>、
y
、
z
满足
x
+
y
+
z
＝
4
，则
（
2
x
﹣
y<
/p>
）
+
（
2
y
﹣
z
）
+
（
2
z
﹣
x
）
的最
< br>大值是（
）
A
．
12
B
．
20
<
/p>
2
C
．
28
2
D
．
36
3
．
（
5
分）若
a
+
b
＝
10
，
ab
＝
11
，则代数式
a
﹣
ab
+
b
的值是（
）
A
．
89
B
．﹣
89
2
C
．
67<
/p>
D
．﹣
67
4
．
（
5
分）若
a
＝
4+<
/p>
，则
a
+
A
．
14
B
．
16
的值为（
）
C
．
18
<
/p>
2
2
D
．
20
5
．
（
5
分）已知
a
+
b
＝﹣
5
，
ab
＝﹣
4
，则
a
﹣
ab
+
b
的值是（
）
A
．
37
B
．
33
C
．
29
D
．
21
二、填空题（
本大题共
5
小题，共
25.0
分）<
/p>
6
．
（
5
分）已知（
a
﹣<
/p>
2017
）
+
（
2018
﹣
a
）
＝
5
，则（
a
﹣
2017
）
（
a
﹣
2018
）＝
7
．
（
5
分）在学习
整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各
项系数排成下表
，如图：
（
a
+
b
）
＝
1
（
a
+
b
）
＝
a
+
b
（
a
+
b
）
< br>＝
a
+2
ab
< br>+
b
（
a
+
b
）
＝
a
+3
a
b<
/p>
+3
ab
+
b<
/p>
这个图叫做“杨辉三角”
，请观察这些
系数的规律，直接写出（
a
+
b
）
＝
，并说
出第
7
排的第三个数是
．
5
3
3
2
2
3
2
2
2
1
0
2
2
< br>
8
．
（
5
分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作
《详解九章算法》
中提出“杨辉三角”
（如下图）
，
第
1
页（共
14
页）
n
此图揭示了（
a
+<
/p>
b
）
（
n
为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（
a
+
b
）
＝
1
，它只有一项，系数为
1
；
（
a
+
b
）
＝
a
+
b
，它有两项，系数分别为
1
，
1
，系数和为<
/p>
2
；
（
a
+
b
）
＝
a
+2
ab
+
b
，它有三项，系数分别为
1
，
2
，
1
，系数和为
4
；
（
a
+
b
）
＝
a
+3
a
b
+3
ab
+
b
，它有四项，系数分别为
1
，
3
，
3
，
1
，系数和为
8
；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（<
/p>
1
）
（
a
+
b
）
展开式共有<
/p>
项，系数分别为
；
（
2
）
（
a
+
b
）
展开式共有
项，系数和为
．
n
4
3
3
2
2
3
2
2
2
1
0
9
< br>．
（
5
分）已知
a
+
b
＝
4
，则（
a
﹣
b
）
的最大值为
．
10
．<
/p>
（
5
分）已知
a
+
＝﹣
2
，则
＝
，
＝
．
2
2
2
三、解答题（
本大题共
5
小题，共
50.0
分）
11
．
（
10
分）已知：
计算
：
猜想：
＝
；
＝
；
＝
．
＝
；
12<
/p>
．
（
10
分）完
全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过
类比学习得到
（
a
+
b
）<
/p>
（
n
为非负整数）的计算结果，如果将（
a
+
b
）
（
n
为非负整数）
的每一项按字母
a
的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式
：
（
a
+<
/p>
b
）
＝
1
，它只有一项，系数为
1
；
< br>
（
a
+
b
）
＝
a
+
b
，它有两项，系数分别为
1
、
1
；
（
a
+
b
< br>）
＝
a
+2
ab
+
b
，它有三项，系数分别为
1
、
2
、
1
；
（
a
+
b
）
＝
a
+3
a
b
+3
ab
+
b
它有四项，系数分别为
1
、
3
、
3
、
1
；
如果将上述
每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一
第
2
页（共
14
页）
3
3
2
2
3
2
2
2
1
0
n
n
定也发现了，请你根据规律解答下列问题：
< br>（
1
）尝试写出（
a
+
b
）
的结果，并验证；
（
2
）请直
接写出（
a
+
b
）
共有
项，各项系数的和等于
；
（
3
）
（
a
+
b
）
（
n
为非负整数）共有
项，各项系数的和等于
；
（
a
﹣
b
）
（
n
为非负整数）各项系数的和等于
．
n
n
5
4
13
．
（
10
分）我们在
解题时，经常会遇到“数的平方”
，那么你有简便方法吗？这里，我们
< br>以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：
27
＝（
27+7
）×
20+7
＝
729
32
＝（
32+2
）×
30+2
＝
1024
56
＝（
56+6<
/p>
）×
50+6
＝
3136
…
（
1
）请根据上述规律填空：
38<
/p>
＝
＝
；
（
2
）
我们知道，
任何一个两位数
（个数上数字
n
十位上的数字为
m
）
都可以表示为
10
m
+
n
，
根据上述规律写出：
（
10
m
+
n
）
＝
，并用所学知识说明你的结论的正确性．
14
．
（
10
分）观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由
数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表
示（
< br>a
+
b
）
（此处
n
＝
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5..
）的计算结果中的各项系数：
n
2
2
2
2
2
2
2
2
（
1
< br>）
请根据上题中的杨辉三角系数集”
，
< br>仔细观察下列各式中系数的规律，
并填空：
（
a
+
b
）
1
3
＝
a
+
b
各项系数之和
1+1
＝
2
＝
2
（
a
+
b
< br>）
＝
a
+2
ab
+
b
各项系数之和
1+2+1
＝
4
＝
2
（
a
+
b
）
＝
a
+3
a
b
+3
ab
+
b
各项系数之和
1+3+3+1
＝
8
＝
2
6
6<
/p>
5
4
2
3
3
2
4
3
2
2
3
3
1
2
2
2
2
①
请补全下面展开式的系数：
（
a
﹣
b
）
＝
a
+
a
b
+15
a
b
+
a
b
+15
a
b
﹣
第
3
页（共
14
页）
5
6
6
ab
+
b
②
请写出（
a
+
b
）
各项系数之和：
（
2
）设（
x
+1
）
＝<
/p>
a
17
x
+
a
16
x
+
…
+
a
1
x
+
a
0
，求
a
1
+
< br>a
2
+
a
3
+
…
+
a
16
+
a
17
的值．
（
3
）你能在（
2
）的基础上求出
a
2
+
a
4
+
a
6
< br>+
…
+
a
14
+
a
16
的值吗？若能，请写出过程．
15
．
（
10
分）已知
x
+
y
＝
5
，
xy
＝
1
．
17
17
16
10
（
1
）求
x
2
+<
/p>
y
2
的值．
<
/p>
（
2
）求（
x<
/p>
﹣
y
）
2
的值．
第
4
页（共
14
页）<
/p>
《完全平方公式》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（
本大题共
5
小题，共
25.0
分）<
/p>
1
．
（
5
分）已知
x
＝
3
y
+5
，且
x
﹣
7
xy
+9
y
＝
24
，则
x
y
﹣
3
xy
的值为（
）
A
．
0
B
．
1
2
2
2
2
2
C
．
5
2
D
．
< br>12
2
2
【分析】
依据
x
﹣
3
y
＝
5
两边平方，可得
x
﹣
6
xy
+9
y
＝
25
，再根据
x
﹣
7
xy
+9
y
＝
24
，即
可得到<
/p>
xy
的值，进而得出
x
< br>y
﹣
3
xy
的值．
【解答】
解：∵
x
＝
3
y
+5
，
∴
x
﹣
3
y
＝
5
，
两边平方，可得
x
﹣
6
xy
+9
y
＝
25
，
又∵
x
﹣
7
xy
< br>+9
y
＝
24
< br>，
两式相减，可得
xy
＝
1
，
∴
x
y
﹣
3
xy
＝
xy
（
x
﹣
3
y
）＝
1
×
5
＝
5
，
故选：
C
．
【点评】
本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公
式时，要注意：公式中
的
a
，
b
可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，
都可以用
这个公式．
2
．
（
5
分）已知实数
x
、
y
、
z
满足
x
+
y
+
z
＝
< br>4
，则（
2
x
< br>﹣
y
）
+
（
2
y
﹣
z
）
+
（
2
z
﹣
x
）
的最
大值是（
）
A
．
12
B
．
20
<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
．
28
2
D
．
3
6
2
【分析】
由题意实数
x
、
y
< br>、
z
满足
x
+
y
+
z
＝
4
，可以将（
2
x
﹣
y
）
+
（
2
y
﹣<
/p>
z
）
+
（
2
z
﹣
x
）
2
，用
x
+
y
+
z
< br>和（
xy
+
yz
+
xz
）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进
行求解．
2
2
2
2
2
2
【
解答】
解：∵实数
x
、
y
、
z
满足
< br>x
+
y
+
z
＝
4
，
∴（
2
x
﹣<
/p>
y
）
+
（
2
y
﹣
z
）
+
（
2
z
﹣
x
）
＝
5
（
x
+
y
+
z
）﹣
4
（
xy
+<
/p>
yz
+
xz
）＝
20
﹣
2[
（
x
+
y
+
z
）
2
2
2
2
2
2
2
﹣（
x
+
y
+
z
）
]
＝
28
﹣
2
（
x
+
y
+
z
）
≤
28
2
2
2
2
2
2
2
∴当
x
+
y
+
z
＝
< br>0
时（
2
x
﹣
y
）
+
（
2
y
﹣
z<
/p>
）
+
（
2
z
﹣
x
）
的最大值是
28
．
故选：
C
．
【点评】
此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学
会拼凑多项式．
第
5
页（共
14
页）
2
2
3
．
（
5
分）若
a
+
b
＝
10
，
ab
＝
11
，则代数式
a<
/p>
﹣
ab
+
b
的值是（
）
A
．
89
B
．﹣
89
C
．
67
D
．﹣
67
2
2
【分析】
把
a
+
b
＝<
/p>
10
两边平方，
利用完全平方公式化简，
将
ab
＝
11
代入求出
a
+
b
的值，
代入原式计算即可得到结果．
【解答】
解：把
a
+
b
＝
10
两边平方得：
（
a
+
b
）
＝
a
+
b
+2
ab
＝
100
，
把
ab
＝
11
代入得：
a
< br>+
b
＝
78
，
∴原式＝
78
﹣
11
＝
67
，
故选：
C
．
【点评】
此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公
式的结构特征是解本题
的关键．
4<
/p>
．
（
5
分）若<
/p>
a
＝
4+
，则<
/p>
a
+
A
．
14
B
．
16
<
/p>
2
2
2
2
2
2
的值为（
）
C
．
18
D
．
20
<
/p>
【分析】
先将
a
＝
4+
，整理成
a
﹣
＝
4
，再两边平方，展开整理即
可得出结论．
【解答】
解：∵
a
＝
4+
，
∴
a
﹣
＝
4
，
< br>两边平方得，
（
a
﹣
）
＝
16
，
∴
a
2+
即：
a
+
故选：
C
．
【点评】
此题主要考查了完全平方公式，给
a
﹣
＝
4
两边平方是解本题的关键．
< br>
5
．
（
5
分）已知
a
+
b
＝﹣
5
，
ab
＝﹣
4
，则
a
﹣
ab
+
b
的值是（
）
A
．
37
B
．
33
C
．
29
D
．
21
<
/p>
2
2
2
2
﹣
2
＝
16
，
＝
18
，
<
/p>
【分析】
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【解答】
解：∵
a
+
b
＝﹣
5<
/p>
，
ab
＝﹣
4<
/p>
，
∴
a
﹣
ab
+
b
＝（
a
+
b
）
﹣
3
ab
＝（﹣
5
）
﹣
3
×（﹣
4
）＝
37
，
第
6
页（共
14
页）
2
2
2
2
故选：
A
．
【点评】
本题考查了完全平方公式，
能
灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
二、填空题（
本大题共
5
小题，共
25.0
分）<
/p>
6
．
（
5
分）已知（
a
﹣<
/p>
2017
）
+
（
2018
﹣
a
）
＝
5
，则（
a
﹣
2017
）
（
a
﹣
2018
）＝
2
【分析】
直接利用完全平方公式将原
式变形，进而求出即可．
【
解
答
】
解
：
（
a
﹣
2017
）
（
＝﹣
故答案是：<
/p>
2
．
【点评】
此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
7
．
（
< br>5
分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子
的各
项系数排成下表，如图：
（
a
+
b
）
＝
1
（
a
+
b
）
< br>＝
a
+
b
（
a
+
b
）
＝
a
+2<
/p>
ab
+
b
（
a
+
b
）
＝
a
+3
a
b
+3
ab
+
b
这
个
图
叫
做
“
杨
辉
三
角
”
，
请
观<
/p>
察
这
些
系
数
的
规
律
，
直
接
写
出
（
a
+
b
）
＝
a
+5
a
b
+
10
a
b
+10
a
b
+5
ab
+
b
，并说出第
< br>7
排的第三个数是
15
．
<
/p>
5
4
3
2
2
3
4
5
5
3
3
2
2
3
2
2
2
1
0
2
2
a
﹣
2018
）
＝
﹣
＝
2
．
【分析
】
观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边
都是数字
1
组成，而其余的数则是等于它“肩”
上的两个数之和．
【解答】
解：
（
a
+
b
）
＝
a
+5
a
b
+10
a
b
+10
a
b
+5
ab
+
b
；
第
7
排的第三个数是
15
，
故答案为：
a
+5
a
b
+10
a
b
+10
a
b
+5
ab
+
b
；
15
；
【
点评】
考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找
出本题的数字规律是正确解题的关键．
8
．
（
5
分）我
国宋朝数学家杨辉在他的著作
《详解九章算法》
中提出“杨辉三
角”
（如下图）
，
第
< br>7
页（共
14
页）
5
4
< br>3
2
2
3
4
5
5
5
4
3
2
2
3
4
5