平方差公式(一)
-
平方差公式
(
一
)
一、教学目标
(
一
)
知识目标
1.
经历探索平方差公式的过程
. <
/p>
2.
会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算
.
(
二
)
能力目标
1.
在探索平方
差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力
.
2.
培养学生观察、归纳、概括等能力
.
(
三
)
情感目标
<
/p>
在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美
< br>.
二、教学重难点
（一）教学重点
平方差公式的推导和应用
.
（二）教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式
.
三、教具准备
投影片四张
第一张：做一做，记作<
/p>
(
§
1.7.1 A)
第二张：例
1
，记作
(
§
1.7.1 B)
第三张：例
2
，记作
(
§
1.7.1 C)
第四张：练一练，记作
(
§
1.7.1 D)
四、教学过程
Ⅰ
.
创设情景，引入新课
［师］你能用简便方法计算下列各题吗？
(1)2001
×
1999
；
(2)99
2
－
1
［生］可以
.
在
(1)
中
2001
×
1999=(2000+1)(2000
－
1)=20
00
2
－
2000+2000
－
1
×
1=2000<
/p>
2
－
1
2
=4000000
－
1=3999999,<
/p>
在
(2)
中
99
2
－
1=(100
－
1)
2
－
1=(100
－
1)(100
－
1)
－
1=100
2
－
100
－
100+1
－
1=10000
－
200=9800.
［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法
则，将
(1)(2)
中的
2001
，
1999
，
99
化成为整千整百的运算，从而使运算很简便
.
< br>我们不妨观察第
(1)
题，
<
/p>
2001
和
1999
，一个比
2000
大
1
，于是可写成
2000
与
1
的和，一个比
2000
小
1
，于是可写成
2000
与
1
的差，所以
2001
×
1999
就是
2000<
/p>
与
1
这两个数的和
与差的积，即
(2000+1)(2000
－
1)
；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出
来的
结果为：
2000
2
－
1
2
，恰为这两个数
2000
与
1
的平方差
.
即
(2000+1)(2000<
/p>
－
1)=2000
2
－
1
2
.
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？
我们不妨看下面的做一做
.
Ⅱ
.
使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言
和
符号表示其规律
［师］出示投影片
(
§
1.7.1 A)
做一做：计算下列各题：
(1)(<
/p>
x
+2)(
x
－
2);
(2)(1+3
a
)(1
－
3
a
);
(3)(
x
+5<
/p>
y
)(
x
－
5
y
);
(4)
(
y
+3
z
)
(
y
－
3
z<
/p>
).
观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什
么规律？再举
两例验证你的发现？
［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法
.
［生］上面四个算式每个因式都是两项
.
［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差
的积
.
例如：算式
(1)
是“
x
”与“
2
”这两个数的和与差的积；算式
(2)
是“
< br>1
”与
“
3
a
”这两个数的和与差的积；算式
(3)
< br>是“
x
”与“
5
y
”的和与差的积；算式
(4)
是“
y
”与“
3
z
”这两个数的和与差的积
.
［
师］我们观察出了算式的结构特点
.
像这样的多项式与多项式相
乘，它们
的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案
.
［生］解：
(1)(
x<
/p>
+2)(
x
－
2
)
=
x
2
－
2
x
+2
x<
/p>
－
4=
x
2
－
4
；
(2)(1+3
a
)(1
－
3
a
)
=1
－
3
a
+
3
a
－
9
a<
/p>
2
=1
－
9
a
2
；
(3)(
x
+5
y
)(
x
－
5
y
)
=
x
2
－
5
xy
+5
xy
－
25
y
2
=
x
2
－
< br>25
y
2
；
(4)(
y
+3
z
)(
y
－
< br>3
z
)
=
y
2
－
3
yz
+3
zy
－
9
z
2
=
y
2
－
9
z
2
(
如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单
项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想
)
［生］从刚才这位同学的运算，我发现：
即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差
.
这和我们前面的一个简便运
算得出同样的结果
.
即
［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？
< br>［生］可以
.
例如：
(1)101
×
99=(100+1)(100
－
1)=100
2
－
100+100
－
1
2
=100
2
－
1
2
=10000
－<
/p>
1=9999
；
(2)(
－
x
+
y
)(
－
x
－
y
)=(
－
x
)(
－
x
)+
xy
－
xy
－
y
2
=(
－
x
)
2
－<
/p>
y
2
=
x
2
－
y
2
.
即
上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差
.
［师］为什么会有这样的特点呢？
［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类
项且系数互为相反数，所以相加后为零
.
只剩下这个数
的平方差
.
［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对
规律进行证明吗？
［生］可以
.
上述规律用符号表示为：
(
a
+
b
)(
a
－
b
)=
< br>a
2
－
b
2
①
其中<
/p>
a
,
b
可以表示
任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式
.
利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即
(
a
+
b
)(
a
－
b
)=
a
2
－
ab
+
ab
－
b
2
=
a
2
－
b
2
< br>［师］同
.
你能给我们发现
的规律
(
a
+
b
)(
a
－
b
)=
a
2
－<
/p>
b
2
起一个名字吗？能形象直观地
反映出此规律的
.
［生］我们可以把
(
a
+
b
)(
a
－
b
)=
a
2
－
b
2
叫做平方差公式
.
［师］大家同意吗？
［生］同意
.
［师］好了！这节课我
们主要就是学习讨论这个公式的
.
你能用语言描述这
个公式吗？
［生］可以
.
这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差
.
［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式
.
用它直接运算会很
简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运
算
.
Ⅲ
.
体
会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方
便，进一步熟悉平方差
公式
.
出示投影片
(
§
1.7.1 B)
［例
1
］
(1)
下列多项式乘法中，能用平方
差公式计算的是
( )
A.(
x
+1)(1+
x
)
2
2
B.(
1
a
+
b
)(<
/p>
b
－
1
a
)
C.(
－
a
+
b
)(
a
－
b
)
E.(<
/p>
－
a
－
b
)(
a
－
b
)
D.(
x
2
－
y
)(
x
+
y
2
)
F.(
c
2
－
d
2
)(
d
2
+
c
2
)
(2)
利用平方差公式计算：
(5+6
x
)(5
－
6
x
);(
x
－
2
y
)(
x
+2
y
);
(
－
m
+
n
)(
－
m
－
n
).
［生］
(1)
中只有
< br>B
、
E
、
F
能用平方差公式
.
因为
B.(
1
a
+
b
)(
b
－
1
a
)
利用加法
2
2
交换律可得
(
1
a
+
b
)(
b
－
1
a
)=(
b
+
1
a
)(
b
－
1
a
),
< br>表示
b
与
1
a
这两个数的和与差的
2
2
2
2
2
积，符合平方
差公式的特点；
E.(
－
a
－
b
)(
a
－
b
),
同样可利用加法交
换律得
(
－
a
－
b
)(
a
－
b
)=(
－
b
－
a
)(
－<
/p>
b
+
a
),
表示－
b
与
a
这两个数和与差的积，也符合平方差公
式的特点；
< br>F.(
c
2
－
< br>d
2
)(
d
2
+
c
2
)
利用加法和乘法交换律得
(
c
2
－
d
2
)(
d
2
+
c
2
)=(
c
2
+
d
2
< br>)(
c
2
－
d
2
)
，表示
c
2
与
d
2
这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点
.
［师］为什么
A
、
C
、
D
不能用平方差公式呢？
［生］
A
、
C
、
D
表示的不是两个数
的和与差的积的形式
.
［师］下面我们就来做第
(2)
题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积
的形式
.
［生］
(5+6
x
)(5
－
6
x
)
是
5
与
6
x
这两个数的和与差的形
式；
(
x
－
2
y
)(
x
+2
y
)
是
x
与
2
y
这两个数的
和与差的形式；
(
－
m
+
n
)(
－
< br>m
－
n
)
是－
m
与
n
这两个数的和与
差的形式
.
［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式
.
［生］
(5+6
x
)(5
－
6
x
)=5
2
－
(6
x
)
2
=25
－
36
x
2
;
(
x
－
2
y
)(
x
+2
y
)=
x
2<
/p>
－
(2
y
)
2
=
x
2
－
4
y
2
;
(
－
m
+
n
)(
－
< br>m
－
n
)=(
< br>－
m
)
2
－
n
2
=
m
2
－
n
2
.
［师］这位同学的思路非常清楚
.
下面我们再来看一个例题
.
出示投影片<
/p>
(
记作§
1.7.1 C)
［例
2
］利用平方差公式计算：
< br>
(1)(
－
1
x
－
y
)(
< br>－
1
x
+
y
);
4
4
(2)(
ab
+8)(
ab
－
8);
(3)(
m
+
n
)(
m<
/p>
－
n
)+3
n<
/p>
2
.
［师］同学们可先交流、讨论，然
后各小组派一代表到黑板上演示
.
然后再
派一位同学讲评
.
［生］解：
(1
)(
－
1
x
－
y
)(
－
1<
/p>
x
+
y
)
——
(
－
1
x
)
与
y
的和与差的积
4
4
4