整除的性质和特征
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整除的性质和特征
整除问题是整数内容最基本的问题
。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的
整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问
题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：
如果整数
a
除以非
0
整数
b
，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说
a
能
被
b
整除（或
b
能整除
a
），记作
b
/a
，读作
“b
整除
< br>a”
或
“a
能被
b
整除
”
。
< br>a
叫做
b
的
倍数，
b
叫做
a
< br>的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基本性质：
（
1
）如果
a
与
b
都能被
c
整除，则
a+b
与
a-b
也能被
c
整除；
（
2
）如果
a
能被
b
整除
，
c
是任意整数，则积
ac
也能被
b
整除；
（
3
）如果
a
能被
b<
/p>
整除，
b
能被
c
整除，则积
a
也能被
< br>c
整除；
（
4
）如果
a
能同时被
b
、
c
整除，且
b
与
c
互质，那么
a
< br>一定能被积
bc
整
除，反之也成
立；
（
5
）任意整数都能被
1
整除，即
1
是任意整数的约数；
0
能被任意非
0
整数
整除，即
0
是任意非
0
整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：
根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为
解决整除问题带来
方便。
（
1
）如果
一个数是整十数、整百数、整千数、
……
的因数，可以通过被除
数
末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是
2
的倍数
（
0
、
2
、
4
、
6
或
8
）
或
5
的倍数
（
0
、
5
）
，
则这个数能被
2
或
5
整除；
②若一个整数的十位和个位数字组
成的两位数是
4
或
25
的倍数，则这个数能
被
4
或<
/p>
25
整除；
③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是
8
或
125
的倍数，
则
这个数能被
8
或
125
整除。
【推理过程】：
2
、
5
都是
10
的因数
，根据整除的基本性质（
2
），可知所有整十数都能被
10
、
2
、
5
整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它
的个位数的和，
如果一个数的个位数
字也能被
< br>2
或
5
整除，根据整除的基本性
质（
1
），则这个数能被
2
或
5
整除。
又因为
4
、
25
都是
1
00
的因数，
8
、
125
都是
1000
的因数，根据
整除的基本性质
（
2
），可知任意整百
数都能被
4
、
25
整除，任意整千数都能被
8
、
12
5
整除。同时，
任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两
位数的和或一个整千数和它的末三位
数的和，根据整除的基本性质（
1
），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。
同理可证，若一个数的末四位数能
被
16
或
625
整除，则这个数能被
16
或
625<
/p>
整
除，依此类推。
（
2
）
若一个整数各位上数字和能被
3
或
9
整除，则这个数能被
3
或
9
整除。
【推理过程】：
因为
10
、
100
、
1000……
除以
9
都余
1
，所以几十、几百、几千
……
除以
9
就余
几。因此，对于任意整数
A
BCDE…(_______________)
都可以写成下面的形式（
n
为
任意整数）：
9n
＋（
A
＋
B
＋
C
＋
D
＋
E
＋
……
）
9n
一定能被
3
或
9
整除，根据整除的基本性质（
1
），只要这个数各
位上的数字
和（
A
＋
< br>B
＋
C
＋
D
＋
E
＋
…
…
）能被
3
或
9
整除，这个数就能被
3
或
9
整除。
（
3
）用<
/p>
“
截尾法
”
判断
整除性。
①截尾减
2
法：
若一个整数截去个位
数字后，
再从所得的数中，
减去个位数字
的
2
倍，差是
7
的倍数，则原数能被
7
整除；
②截尾减
1
法：
若一个整数截去个位数字后，
再
从所得的数中，
减去个位数字
的
1
倍，差是
11
的倍数，则原数能被
11
整除；
③截尾加
4
法：
若一个整数截去个位数字后，
再从所得的数中，
加上个位数字
的
4
倍，差
是
13
的倍数，则原数能被
13
整除；
④截尾减
5
法：
若一
个整数截去个位数字后，
再从所得的数中，
减去个位数字
的
5
倍，差是
17<
/p>
的倍数，则原数能被
17
整除；
⑤截尾加
2
法：
若一个整数截去个位数字后，
再从所得的数中，
加上个位数字
的
2
倍，差是
19
的倍数，则
原数能被
19
整除。
根据整除的基本性质（
3
），以上
5
条整除特征
中，如果差太大，可以继续前
面的
“
截
尾翻倍相加
”
或
“
截尾翻倍相减
”
的过程，直到能直接判断为止。
【推理过程】：
设任意一个整数的个位数字为
y
，这个数可以表示成
10x
＋
y
的形式，其中
x
为任
意整数。
<
/p>
一个数截尾减
2
后，所得数为（
x
－
2y
）。因为截去
这个数的个位数字后，所得数
x
减去个位数字
< br>y
的
2
倍，实际上是在原数的十
位数字上减去
2
个
y
< br>，即减去了
20
个
y
，截尾一个
y
，总共减去了
21
个
y
，剩下了（
x
－
2y
）个
10
。如下式：
10x
－
20y
＋
y
－
y
﹦（
x
－
2y
）
×
10
﹦（
10x
＋
y
）－
21y
。
根据整除的基本性质，如果（
x
－
2y
）能被<
/p>
7
整除，则（
x
－
2y
）
×
1
0
就能被
7
整
除，即（
10x
＋
y
< br>）－
21y
能被
7
整除，
21y
是
7
的倍数，可以推出原数（
10x
＋
y
）一
定能被
7
整除。
“
截尾加
4”
就是原数截
去
1
个
y
、加
上
40
个
y
，
总共加了
39y
（
13
的倍数），得到
（
x
＋
4y
）个
10
，
“
截尾加
4”
所得
（
x
＋
4y
）
如果能被
13
整除，原数必能被
13<
/p>
整除。
<
/p>
同理，
“
截尾减
1”
就是原数减去了
11
个
y
（
11
的倍数），原数
剩下（
x
－
y
）个
10
，
“
截尾减
1”
所得（
x
< br>－
y
）能被
11
整除，原数必能被
11
整除；