提公因式法因式分解含答案
-
1
、用提公因式法把多项式进行因式分解
【
知识精读
】
如果多
项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将
多
项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也
是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因
式的确定方
法是：
（
1
）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（
2
）系数
和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【
分类解析
】
1.
把下列各式因式分解
（
1
）
a
2
x
m
2
abx
m
1
acx
m
ax
m
3
（
2
）
a
(
a
b
)
2
a
(
< br>b
a
)
2
ab
(
b
a
)
分析：
（
1
）
若多项式的第一项系数是负数，
一般要提出
“－”
号，
使括号内的第一项系数是正数，
在提出
“－”
号后，多项式的各项都要变号。
解：
a<
/p>
x
2
m
2
3
2
2
abx
m
1
acx
m
ax
m
3
ax
m
(
ax
2
< br>
bx
c
x
3
)
（
2
）
有
时
将
因
式
经
过
符
号
< br>变
换
或
将
字
母
重
新
排
列
后
可
化
为
公
因
式
，
如
：
当
n
为
自
然
< br>数
时
，
(
a
b
)
2
n
(
b
a
)
2
n
；
(
a
b
)
2
< br>n
1
(
b
a
)
2
n
1
，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：
a
(
a
b
)
2
a
(
b
a
)
2
ab
(
b
a
)
3
2
2
a
(
a
b
)
3
2
a
2
(
a
< br>
b
)
2
2
ab
(
a
b
)
a
(
a
b
)[(
a
b
)
2
a
(
a
b
)
< br>
2
b
]
2
a
(
a
b
)(<
/p>
3
a
2
4
ab
b
2
2
b
)
2.
利用提公因式法简化计算过程
987
987
987
987
< br>
268
< br>
456
< br>521
1368
1368
1368
1368
987
< br>
分析：
算式中每一项都含有
，可以把它看成公因式提取出来，
再算出结果。
1368
987
(
123
268
456
<
/p>
521
)
解：<
/p>
原式
1368
987
1368
< br>987
1368
例：计算
123
3.
在多项式恒等变形中的应用
例：不
解方程组
2
x
y
3
，求代数式
(
2
x
y
)(
2
x
3
y<
/p>
)
3
x
(
2
x
y
)
的值。
5
x
3
y
2
分析：
不要求解方程组，我们可以把
2
x
y
和
5
x
3
y
看成整体，它们的值分别是
3
和
2
，观察代数式，发
现每一项都含有
2
x
y
，
利用提公因式法把代数式恒等
变形，
化为含有
2
x
< br>
y
和
5
x
3
y
的
式子，
即可求出结果。
解：<
/p>
(
2
x
y
)(
2
x
3
y
)
3
x
(
< br>2
x
y
)
(
2
x
y
)(
2<
/p>
x
3
y
3
x
)
(
2
x
y
)(
5
< br>x
3
y
)
- 1 -
把
2
x
y
和
5
x
3
y
分别为
3
和
2
带入上式，求得代数式的值是
< br>6
。
4.
在代数证明题中的应用
例：证
明：对于任意自然数
n
，
3
n
2
2
n
2
3
n
2
n
一定是
10
的倍数。
分析：
首
先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是
10
的倍数即可。
3
n
2
2
n
2
3
n
2
< br>n
3
n
2
3
n
2
n
2
2
n
3
n
(
3
2
1
)
2
n
< br>(
2
2
1
)
10
3
5
<
/p>
2
n
n
对任意自然数
n
，
10
3
n
和
5
2
n
都是
10
的倍数
。
3
5
、中考点拨：
例
1
。因式分解
3
x
(
x
2
)
(
2
x
)
解：<
/p>
3
x
(
x
2
)
(
2
x
)
n
2
2
n
2
3
n
< br>2
n
一定是
10
的倍数
3
x
(
x
2
)
(
x
2
)
<
/p>
(
x
2
)(
3
x
1
)
说明：
因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例
2
．分解因式：
4
q
(
1
p
)<
/p>
2
(
p
1
)
解：
4
q
(
1
p
)
2
(
p
1
)
3
2
3
2
4
q
(
1<
/p>
p
)
3
2
(
1
p
)
2
2
(
1
p
)
[
2
q
(
1
< br>p
)
1
]
2
2
(
1
p
)
2
(
2
q
2
pq
1
)
说明：
在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，
剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例
1.
计
算：
2000
20012001
2001
20
002000
精析与解答：
设
2000
a
，则
2001
a
1
200
0
20012001
2001
20002000
- 2 -