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2021年2月12日发(作者：电影断臂山)

因式分解的

16

种方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了

提公因式 法

、

公式法

。而在竞赛上，又

有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称

多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则

1

分解要彻底

2

最后结果只有小括号

3

最后结果中多项式首项系数为正 （例如：



3

x

2



x





x



3

x



1



）

分解因式技巧

1.

分解因式与整式乘法是互为逆变 形。

2.

分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；②分解 因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多 项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式， 在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积

的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“

-

”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“

-

”

号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：

（

1

）找出 公因式；

（

2

）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因 式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另 一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得

的商即是提公因式后 剩下的

一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项， 求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净； 全家都搬走，留

1

把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：

-am+bm+cm=-m(a-b-c)

；

a(x-y)+b(y-x)=a (x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

。

注意：把

2

a

2

+

1

1

变成

2(

a

2

+

)

不叫提 公因式

2

4

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种 方法叫公式法。

平方差公式：

a

2



b

2

=(a+b)(a-b)

< br>；

完全平方公式：

a

2

±

2ab

＋

b

2

＝



< p>
a



b



2

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数

(

或式

)

的

平方和的形式，另一项是这两个数

(

或式

)

的积的

2

倍。

立方和公式：

a

3



b

3

=(a+b)(

a

2

-ab+

b

2

)

；

< p>

立方差公式：< /p>

a

3



b

3

=(a--b)(

a

< br>2

+ab+

b

2

)

；

完全立方公式：

a

< br>3

±

3

a

2

b

＋

3a

b

2

±

b

3< /p>

=(a

±

b)

2

．

< /p>

公式：

a

3

+< /p>

b

3

+

c

3

-3abc=(a+b+c)(

a

2

+

b

2

< p>
+

c

2

-ab-bc- ca)

例如：

< br>a

2

+4ab+4

b

< p>
2

=(a+2b)

2

。

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四 项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)

我们把

ax

和

ay< /p>

分一组，

bx

和

by

分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1.

5ax+5bx+3ay+3by

解法：

=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把

5ax

和

5bx

看 成整体，把

3ay

和

3by

< p>
看

成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x

3

-

x

2

+x -1

解法：

=( x

3

-

x

2

)+(x-1)

< p>

=

x

2

(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(

x

2

+1)

利用二二分法，提公因式法提出

x2

，然后相合轻松解决。

3.

x

2

-x-y

2

-y

解法：

= (

x

2

-y

2

)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用 二二分法，再利用公式法

a

2

-b

2

=(a+b)(a-b)

，然后相合解决 。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①

x

2

+(p+q)x+pq

型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项 的系数是

1

；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两< /p>

个

因

数

的

和

。

因

此

< p>
，

可

以

直

接

将

某

些

二

次

项

的

系

数

是

1

的< /p>

二

次

三

项

式

因

式

分

< p>
解

：

x

2

+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

．

②

k

x

2

+mx+n

型 的式子的因式分解

< p>
如果有

k=ac

，

n=b d

，且有

ad+bc=m

时，那么

kx

2

+mx+n=(ax+b)(cx+ d)

．

图示如下：

a d

例如：因为

1 -3

×

×

c d 7 2 -3

×

7=-21

，

1

×

2=2

，且< /p>

2-21=-19

，

所以

7< /p>

x

2

-19x-6=(7x+2)(x- 3)

．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸裂项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）

，使原式适合于提公因

式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实 质是分组分解法。要注意，必须在与原多

项式相等的原则下进行变形。

< br>

例如：

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公 式，

就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注 意必须在与原

多项式相等的原则下进行变形。

例如：

x

2

+3x-40

=

x

2

+3x+2.25-42. 25

=



x



1

.

5



2





6

.

5



2

=(x+8)(x-5)

．

⑺应用因式定理

对于多项式

f(x)=0

< p>
，如果

f(a)=0

，那么

f(x)

必含有因式

x-a

．

例

< p>
如

：

f(x)=

x

2

+5x+6

，

f (-2)=0

，

则

可

< br>确

定

x+2

是

< br>x

2

+5x+6

的

一

个

因

式

< br>。

(

事

实

上

，

x

2

+ 5x+6=(x+2)(x+3)

．

)

注意：

1

、对于系数全部是整数的多项式，若

X=q/p

（

p,q

为互质整数时）该多项式值为零，则

q

为常数项约数，

p

最 高次项系数约数；

2

、对于多项式

f(a)=0,b

< br>为最高次项系数，

c

为常数项，则有

a

为

c/b

约数

< br>

⑻换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一 个未知数，然后进行因式分解，

最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意

:

换元后勿忘还元

.

例如在分解

(

x

2

+x+1)(

x

2

+x+2)-12

时，可以令

y=

x

2

+x

,

则

原式

=(y+1)(y+2)-12

=y

2

+3y+2-12=y

2

+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(

x

2

+x+5)(

x

2

+x-2)

=(

x

< br>2

+x+5)(x+2)(x-1)

．

< br>

⑼求根法

令多项式

f(x)=0,

求出其根为

< br>x1

，

x

，

x3

，„„

xn

，

则该多项式可分解为

f(x)=(x-x1)(x- x2)(x-x3)

„„

(x-xn)

．

例如在分解

2x^4+7x^3-2x^2-13x+6

< p>
时，令

2x^4 +7x^3-2x

2

< p>
-13x+6=0

，

则通过综合除法可知，该方程的根为

0.5

< br>，

-3

，

-2

< br>，

1

．

所以

2x ^4+7x^3-2

x

2

-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

．

⑽图象法

令

y=f(x)

，做出函数

< p>
y=f(x)

的图象，找到函数图像与

X

轴的交点

x1 ,x2 ,x3 ,

„„

xn

，则多项式可

因式分解为

f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)

„„

(x- xn)

．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解

x^3 +2

x

< p>
2

-5x-6

时，可以令

y=x^3; +2

x

2

-5x-6.

作出其图像，与

x< /p>

轴交点为

-3

，

-1

，

2

则

x^3+2

x

2

-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

．

⑾主元法

先选定一个字母为主元，然后把各 项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

将

2

或

10

代入

x

，求出 数

p

，将数

p

分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因

数写成

2

或

10

的和与差的形式，将

2

或

10

还原成

x

，即得因式分解式。

例如在分解

x^3+9

x

2

+23x+15

时，令

x=2

，则

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