培优专题1用提公因式法把多项式进行因式分解(附附答案解析)
-
1
、用提公因式法把多项式进行因式分解
【
知识精读
】
如果多项式的各项有公因式，
根据乘法分配律的逆运算，
可以把这个公因式提到括号外
面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多
项式的公因式
的确定方法是：
（
1
）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（
2
）系数和各项系数的最大公约数，公因
式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【
分类解析
】
1.
把下列各式因式分解
（
1
）
a
2
x
m
2
abx
m
1
acx
m
ax
m
3
（
2
）
a
(
a
b
)
2
a
(
< br>b
a
)
2
ab
(
b
a
)
3
2
2
分析：
（
1
）若多项式的第一项系数是负数，
一般要提出“－”号，使括号内的第一项
系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项
都要变号。
解：
<
/p>
a
x
2
m
2
abx
m
1
acx
m
ax
m
3
ax
m
(
ax
2
bx
c
x
3
)
（
2
）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当
n
为自然数
时，
(
< br>a
b
)
变换。
解：
a<
/p>
(
a
b
)
2
a
(
b
a
)
2
ab
< br>(
b
a
)
3
2
2
2
n
(
b
a
)
2
n
；
(
a
b
)
< br>2
n
1
(
b
a
)
2
n
1
，是在因式分解过程中常用的因式
a
(
a
b
)
3
2
a
2
< br>(
a
b
)
2
2
a
b
(
a
b<
/p>
)
a
(
a
b
)[(
a
b
)
2
a
(
a
< br>b
)
2
b
]
2
a
(
a
b
)(
3
a
2
4
ab
b
2
2
b
)
2.
利用提公因式法简化计算过程
例：计
算
123
987
987
987
987
268
456
521
1368
1368
1368
1368
分析：
算式中每一项都含有
解：<
/p>
原式
987
，
可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
1368
987
(
123<
/p>
268
45
6
521
)
1368
987
1368
98
7
1368
3.
在多项式恒等变形中的应用
例：不
解方程组
2
x
y
3
，求代数式
(
2
x
y
)(
2
x
3
y<
/p>
)
3
x
(
2
x
y
)
的值。
5
x
3
y
2
分析：
不要求解方程组，我们可以把
2
x
y
和
5
x
3
y
看成整体，它们的值分别是
3
和
2
，观察代数式，发现每
一项都含有
2
x
y
，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为
含有
2
x
y
和
5
x
< br>3
y
的式子，即可求出结果。
解：
(
2
x
y
)(
2
x
3
y
)
3
x
< br>(
2
x
y
)
(
2
x
y
)(<
/p>
2
x
3
y
3
x
)
(
2
x
y
)(
< br>5
x
3
y
)
把
2
x
y
和
5
x
3
y
分别为
3
和
2
带入上式，求得代数式的值是
< br>
6
。
4.
在代数证明题中的应用
例：证
明：对于任意自然数
n
，
3
n
2
2
n
2
3
n
2
n
一定是
10
的倍数。
分析：
首
先利用因式分解把代数式恒等变形，
接着只需证明每一项都是
1
0
的倍数即可。
3
n
2
2
n
2
3
n
< br>2
n
3
n
2
3
n
2
n
2
2
n
3
n
(
3
2
1
)
2
n
(
2
2
< br>
1
)
10
3
5
2
n
n<
/p>
对任意自然数
n
，
10
3
n
和
5
2
n
都是
10
的倍数。
3
5
、中考点拨：
例
1
。因式分解
3
x
(
x
2
)
(
2
x
)
解：<
/p>
3
x
(
x
2
)
(
2
x
)
n
2
2
n
2
3
n<
/p>
2
n
一定是<
/p>
10
的倍数
3
x
(
x
2
)
(
x
2
)
(
x
2
)(
3
x
1
)
说明：
因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例
2
．分解因式：
4
q
(
1
p
)<
/p>
2
(
p
1
)
3
2
解：
4<
/p>
q
(
1
p
)
2
(
p
1
)
3
2
4
q
(
1
p
)
3<
/p>
2
(
1
p
)
2
2
(
1
p
)
[
2
q
(
1
< br>p
)
1
]
2
2
(
1
p
)
2
(
2
q
2
pq
1
)
说明：
在用提公因式法分解因式前，
必须对原式进行变形得到公因式，
同时一定要注意
符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例
1.
计
算：
2000
20012001
2001
20
002000
精析与解答：
设
2000
a
，则
2001
a
1
200
0
20012001
2001
20002000
a
[
1
0000
(
a
1
)
(
a
1
)]
<
/p>
(
a
1
)(
10000
a
a
)
a
(
a
1
)
10001
a
(
a
1
)
10001
a
(
a
1
)
(
10001
10001
)
0
说明：
此题是一个有规律的大数字的运算，
若直接计算，
运算量必然很大。
其中
2
000
、
2001
重复出现，又有
2001
2000
1
的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转
化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例
2.
已知：
x
bx
c
（
b
、
c<
/p>
为整数）是
x
6
x
25
及
3
x
4
x
28
x
5
的公
2
4
2
4
2
因式，求
b
、
c
的值。
分析：
常
规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求
b
、<
/p>
c
，但比较麻烦。
2
4
2
注
意
到
x
bx
c
是
3
(
x
6
x
25
)
及
3
x
4
x
28
x
< br>
5
的
因
式
。
因
而
也
是
4
2
(
3
x
4
4
x
2
28
x
5
)
的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次
因式。