因式分解专项训练.docx
-
因式分解方法技巧
专题一
分解因式的常用方法：一提二用三查
，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公
式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
< br>
常见错误：
1
、
漏项，特别是漏掉
2
、
变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化
3
、
分解不彻底
首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏
<
/p>
1
,
括号里面分到“底”
［例题］把下列各式因式分解：
1.
x(y-x)+y(y-x)-(x-y)
2
2.a
5
-a
3. 3(x
-4x)
-48
2 2
1
、
3x
-12x
3
2 2 2 2
2
、
2a(x 1) -2ax
3
、
3a -6a
3
JlJi
2 2
2 2
3 2
2
4
、
56xyz+14xyz
—
21xy Z 5
、—
4a
+
16a b
—
26ab
6
、
m
4
-
16n
4
专题二
二项式的因式分解
：
二项式若能分解，就一定要用到两种方法：
<
/p>
1
提公因式法
2
平方差公式
法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构
造平方差公式，运用平方差公式
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
时，关键是正确确定公式中
a,b
所代表的整式，将一个数或者一个整式化
成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记
住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：
根据平方
差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：
A
、
多项式为二项式或可以转化成二项式；
B
、
两项的符号相反；
C
、
每
一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；
D
、
首
项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；
< br>
E
、
对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式
._ 2
1
［
例题
］
分解因式：
3(x+y) -27
2
1)x
5
-
X
3
2
)
m
4
-16n
4
3)25
2
—
16
X
2
4)9
a
2
-
1<
/p>
b
2
.
5
)
25
-
16
x
;
6
2
)<
/p>
9
a
—
1
b
1
2
4
4
专题三
三项式的分解因式
：
如果一个能分解因
式，一般用到下面
2
种方法：
1
提公因式法
2
完全
平
方公式
法。先观察三项式中是否含
有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，
即
a
2
+2ab+b
2 <
/p>
或者
a
2
-
2ab+b
2
的形式
完全平方公式运用时注意点：
A.
多项式为三项多项式式；
B.
其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两
数（或代数式）的平方；
C.
第三
项为
B
中这两个数（或代数式）的积的
2
倍，或积的
2
倍的相反数。
【例题】
将下列各式因式分解：
1
）
ax
-2axy+ay
2
2
2
）
x
4
-6x +9
2
1)25x
2
+
20xy
+
4y
2
3
2
2
)
X
+
4x
+
4x 3)
8a
3
< br>b
2
-12ab
4
4ab
4)
-
3χ
3
*12χ
2
-
∙
9x
5)
C 2n⅛
2x y
X y
n 1
3n
-
1
3
专题四
多项式因式分解的一般步骤：
①
如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②
如果各项没有公因式，那么可尝试
运用公式、十字相乘法来分解；
③
如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
分组分解法
要把多项式
am+an+bm+bn
分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因
式
a
,
把它后
两项分成一组，并提出公因式
b
,
从而得到
a(m+n)+b(m+n),
又可以提出公因式
m+n
从而得
至
U
(a+b)(m+n)
［
例题
］
分解因式
1. m
2
+5n-mn-5m
2.
χ
3n
I
y
nJL
■ 2χ
2n
1
y
2nj
X
nI
y
3n
」
1
、
a
2
-b
2
-4a 4b
2
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
(1)
(a
2)
2
-(3a
-L)
2
5
2
(2)
x (χ
- 2y) x (2y
-
χ)
(3)
a (x _ y) -
2a(x _ y) (x _ y)
2
2
3
4
L
L
2.
已知：
X
+
= -3
,
求
X
4
+
4
的值。
X
X
4
3.
若
a
,
b
,
C
是三角形的三条边，求证：
a
2
_b
2
_c
2
_2
bc
：：：
0
专题五
完全平方公式
(
a
b)^a
2
2ab
b
2
,(a
-b)
2
=
a
2
-2ab
b
2
在使用时常作如下变形：
(1)
a
2 2 2 2 2 2
b
= (a b) -2ab,a
b
=
(a-b)
2ab
(2)
(a
+b)
2
=
(a
-b)
2
+4ab,( a
-b)
2
=(a
+b)
2
-4ab
(3)
(a
b)
2
(a
—
b)
2
=
2(a
2
b
2
)
a
2
2
b
2
2
1
[(a b)
2
2
(a
—
b)
2
2
(4)
2
]
(5)
ab [(a b)
1
2
-(a-b)
2
2
2
2
]
(6)
a b C -ab-bc-ca
2 2 2
1
2 2 2
2
[(a-b) (b-c) (c-a)]
例
1
已知长方形的周长为
40
,
面积为
75
,
求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积
之和是多少？
例
2
已知长方形两边之差
为
4
，面积为
12
,
求以长方形的
长与宽之和为边长的正方形面
积
•
例
3
若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的
整数的平
2
倍也
可以表示为两个
方和
例
5
已知两数的和为
10
,
平方和为
52
,
求这两数的积
5