完全平方公式(提高)知识讲解
-
完全平方公式（提高）
【学习目标】
1.
能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解
.
2.
会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3
．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯
.
【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两
个数的平方和加上（减去）这两个数的积的
2
倍，等于这两个数
的和（差）的平方．
即
a
2
ab
b
a
< br>
b
，
a
2
ab
b
a<
/p>
b
.
2
2
2
2
2
2
形如
a
2
ab
b
，
a
< br>2
ab
b
的式子叫做完全平方式
.
要点诠释：
（
1
）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（
2
）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或
减）这两数之积的
2
倍
.
右边是两数的和（或差）的平方
.
（
3
）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用
条件
.
（
4
）套用公式时要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a
、
b
可以是字母，也可以
是单项式或多项式
.
要点二、因式分解步骤
（
1
）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（
2
）如果各项没有公因式那就尝试用
公式法；
（
3
）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）
．<
/p>
要点三、因式分解注意事项
（
1
）因式分解的对象是多项式；
（
2
）最终把多项式化成
乘积形式；
（
3
）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——完全平方公式
1
、分解因式：
4
2
2
4
（
1
）
3<
/p>
ax
6
axy
3
ay
；<
/p>
（
2
）<
/p>
a
2
a
b
b
；
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
（
3
）
16
x
y
(
x
4
y
)
；
（
4
）
a
8
a
b
16
b
．
2
2
2
2
2
【答案与解析】
解：
（
1
）
3
ax
6
axy
3
ay
< br>3
a
(
x
2
xy
y
)
3<
/p>
a
(
x
y
)
．
（
2
）
a
2
a
b
b
(
a
b
)
<
/p>
[(
a
b
)(
a
b
)]
(
a
b
)
(
a
b
)
< br>．
（
3
）
16
x
y
(
x
4<
/p>
y
)
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
<
/p>
(4
xy
)
2<
/p>
(
x
2
4
y
2
)
2
(4
xy
x
2
4
y
2
)(4
xy
x
< br>2
4
y
2
)
(
x
2
y
)
2
[
(
x
2
4
xy
4
y
2
)]
< br>
(
x
2
y
)
2
(
x
2
y
)
2
．
（
4
）
a
8
a
b
< br>
16
b
(
a
4
b
)
[(
a
2
b
)(<
/p>
a
2
b
)]
(
a
2
b
)
(
a
2
< br>b
)
．
【总结升华】
（
1
）提公因式法是因
式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，
一定要先提
公因式
，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．
（
2
）因式分解要分解到每一个因式不
能再分解为止．
举一反三：
【变式】分解因式：
（
1
）
4(
x
a
)
12(
x
a
)(
x
b
)
9(
x
b
)
．
<
/p>
（
2
）
4(
x
y
)
4(
x
y
)
(
x
y
)
．
【答案】
< br>解：
（
1
）原式
[2(
x
a
)]
2
< br>
2(
x
a
)
3(
x
b
)
[3(
x
b
)]
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
[2(
x
a
)
3(
x
b
)]
2
(5
x
2
a
3
b
)
2
．
（
2
）原式
[2(
x
y
)]
2
2(
x
y
)
(
< br>x
y
)
(
x
y
)
2
2
[2(
x
y
)
(
x
y
)]
2
(
x
3
y
)
2
．
2
、
（
2016
•大庆）已知
a+b=3
，
ab=2
，
求代数式
a
3
b+2a
2
b
2
+ab
3
．
【思路点拨】
先提公因式
ab
，再根据完全平方公式进行二次
分解，然后带入数据进行计算
即可得解．
【答案与解析】
解：
a
3
b+2a
2
b
2
+ab
3
= ab
（
a
2
+2ab+b
2
）
=
ab
（
a+b
）
2
将
a+b=3
，
ab=2
代入得，
ab
（
a+b
）
2
=2
×
3
2
< br>=18
．
故代数式
a
3
b+2a
2
b
2
+ab
3
的值是
18
．
【总结升华】
在因式分解中要注意整体思想的应用，
< br>对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．
举一反三：
【变式】若
x
，
y
是整数，求证：
x
y
x
2
y
x
3
y
x
4
y
y
是一个完全平方
4
数
.
【答案】
解：
x
y
x
2
y
x
3
y
x
4
y
y
4
4
x
y
x
4
y
x
2
y
< br>x
3
y
y
<
/p>
(
x
2
5
xy
4
y
2
)(
x
2
< br>
5
xy
6
y
2
)
y
4