为正数。

提出“

-< /p>

”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：

（

）找出公因式；

（< /p>

2

）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，

注意要确定另一个因式，

可用原多项式除

以公

因式，所得的商即是提公因式后剩下的

一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留

1

把家守；提负要变号，变

形看奇

偶。

例如：

-am+bm+cm=-m(a-b-c)

；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

< br>。

1

注意：把

2 2 a +

2

1

变成

2( 2 a +

4

1

)

不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就 可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：

2 a 2 . b =(a+b)(a-b)

；

完全平方公式：

2 a

±

2ab

＋

2 b

＝

. .2 a .

b

2

注意：

能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，

两个

数

(

或式

)

的 平方和的形式，另一项是这两个数

(

或式

)

的积的

2

倍。

立方和公式：

3 3 a . b =(a+b)( 2 a -ab+ 2 b )

；

立方差公式：

3 3 a . b =(a--b)( 2 a +ab+ 2 b )

；

完全立方公式：

3 a

±

3 2 a b

＋

3a 2 b

±

3 b =(a

±

b) 2

．

公式：

3 a + 3 b + 3 c -3abc=(a+b+c)( 2 a + 2 b + 2 c -ab-bc-ca)

例如：

2 a +4ab+4 2 b =(a+2b) 2

。

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，

三一

分法。

比如：

ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)

我们把

ax

和

ay

分一组，

bx

和

by

分一组，利用乘法分配律，两 两相配，立即

解除了

困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)

几道例题：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：

=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把

5ax

和

5bx

看成整体，

把

3ay

和

3by

看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x 3 - 2 x +x-1

解法：

=( x 3 - 2 x )+(x-1) = 2 x (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2 x +1)

利用二二分法，提 公因式法提出

x2

，然后相合轻松解决。

3. 2 x -x-y 2 -y

解法：

=( 2 x -y 2 )-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法

a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)

，然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

2

①

2 x +(p+q)x+pq

型的式子的因式分解

1

；常 数项是两个数的积；一次项系

数是

常 数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是

1

的二次三项

式因式分解：

3

2 x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

．

②

k 2 x +mx+n

型的式子的因式分解

如果有

k=ac

，

n=bd

，且有

ad+bc=m

时，那么

kx 2 +mx+n=(ax+b)(cx+d)

．

图示如下：

a d

例如：因为

1 -3

×

×

c d 7 2 -3

×

7=-21< /p>

，

1

×

2=2< /p>

，且

2-21=-19

，

所以

7 2 x -19x-6=(7x+2)(x-3)

．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸裂项法

这种方法指把多项式的某一 项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）

，使原

式适合

于提公因式法、

运用公式法或分组分解法 进行分解。

这钟方法的实质是分组分解

法。要注

意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)

．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的 多项式，

可以将其配成一个完全平方式，

然后再利用

差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配 方法。属于拆项、补项法的一种特殊

情况。也

要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：

2 x +3x-40 = 2 x +3x+2.25-42.25 =. .2 . .2 x .1.5 . 6.5 =(x+8)(x-5)

．

⑺应用因式定理

对于多项式

f(x)=0

，如果

f(a)=0

，那么

f(x)

必含有因式

x-a

．

例如：

f(x)= 2 x +5x+6

，

f(-2)=0

，则可确定

x+2

是

2 x +5x+6

的一个因式。

(

事实

上，

2 x +5x+6=(x+2)(x+3)

．

)

注意：

1

、对于系数全部是整数的多项式，若

X=q/p

（

p,q

为互质整数时）该多项

式值

为零，则

q

为常数项约数，

p

最高次项系数约数；

2

、对于多项式

f(a)=0,b

为最高次项系数，

c

为常数项，则有

a

为

c/b

约数

⑻换元法

有时在分解因式时，

可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，

然后进