八年级数学因式分解知识点
-
第四章
因式分解
<
/p>
把一个多项式化成几个整式的
积的形式
，
这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的
方法多种多样，现将初中阶段因式分解
的常用方法总结如下：
一、提公因式法
.
如多项式
am
bm<
/p>
cm
m
(
a
b
c
),
其中
m
叫做这个多项式各项的公因式，
m
既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法
.
运用公式法，即用
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
),
a
2
2
a
b
b
2
<
/p>
(
a
b
)
2
,
a
3
b
3
(
a
< br>
b
)(
a
2
ab
b
2
)
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
分析：从“
整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局
部”看
，这个多项式前两项都含有
a
，后两项都含有
< br>b
，因此可以考虑将前两项分为一组，后
两项分为一组先
分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式
=
(
am
< br>an
)
(
bm
bn
)
=
a
(
m
n
)
b
(
m
< br>n
)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n
)(
a
b
)
思考：此题还可以怎样分组？
此类型
分组的关键：
分组后，
每组内可以提公因式，
< br>且各组分解后，
组与组之间又有公因式可
以提。
例
2
、分解因式：<
/p>
2
ax
10<
/p>
ay
5
by<
/p>
bx
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式
=
(
2
ax
10
ay
)
(
5
by
bx
)
原式
=
(<
/p>
2
ax
bx<
/p>
)
(
10
ay
5
by
)
=
2
a
(
x
5
y
)
b
(
x
< br>
5
y
)
=
x
(
2
a
b
)
5
y
(
2
< br>a
b
)
=
(
x
5
y
)(
2
a
b
)
=
(
2
a
b
)(
x
5
y
)
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解
因式：
x
2
y
2
ax
ay
分析：若将第一、三项分为一组
，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继
续分解，所以只能另外分组
。
解：原
式
=
(
x
<
/p>
y
)
(
ax
ay
)
=
(
x
y
)(
x
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y
)(
x
y
a
)
例
4
、分解因式：
a
2
ab
b
c
解：原式
=
(
a<
/p>
2
ab
b
)
c
=
(
a
b
)
c
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
练习：分解因式
3
、
x
x
9
y
3
y
4
、
x
y
z
2
yz
2
2
3
2
2
3
练习：
（
1
）
x
x
y
xy
y
（
2
）
ax
bx
bx
ax
a
b
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
1
（
3
）
x
2
6
xy
9
y
2
16
a
2
8
a
< br>1
（
4
）
a
6
ab
12
b
9
b
4
a
4
3
2
（
5
）
a
2
a
a
9
（
6
）
4
a
2
x
4
a
2
y
b
2
< br>x
b
2
y
2
2
（
7
）
x
2
2
xy
xz
yz
y
2
（
8
）
a
2
a
b
2
b
< br>
2
ab
1
（
9
）
y
(
y<
/p>
2
)
(
m
1
)(
m
1
)
（
10
）
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
b
< br>
2
a
)
3
3
3
（
11
）
a<
/p>
2
(
b
c
)
b
2
(
a
c
)
c
2
(
a
b
)
2
ab
c
（
12
）
a
b
c
3
abc
四、十字相乘法
.
（一）二次项系数为
1
的二次三项式
< br>
直接利用公式——
x
2
(
p
q
)
x
pq
(
x
< br>
p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：
（
1
）二次项系数是
1
；
（
2
）常数
项是两个数的乘积；
（
3
）一次项系数是常数项的两因数的和。
2
2
2
例
5
、分解
因式：
x
5
x
6
分析
：将
6
分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5
。
由于
6=2
×
3=(-2)
×
(-3)=1
×
6=(-1)
×
(
-6)
，
从中可以发现只有
2
×
3
的分解适合，
即<
/p>
2+3=5
。
1
2
2<
/p>
解：
x
5
x
6
=
x
2
(
2
3
)
< br>x
2
3
1
3
=
(
x
2
)(
x
3
)
1
×
2+1
×
3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，
且这
两个因数的代数和要等于一次
项的系数。
例
6
、分解因式：
x
7
x
< br>6
解：原式
=
x
2
[(
< br>
1
)
(
6
)]
x
(
1<
/p>
)(
6
)
1
-1
=
(
x
1
)(
x
6
)
1
-6
（
-1
）<
/p>
+
（
-6
）
= -7
练习
5
、分解因式
(1)
x
14
x
24
(2)
a
15
a
< br>36
(3)
x
4
x
5
2
2
2
练习
6
、分解因式
(1)
x
< br>
x
2
(2)
y
2
y
15
<
/p>
(3)
x
10
x
24
2
（二）二次项系数不为
1
的二次三项式——
ax
bx
c
条件：
（
1
）
a
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
a
1
c
2
a
2
c
1
< br>分解结果：
ax
bx
c
=
(
a
1
x
< br>c
1
)(
a
2
x
c
2
)
例
7<
/p>
、分解因式：
3
x
11
x
10
分析：
1
-2
3
-5
（
-6
）
+
（
-5
）
= -11
解：
3
x
<
/p>
11
x
10<
/p>
=
(
x
2
)(
3
x
5
)
练习
7
、分解因式：
（
1
）
5
x
7
x
6
（
2
）
3
x
7
x
2
2
（
3
）
10
x
17
x
3
（
4
）
6
y
11
y
10
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
（三）二次项系数为
1
的齐次多项式
例
8
、分解因式：
a
2
8
ab
1
28
b
2
分
析：将
b
看成常数，把原多项式看成关于
a
的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)= -8b
解：
a
2<
/p>
8
ab
128
b
2
=
a
2
[
8
b
(
16
b
)]
a
8
b
< br>
(
16
b
)
=
(
a
8
b
)(
a
16
b
)
练习
8
、分解因式
(1)<
/p>
x
2
3
xy
2
y
2
(2)
m
2
6
mn
8
n
2
(3)
a
2
ab
6
b
2
< br>
（四）二次项系数不为
1
的齐
次多项式
例
9
、
2
x
2
7
xy
6<
/p>
y
2
例
10
、<
/p>
x
2
y
2
3
xy
2
1
-2y
把
xy
看作一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)= -7y
(-1)+(-2)= -3
解：原式
=
(
x
2
y<
/p>
)(
2
x
3
y
)
解：原
式
=
(
xy
1
)(
xy
2
)
练习<
/p>
9
、分解因式：
（
1
）
15
x
2
7
xy
4
y
2
（
2
）
a
2
x
2
6
ax
8
综合练习
10
、
（
1
）
8
x
6
7
x
3
1
（
2
）
12
x
2
11
xy
15
y
2
（
3
）
(
x
< br>y
)
2
3
(
x
y
)
10
（
4
）
(
a
b
)
2
4
a
< br>4
b
3
（
5
）
x
2
y
2
5
x
2
y
6
x
2
（
6
）
m
2
4
mn
4
n
2
3
m
6
n
2
（
7
）
x
2
4
xy
4
y
2
2
x
4
y
3
（
8
）
5
(
a
b<
/p>
)
2
23
(
a
2
b
2
)
10
(
a
b
)
2
（
9
）
4
x
2
4
xy
6
x
3
y
y
2
10
（
10
）
12
(
x
y
)
2
1
1
(
x
2
<
/p>
y
2
)
2
(
x
y
)
2
思考：分解因式：
abcx
2
(
a
2
b
2
< br>c
2
)
x
abc
五、主元法
.
例
11
、分解因式：
x
2
3
xy
10
y
2
x
9
y
2
5
-2
解法一：以
x
为主元
< br>
2
-1
解：原式
=
x
2
x
(<
/p>
3
y
1
)
(
10
y
2
9
y
2
)
< br>
(-5)+(-4)= -9
=
x
2
x
(
3
y
1
)
< br>(
5
y
2
)(
2
y
1
)
1
-(5y-2)
=
[
x
(
5
y
2
)][
x
(
2
y
1
< br>)]
1
(2y-1)
=
(
x
5
y
2
)(
x
2
y
1
)
-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)
解法二：
以
y
为主元
1
-1
解：原式
=
10
y
2
y
(
3
x
9
)
(
x
2
x
< br>
2
)
1
2
=
[
10
y
2
(
3
x
9
)
y
(
x
2
x
2
)]
-1+2=1
=
< br>[
10
y
2
(
3
x
9
)
y
<
/p>
(
x
1
)(
x
2
)]
2
(
x
-1)
=
[
2
y<
/p>
(
x
1
)][
5
y
(
x
2
)]
5
-(
x
+2)
=
(
2
y
x
1
)(
5
y
x
2
)
5(
x
-1)-2(
x
+2)=(3
x
-9)
3