因式分解技巧(单墫著)
-
目
录
0
什么是因式分解
001
1
提公因式
002
1
．
1
一次提净
002
1
．
2
视“多”为一
003
1
．
3
切勿漏
1
003
1
．
4
注意符号
004
1
．
5
仔
细
观
察
0
0
4
1
．
6
化
“
分
”
为
整
0
0
5
习
题
1
0
0
6
2
应
用
公
式
0
0
7
2
．
1
2
．
2
2
．
3
2
．
4
2
．
5
2
．
6
平
方
差
立
方
和
与
立
方
差
完
全
平
方
完
全
立
方
问
一
知
三
2
198
4
1
不
是<
/p>
质
数
0
0
7
0
0
8
0
0
8
0
0
9
0
1
0
0
1
1
习
题
2
0
12
3
分
组
分
解
0
1
3
3
．
1
三
步
曲
3
．
2
殊
途
同
归
3
．
3
平
均
分
配
3
．
4
瞄
准
公
式
3
．
5
从
零
开
始
习
题
3
0
1
3
0
1
3
0
1
4
0
1
5
0
1
5
0
1
7
4
拆
项
与
添
项
0
1
8
4
．
1
拆
开
中
项
4
．
2
皆
大
欢
喜
4
．
3
旧
事
重
提
4
．
4
无
中
生
有
4
．
5
配
成
平
方
习
题
4
0
1
8
0
1
8
0
1
9
0
1
9
0
2
0
0
21
5
十
字
相
乘
0
2
2
5
．
1
知
己
知
彼
0
2
2
5
．
2
孰
能
生
巧
0
2
4
5
．
3
再
进
一
步
0
2
5
第
1
页
共
1
页
5
．
4
二
次
齐
次
式
0
2
6
5
．
5
系
数
和
为
零
0
2
7
习
题
5
0
28
6
二
次
二
次
式
的
分
解
0
2
9
6
．
1
6
．
2
6
．
3
6
．
4
习
题
欲
擒
故
纵
三
元
齐
次
项
数
不
全
能
否
分
解
6
0
2
9
0
3
1
0
3
2
0
3
2
0
3
4
7
综
合
运
用
0
3
5
7
．
1
善
于
换
元
7
．
2
主
次
分
清
7
．
3
一
题
两
解
7
．
4
展
开
处
理
7
．
5
巧
运
匠
心
习题
7
0
3
5
0
3
7
0
3
8
0
3
9
0
4
0
042
8
多
项
式
的
一
次
因
式
0
4
4
8
．
1
余
数
定
理
8
．
2
有
理
根
的
求
法
8
．
3
首
1
多
项式
8
．
4
字
母
系
数
习题
8
0
4
4
0
4
5
0
47
0
4
9
050
9
待
定
系
数
法
0
5
1
9
．
1
二次因式
051
9
．
2
既约的情况
0
54
习题
9
055
1
0
轮
换
式
与
对
称
式
0
5
6
10
．
1
典型方法
056
1
0
．
2
齐次与
非齐次
0
59
10
．
3
a
b
c
3
ab
061
10
．
4
焉用牛刀
10
．
5
整除问题
10
．
6
原来是零
1
0
．
7
四元
多项式
习题
10
062
063
065
0
67
068
2
2
3
11
实
数
集
与
复
数
集
内
的
分
解
0
7
1
11
．
1
11
．
2
11
．
3
11
．
4
求根公式
代数
基本定
理
单位根
攻玉之石
第
2
页
共
2
页
0
7
1
0
7
3
074
0
7
6
习题
11
079
1
2
既
约
多
项
式
0
8
0
1<
/p>
2
．
1
艾氏
判别法
12
．
2
奇与偶
1
2
．
3
分圆
多项式
1
2
．
4
绝对
不可约
习题
12
习题答案
第
3
页
共
3
页
0
80
081
0
83
0
85
085
087
0
什么是因式分解
在小学里，我们学过整数的因数分解．由乘法，得
3
×
4=12
反过来，
12
可以分解：
12=3
×
4
．
当然，
4
还可以继续分解为
2
×
2
．于是得
12=3
×
2
×
2
．
这
时
12
已经分解成质因数的乘积了．
同样地，由整式乘法，得
(1
＋
2
x
)(1
－
x
2
)
＝＋
1
2
x
－
x
2
－
2
x
3
．
＋
2
x
－
x
－
2
x
< br>可以分解为两个因式
1+2
x
与
1
－
x
的乘积
，即
反过来，
1
2
3
2
1
＋
2
x
－
x
－
2
x
＝
1
＋
2
x
< br>1
x
．
2
3
2
1
x
2
还可以继续分解为
1
x
1
x
．
于是
1
＋
2
x
－
x
－
2
x
＝
(1
＋
2
x
)(1
＋
x
)(1
－
x
)
，
这里
x
的一次多项式
1+2<
/p>
x
、
1+
x
、
1-
x
都不能继
续分解，它们是不可约多项式，也就是既约
2
3
＋
2
x
－
x
－
2
x
已经分解成质因式的乘积了．
多项式，所以，
1
< br>把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．每一个乘式称为积的因式．
在因式分解中，通常要求各个乘式（因式）都是既约多项式，
这样的因式成为质因式．
因式分解的方法，我们将逐一介绍．
2
3
第
4
页
共
4
页
1
提公因式
学过因式分解的人爱说：
“一提、二代、三分组．
”
“提”是指“提取公因式”
．在因式分解时，首
先应当想到的是有没有公因式可提．
几个整式都含有的因式称为它们的公因式．
< br>
mc
都含有因式
m
，
m
就是它们的公因式．
例如
ma
、
m
b
、
由乘法分配律，我们知道
m
a
b
c
ma<
/p>
mb
mc<
/p>
，
因此
ma
mb
mc
m
<
/p>
a
b
c
（
1
）
这表明
(1)
式左边三项的公因式
m
可以
提取出来，
作为整式
ma
mb
mc
的因式．
ma
mb
mc
的另一个
因式
a
b
c
仍由三项组成，
每一项等于
ma
mb
mc
中对
应的项除以公因式
m
：
a
ma
<
/p>
m
，
b
mb
m
，
c
mc
m
．
1
．
1
一次提净
例
1
分解因式：
12
a
x
＋
6
abx
y
－
15
acx
．
2
3
2
解
12
a
x
＋
6
abx
y
－
15
acx
2<
/p>
由
12
a
2
x
3
、
6
abx
2
y
、
－
15
acx
2
这三项组成，
它们的
2
3
2
2
数系数
12
、
6
、－
15
的最大公约数是
3
，各项都含有
因式
a
和
x
，
所以
3
ax
是上述三项的
公因式，可以提取出来作为
12
a
< br>x
＋
6
abx
< br>y
－
15
acx
的因式，即有
2
3
2
2
2
2
12
a
2
x
3
＋
6
abx
2
y
－
15
< br>acx
2
=
3
< br>ax
2
(4
ax
＋
2
by
－
< br>5
cx
)
在例
1
中，如果只将因式
3
a
或
3
ax
提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增
添了麻烦，不如一次提
净为好．因此，应当先检查数系数，然后再一个个字母逐一检查，将
各项的公因式提出来
，使留下的式子没有公因式可以直接提取．
还需注意原式如果
由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成．在例
1
2
3
2
15
acx
2
除以公因式
3
ax
所得的商．初学的同学为
中，这三项分别为
12
a
x
、
6
abx
y
、
－
2
了防止产生错误，可以采取两点措施：
1
．
在提公因式
前，
先将原式的三项都写成公因式
3
a
x
与另一个式子的积，
然后再提取
公因
式，即
2
12
a
2
x
3
＋
6
abx
2
y
－
15
acx
2
=
3
ax
2
4
ax
＋<
/p>
3
ax
2
2
by
＋
3
ax
2
(
－
5
c
)
第
5
页
共
5
页
=<
/p>
3
ax
2
(4<
/p>
ax
＋
2
by<
/p>
－
5
c
)
在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果．
2
．用乘法分配律进行验算．由乘法得出
3
ax
2
(4
ax
＋
2
by
－
5
c
)
=
12
a
2
x
3
＋
6
abx
2
y
－
15
acx
2
．
< br>
1.2
视“多”为一
例
2
分解因式：
2
a
2
b
(
x
＋
y
)<
/p>
2
(
b
＋
c
)
－
6
a
3
b
3
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
2
．
解
原式由
2
a
b
(
x<
/p>
＋
y
)
(
b
＋
c
)
、
－
6
a
b
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
这两项组成，
它们的数系数的<
/p>
最大公约数是
2
，两项都含有因式
a
和
b
，而且都含有
因式
x
＋
y
与
b
＋
c
，因此
2
2
2
3
3
2
2
a
2
b
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
是它们的公因式．于是
有
2
a
2<
/p>
b
(
x
＋
y
)
2
(
b
＋
c
)
－
6
a
3
b
3
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
2
=
2
a
2
b
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
(
x
＋
y
)
－
2
a
2
b<
/p>
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
3
ab
2
(
b
＋
c
)
=
2
a
2
b
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)[(
x
＋
y
)
－
3
ab
2
(
b
＋
c
)]
=
2
a
b
(
x
< br>＋
y
)(
b
＋
c
)(
x
＋
y
－
3
a
b
－
3
ab
c
)
．
在本例
中，我们把多项式
x
＋
y
、
b
＋
c
< br>分别整个看成是一个字母，这种观点在因式分解
时是很有用的．
< br>
2
3
2
1.3
切勿漏
1
例
3
分解因式：
(2
x
＋
y
)
－
(2
x
＋
y
)
＋
(2
x
＋
y
)
解
我们把多
项式
2
x
＋
y
看成是一个字母，
因此原式由
(2
x
＋
y
)
、
－
(2
x
＋
y
)
、
2
x
＋
y
这三项组成，
2
x
＋
y
是这三项的公因式，于是
3
2
3
2
(
2
x
＋
y
)<
/p>
3
－
(2
x
＋
y
)
2
＋
(2
x
＋
y
)
=
(2
x
＋
y
< br>)
(2
x
＋
y
)
－
(2
x
＋
y
)
(2
x
＋<
/p>
y
)
＋
(2
x
＋
y
)
1
=
(2
x
＋
y
)[(2
x
＋
y
)
－
(2
x
＋
y
)
＋
1]
请注意，
中括号内的式子仍
由三项组成，
千万不要忽略最后一项
1
．
在省去中间过程时，
尤需加倍留心．
2
2
第
6
页
共
6
页
1.4
注意负号
例
4
分解因式：
－
3
ab
(2
x
＋
3
y
)
4
＋
ac
(
2
x
＋
3
y<
/p>
)
3
－
a
(2
x
＋
3
y
)
解
－
3<
/p>
ab
(2
x
＋<
/p>
3
y
)
4
＋
ac
(2
x
＋
3
y
)
3
－
a
(2
x
＋
3
y
< br>)
=
a
(2
x
＋
3
y
)
(
－<
/p>
3
b
)
(2
x
＋
3
y
)
3
＋
a
(2
x
＋
3
y
)
c
(2
x
＋
3
y
)
2
＋
a
(2
x
＋<
/p>
3
y
)
(
－
1)
=
a
(2
x
＋
3
y
)[(
－
3
b
)(2
x
＋
3
y
)
3
＋
c<
/p>
(2
x
＋
3
y
)
2
－
1]
注意中括号内的最后一项是－
1
，千万别漏掉！
本例
中，原式的第一项有个因数－
1
，它也可以作为因数提取出来，
即
－
3
ab
(2
x
＋
3<
/p>
y
)
4
＋
ac
(2
x
＋
3
y
)
3
－
a
(2
x
＋
3
y
)
< br>
=
－
a
(2
x
＋
3
y
)
3
b<
/p>
(2
x
＋
3
y
)
3
－
a
(2
x
＋
3
y
)
(
－
c
)(2
x
＋
3
y
)
2
－
a
(2
x
＋
3
y
)
1
=
－
a
(2
x
＋
3
y
)[3
b
(2
x
＋
3
y
)
3
－
c
< br>(2
x
＋
3
y
)
2
＋
1]
．
（
2
）
这样做也是正确的．但必须注意各项的符号，提出因数－
1
后各项都应改变符号，所以
(2)
式的中括号内
三项的符号恰与原式中相应的三项相反．
1.5
仔细观察
例
5
分解因式：
(2
x
－
3
y
)(3
x
－
2
y
)
＋
(
2
y
－
3
x<
/p>
)(2
x
＋
3<
/p>
y
)
解
初看起来，
原式所含的第一项
(2
x
－
3
y
)(3
x
－
2
y
)
与第二项
(2
y
－
3
x
)(2
x
＋
3
y
)
没有
公因式，但进一步观察便会发现
2
y
－
3
x
＝－
(3
x
－
2
y
)
因此
< br>3
x
－
2
y
是两项的公因式．于是有
(2
x
－
3<
/p>
y
)(3
x
－<
/p>
2
y
)
＋
(2
y
－
3
x
)(2
x
＋
3
y
)
=
(3
x
－
2
y
)[(2
x
－
3
y
)
－
(2
x
＋
3
y
)]
< br>=
－
6
y
(2
x
－
3
y
)
提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简．
第
7
页
共
7
页
1.6
化“分”为整
3
2
2
3
例
6
分解因式：
3
a
< br>b
－
6
a
b
＋
27
ab
4
解
这里的第三项
这时每项都除以
27
1<
/p>
ab
的系数是分数，为了避免分数运算，我们把
< br>先提取出来，
4
4
1
(
也就是乘以
4)
，即<
/p>
4
27
1
3
a
3
b
2
－
6
a
2
b
3
＋
< br>ab
=
(12
a
3
b
2
－
24
a
2
b
3
＋
27
ab
)
4
4
3
2
2
=
ab<
/p>
(4
a
b
－
8
ab
＋
9)
4
熟练以后可以将以上两步并作一步，<
/p>
“一次提净”
．
在提出一个分数因数
(
它的分母是各项系数的公分母
)
后，
我们总可以使各项系数都化成
整数
(
这个过程实质上就是通分
< br>)
．
并且，
还可以假定第一项系
数是正整数，
否则可用前面说
过的方法，把－
< br>1
作为公因数提出，使第一项系数成为正整数．
小
结
提公因式是因式分解的基本方法之一．在因式分解时，首先应该想到是否有
< br>公因式可提．
在与其他方法配合时，
即使开始已经提出公
因式，
但是经过分组或
应用公式后还有可能再出现公因式．
凡有公因式应立即提净．
提公因式时吗，
应
注意各项的符号，千万不要漏掉一项．
第
8
页
共
8
页
习
题
1
将以下各式分解因式：
1 <
/p>
5
x
y
－
10
xyz
＋
5
xy
2
a<
/p>
(
x
－
a
)
＋
b
(
a
－
x
)
－
(
x
－
a
)
2
1)
＋
a
(
x
＋
1)
＋
(<
/p>
x
＋
1)
3
－
2
x
(
x
＋
4
3
3
n
－
1
1
2
n
－
1
b
＋
b
(
n
是正整数
)
2
6
2
5
2(
p
－
1)
－
4
q
(
p
－
1)
6
mn
(
m
2
＋
n
2<
/p>
)
－
n
2
(
m
2
＋
n
2
)
7
(5
a
－
2
b
)(2
m
＋
3
p
)<
/p>
－
(2
a
－
7
b
)(2
m
＋
3
p
)
8
2(
x
＋
y
)
＋
6(
x
＋
y
)
－
4(
x
＋
y
)
9
(
x
＋
y
)
(
b
＋
c
)
－
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
10
6
p
(
x
－
< br>1)
－
8
p
(
x
－
1)
－
2
p
(1
－
x
)
3
2
2
2
2
2
2
3
第
9
页
共
9
页
2
应用公式
将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见的有七个公式
< br>
(1)
a
－
< br>b
＝
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
；
(2)
a
3
＋
b
3
＝
(<
/p>
a
＋
b
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
)
(3)
a
3
－
b
3
＝
(
a
－
b
< br>)(
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
(4)
a
＋
2
ab
＋
b
＝
(
a
＋
b
)
(5)
a
－
2
ab<
/p>
＋
b
＝
(
a
－
b
)
(6)
a
＋
3
a
b
＋
3
ab
＋
b
＝
(
a
＋
b
)
(7)
< br>a
－
3
a
b
＋
3
ab
－
b
＝
(
a<
/p>
－
b
)
以上公式必须熟记，牢牢找我各自的特点．
3
2
2
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
．
1
平方差
七个公式中，公式
(1)(
即平方差公式
)
应用得最多．
例
1
分解因
式：
9(
m
－
n
)
－
4(
m
＋
n
)
．
解
原式由两项组成，这两项符号相反，并且
2
2
9(
m
－
n
)
2
=
[3(
m
－
n
)]
2
，
<
/p>
4(
m
＋
n
)
2
=
[2(
m
＋
n
)]
2
，
因此可以应用
公式
(1)
，得
9(
m
－
n
)
－
4(
m
＋
n
)
=
[3(
m
－
n
)]
－
[2(
m
＋
n
)]
2
2
2
2
< br>
第
10
页
共
10
=
[3(
m
＋
n
)
＋
2(
m
＋
n
)][3(
m
－<
/p>
n
)
－
2(
m
＋
n
)]
[
应用公式
(1)]
=
(5
m
－
< br>n
)(
m
－
5
n
)
[
合并同类项
]
例
2
分解因
式：
75
x
6
y
－
12
x
2
y
5
．
解
7
5
=
3
x
2
y
(25
x
4
－
4
y
4
)
[
首先提取公因式
]
x
6
y
－
1
2
x
2
y
5
=
3
x<
/p>
2
y
[(5
x<
/p>
2
)
2
－
(2
y
2
)
2
]
[
熟练后这步可以省去
]
=
3
x
2
y
(5
x
2
< br>＋
2
y
2
)(5
x
2
－
2
y
2
)
[
应用公式
(1)]
例
3
分解因
式：
－
(3
a
2
－
5
b
2<
/p>
)
2
＋
(5
a
2
－
3
b
2
)
2
．
解
－
(3
a<
/p>
2
－
5
b
2
)
2
＋
(5
a
2
－
3
b
2
)
< br>2
=
(5
a
－
3
b
)
－
(3
a
－
5
b
)
=
[(5
a
2
－
3
b
2
)
＋
(3
a
2
－
5
b
2
)][(5
a
2
－
3
b
2
)
－
(3
a
2
< br>－
5
b
2
)]
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
[
应用公式
(1)]
=
(8
a
－
8
b
)(2
a
＋
2
b
)
[
合并同类项
]
=
16(
a
－
b
)(
a
＋
b
)
[
提公因式
]
=
16(
a
＋
b
)(
a
－
b
)(
a
＋
b
)
[
应用公式
(1)]
例
3
<
/p>
表明在因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止．
2
2
2
2
2
2
2.2
立方和与立方差
例
4
分解因
式：
9
x
－
7
2
x
y
．
解
9
x
－
7
2
x
y
=
9
x
(
x
－
< br>8
y
)
[
提公因式
]
=
9
x
[
x
－
(2
y
)<
/p>
]
=
9
x
(
x
－
2
y
)(
x
＋
2
xy
＋
4
y
)
[
应用公式
(3)]
6
6
例
5
分解因式：
a
＋
b
．
5
2
3
5
2
3
2
3
3
2<
/p>
3
3
2
2
2
a
6
＋
b
6
=
(
a
2
)
3
＋
(
b
2
)
3
=
(
a<
/p>
2
＋
b
2
)[(
a
2
)
2
－
a
2
b
2
＋
(
b
2
)
2
]
[
应用公式
(2)]
=
(
a
＋
b
)(
a
－
a
b
＋
b
)
．
2
2
4
2
2
4
第
11
页
共
11
公式
(2
)
、
(3)
中的符号极易搞错，务必引
起注意．
2.3
完全平方
例
6
分解因
式：
9
x
2
－
24
xy
＋
1
6
y
2
．
解
原式由
三项组成，第一项
9
x
＝
(3
x
)
，第三项
16
y
＝
(4
y
)
，
2
3
x
4
y
＝
24
xy
，
与中间一项只差一个符号，因此可以利用公式
(5)
，得
2
2
2
2
9
x
2
－
24
xy
＋
16
y
2
=
(3
x
－
4
y
)
2
．
这样的式子成为
(
完全<
/p>
)
平方式．不是平方式的二次三项式，通常用十字相乘法分解，请
参看第
5
单元．
例
7
分
解因式：
8
a
－
4
a
－
4
．
解
首先把原式“理顺”
，也就是将它的各项按字母
a
降幂
(
或升幂
< br>)
排列，从而有
8
a
－
4
a
－
4
=
－
4
a
＋
8
< br>a
－
4
=
－
4(
a
－
2
a
＋
1)
[
提公因式
]
=
－
4(
a
－
1)
．
按某个字母
降幂排列是一个简单而有用的措施
(
简单的往往是有用的
)
，值得注意．
2
2
2
2
2
18
bc
－
12<
/p>
ca
＋
12
ab
例
8
分解因式：
4
a
＋
9
b
＋
9
c
－
解
我们需要引入一个公式，由乘法可得
(
a
＋
b
＋
c
)
＝
a
＋
b
＋
< br>c
＋
2
ab
＋
2
bc
＋
2
ca
即若干项的和的平方等于各
项的平方与每两项乘积的
2
倍的和．
上面的式子可写成
a
＋
b
＋
c
＋
2
ab
＋
2
bc
＋
2
ca
＝
(
a
＋
b
＋
c
)
(8)
这也是一个因式分解的公式．
联系到例
8
就有
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
a
2
＋
9
b
2
＋
9
< br>c
2
－
18
bc
－
12
ca
< br>＋
12
ab
第
12
页
共
12
=
(2<
/p>
a
)
2
＋
(3
b
)
2
＋－
(
3
c
)
2
＋
2(3
b
)(
－
3
c
)
＋
2(2
a
)(
－
3
c
)
＋
2(2
a
)(3
b
)
=
(2
a
< br>＋
3
b
－
3
c
)
2
．
显然，公式
(4)
< br>是公式
(8)
的特殊情况，当
c
=0
时，公式
(8)
< br>就简化成公式
(4)
，公式
(5
)
也是
公式
(8)
的特殊情况．另外，在公式
(4)
中将
b
换成－
b
，公式
(4)
就变成公式
(5)
．不
难看出，
公式
(2)
与
(3)
，
(6)
与
(7)
也有同样的关系．
2.4
完全立方
例
9
分解因
式：
8
x
3
＋
27
y
3
＋<
/p>
36
x
2
y
＋
54
xy
2
．
3
解
8
x
3
＋
2
7
y
＋
3
6
x
2
< br>＋
y
2
5
4
x
=
y
8
x
3
＋
36<
/p>
x
2
y
＋
54
xy
2
＋
27
y
3
[
按
x
降幂排列
]
3
=
(2
x<
/p>
)
3
＋
3(2<
/p>
x
)
2
(3
y
)
＋
3(2
x
)(3
y
)
2
＋
(3
y
)
3
=
(2
x
＋
3
y
)
[
应用公式
(6)]
1
．
例
10
分解
因式：
729
a
－
243
a
＋
27
< br>a
－
a
－
2
4
a
3
＋
解
7
2
9
2
3
6
4
2
2
a
－
7
1
< br>a
2
)
3
－
3
(9
a
2
)
2
<
/p>
1
=
(9
＋
3
(9
a
2
)
1
2
－
1
3
6
4
2
=
(9
a
－
1)
[
应用公式
(7)]
=
(3
a
＋
< br>1)
(3
a
－
< br>1)
．
[
应用公式
(1)]
在应用公式
(6)
、
(7)<
/p>
时，需要判明原式是否符合条件，即它应由四项组成，有两项是立
2
2
方：
a
与
b
(
或－
b<
/p>
)
，另两项应当是
3
a
b
(
或－
3
a
b
)
与
3
ab
这些要求不太容易满足，因
3
3
3
3
3
2
此直接应用公式
(
6)
、
(7)
的情况是比较少的．但是
，如果遇到了也不可失之交臂．
相比之下，完全平方用得较多
，人们常常用它来证明一个式子的值是非负的．
2.5
问一知三
6
6
例
11
分
解因式：
a
－
b
6
6
3
2
解
a
可以看成平方：
a
＝
(
a
)
，
也可以看成立方：
a
＝
(
a
)
，
6
6
于是
a
－
b
的分解就有两条路可走．
6
2
3
第一条路是先应用平方差公式：
a
6
－
b
6
=
(
a
3
)
2
－
(
b
3
)
2
<
/p>
=
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
[
应用公式
(1)]
=
(
a
＋
b
)(
a
－
ab
＋
b
)(
a
－
b
)(
a
＋
ab
＋
b
)
[
应用公式
(2)(3)]
第
13
页
共
13
2
2
2
2
3
3
3
3
第二条路是从立方差公式入手：
6
6
a
－
b
=
(
a
2
)
3
－
(
b
2
)
< br>3
=
(
a
2
－
b
2
)(
a
4
＋<
/p>
a
2
b
2
＋
b
4
)
[
应用公式
(3)]
=
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)(
a
4
＋
a
2
b
2<
/p>
＋
b
4
)
．
[
应用公式
(1)]
采用两种方法分解，获得的结果应当相同．因此比较
(
a
＋
b
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
< br>)(
a
－
b
)(
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
与
(
a
＋<
/p>
b
)(
a
－
b
)(
a
4
＋
a
2
b
2
＋
b
4
)
我们知道
a
＋
a
b
＋
< br>b
不是既约多项式，并且有
4
2
2
4
a
4
＋
a
2
b
2
＋
b
4
=
(
a
< br>2
＋
ab
＋
b
2
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
)
(9)
及
a
6
－
b
6
=
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)(
a
2
＋
< br>ab
＋
b
2
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
)
(10)
6
6
4
2
2
4
于是，从
a
－
b
的分解出发，不但得到
(10)<
/p>
式，而且知道
a
＋
a
b
＋
b
不
是既约多项
式，导出了
(9)
式，可谓
问一知三．
在第
4
< br>单元中，我们还要介绍导出
(9)
式的另一种方法．
2
．
6
2
1984
＋
1
不是质数
例
12
求证
2
19
84
＋
1
不是质数．
< br>
＋
1
分解因数，我们需要知道
一个新的公式，即在
n
为正奇数时
证明
为了
将
2
1984
a
n
＋
b
n
＝
(
a
＋
b
)(
a
n
－
1
－
a
n
－
2
b
＋
a
n
－
3
b
2
－
－
ab
n
－
2
＋
b
n
－
1
)
．
(11)
(11)
式不难用乘法验证，将右边的两个因式相乘便得到
a
＋
b
．
现在我们有
1984
2
＋
1
=
(2
64
)
31
＋
1
31
n
n
=
(2
＋
1)(2
6
4
64
30
－
2
64
2
9
＋
－
2
64
＋
1)
．
<
/p>
2
64
＋
1
是
2
1984
＋<
/p>
1
的真因数，它大于
1
< br>，小于
2
1984
＋
1
，所以
2
1984
＋
1
不是质数．用这个
n
方法可以证明：当
n
有大于
1
的奇数因数时，
2
＋
1
不是质数．与
(11)
式类似，由乘法可以
得到在
n
< br>为正整数时
第
14
页
共
14
a
n
－
b
n
＝
(
a
－
b
)(
a
n
－
1
＋
a
n
－
2
b
＋
a
n
－
3
b
2
＋<
/p>
＋
ab
n
－
2
＋
b
n
－
1
)
(12)
这也是一个有用的公式．
例
12
分解
因式：
x
－
1
．
5
解
x
－
1
=
(
x
－
1)(
x
4
＋
x
3
＋
x
2
＋
x
＋
< br>1)
．
5
公式
(3)
是公式
(12)
的特例，公式
(2)
是公式
< br>(11)
的特例．
请注意公式
(12)
对一切正整数
n
成立，而公式
(11)
的适用范围只是正奇数
n
．
小
结
“一提、二代”中的“代”就是指
“应用公式”
(
代公式
)
．
在这一节介绍了公式
(1)
～
(12)
，其中
(1)
～
(7)
必须牢记，公式
(1)
尤为重要．做题时，应当根据具体情况选
用公式．
习
题
2
将以下各式分解因式：
1 <
/p>
16
－
(3
a<
/p>
＋
2
b
)
2
4
y
－
(2
z
－
x
)
4
4
3
a
－
b
2
2
2
16
c
4
－
81
a
b
＋
5
20
a
x
－
45
axy
6
(3
a
－
b
)
－
(<
/p>
a
－
3
b
)
7
x
－
y
8
16
x
－
x
9
(5
x
＋
2
x
－
3)
－
(<
/p>
x
－
2
x
－
3)
第
15
页
共
15
2
2
2
2
5
4
4
4
3
3
2
2
2
2
2
2
2
8
8
< br>
10
32
a
b
－
< br>4
b
3
3
9
1
11
8
a
b
c
－
12
64
x
6
y
3
＋
y
15
13
x
2
(
a
＋
b
)<
/p>
2
－
2
xy
(
a
2
－
b
2
)
＋
y
2
(
a
< br>－
b
)
2
14
a
n
＋
2
3
3
3
＋
8
a
n<
/p>
＋
16
a
n
－
2
2
n
n
n
1
15
9
a
＋
x
＋
6
a
＋
2
x
＋
6
ax
＋
16
a
＋
b
＋
c
＋
2
ab
－
2
ac
－
2
bc
17
x
2
＋
9
y
2
＋<
/p>
4
z
2
－
6
xy
＋
4
xz
－
12
yz
18
(
p
＋
q
)
3
－
3(
p
＋
q
)
2
(
p
－
q
)
＋
3(
p
＋
q
)(
p
－
q
)
2
－
(<
/p>
p
－
q
)
3
19
4
a
b
－
(
a
＋
b
)
20
(
a
＋
x
)
－
(
a
－
x
)
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
分组分解
整式
ax
-
b
y
-
bx
+
a
y
的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的
式
子需要分组分解。
3
．
1
三步曲
我们用上面的整式来说明如何分组分解。
例
1
分解因式：
ax
-
by
-
bx
+
ay
解
:
ax
-<
/p>
by
-
ba
+<
/p>
ay
=
(
ax
-
bx
)
+
(
ay
-
by
)
=
x
(
a
-
b
)
+
y
(
a
-
b
)
第
16
页
共
16
【分为两组】
【
“提”
】
=
(
x
+
y
)(
a
-
b
)
【再
“<
/p>
提
”
】
一般地，分组分解大致分为三步：
1.
将原式的项适当分组；
2.
对每一组进行处理（
“提”或
“
代
”
）
；
3.
将经过处理后的每一组当作一项
，再采取“提”或
“
代
”
进行分解。
以为高明的棋手，在下棋时，绝不会只
看一步。同样，在进行分组时，不仅要看到第二
步，而且要看到第三步。
一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的
分组方
法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验的
“
行家
”
。
<
/p>
3
．
2
殊途同归
分组的方法并不是唯一的，
对于上面
的整式
ax
-
by
-
ba
+
ay
，
也可以采用下面的做法：
ax
-
by
-
bx
+
ay
=
ax
+
ay
-
bx
+
by
=
a
x
+
y
-
b
x
+
y
=
x
+
y
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
a
-
b
)
两种做法的效果十一样的，殊途同归！可以说，
一种是按照
x
与
y
来分组（含
x
的项在
一
组，含
y
的项在另一组）
；另一种是按
a
和
b
来分组
。
2
2
例<
/p>
2
分解因式：
x
+
ax
+
x
+
ax
-
1
-<
/p>
a
。
解法一
按字母
x
的幂来分组。
·
x
2
+
ax
2
+
x
+
ax
-
1
-
a
=
x
2
+
< br>ax
2
+
(
x
+
ax
)
-
(
1
+
a
)
(
)
=
x
2
(
1
+
a
)
+
x
(
< br>1
+
a
)
-
(
1
+
a
)
=
(
1
+
a
)
x
2
+
x
-
1
x
2
+
ax
2
+
x
+
ax
-
1
-
a
=
ax
2
+
ax
-
a
+
x
< br>2
+
x
-
1
(
)
解法二
按字母
a
的幂来分组。
(
)
(
)
第
17
页
共
17
=
a
x
2
+
x
-
1
+
x
2
+
x
< br>-
1
=
(
a
+
1
)
x
2
+
x
-
1
.
(
(
)
(
)
)
3
．
< br>2
平均分配
在例
2
中，原式的
6
项是平均分
配的，或者分成三组，每组两项；或者分成两组，每组
三项。
如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配。
例
3
分解因式：
x
3
-
2
x
2
-
x
+
2
+
x
5
-
2
x
4
.
解
6
项可以分成三组，每组两项，我们把幂次相近的项放在一起，即<
/p>
x
3
-
2
x
2
-
x
+
2
+
x
5
-
2
x
4
=
x
5
-
2
x<
/p>
4
+
x
3
-
2
x
2
-
(
x
-
2
)
(
)
(
4
)
(
x
-
2
)
+<
/p>
x
(
x
-
2
)
-
(
x
-
2
)
=
(
x
-
2
)
(
x
+
x
-
1
)<
/p>
=
x
4
2
2
本例也可以将
6
项分成两组，每组三项，即将系数为
1
的放在一组，系数为
-2
的放在
另一组。详细过程请读者自己完成。
2<
/p>
2
2
2
例
4
分解因式：
ac
+
bd
-
ad
-
bc
.
解
ac
2<
/p>
+
bd
2
-
ad
2
-
bc
2
.
)
(
=
a
(
c
-
d
< br>)
-
b
(
c
=
(
a
-
b
)
(
c
-
d
)
2
2
2
2
=
ac
2
-
ad
2
+
bd
2
-
bc
2
2
< br>(
-
d
2
)
)
=
(
a
-
b
)(
c
+
d
)(
c
-
d
)
请读者考虑另一种分组分解。
3
．
4
瞄准公式
如果在第二步或者第三步中需要应用乘法公式，
那么各组的项数不一定相等，
应根据公
式的特点来确定。
例
5
分解因式：<
/p>
-
1
-
2
x
-
x
+
y
．
解
2
2
-
1
-
2
x
-
x
2
+
y
2
< br>=
y
2
-
x
2
+
2
x
+
1
=
y
2
-
(
x
+
1
)
2
(
)
< br>【应用公式（
4
）
】
【应用公式（
1
）
】
=
(
y
+
x
+
1
)(
y
-
x
-
1
)
第
18
页
共
18
本例是瞄准公式（
1
）与（
4
）来分组的．
例
6
分解因式：
ax
3
+
x
+
a
+
1
．
解
根据
a
的幂来分组是可以行得通的，恰好能
用上公式（
2
）
，并未下一步提取公因
式奠好基础
．
：
3
ax
+
x
+
a
+
1<
/p>
)
(
)
+
a
)
+
(
x
+
1
)
】
=
a
(
x
+
1
)
(
x
-
x
+
1
< br>)
+
(
x
+
1
)
【应用公式（
2
）
=
(
x
+
1
)
(
ax
-
ax
+
a
+
1
)
．
【提公因式】
3
=
ax<
/p>
+
a
+
x
+
1
3
2
2
(
=
(
ax
4
3
2
x
x
2
x
x
1
．
例
7
分解因式：
4
2
3
解
=
x
+
2
x
+
1
+
x
+
x
2
=
x
2
+
1
+
x
x
2
+
1
【公式（
4
）及提公因式
】
=
x<
/p>
2
+
1
x
2
+
x
+
1
【提公因式】
(
(
(
)
(
)
)
(
)
)(
)
这次是瞄准公式（
4
）来分组的
．
3
．
5
从
零开始
如果分组分得不恰当，
因式分
解无法进行下去，
那么就应当回到分组前的状况，
从零开
始，考虑新的分组。
例
8
分解因式：
x
+
x
-
y
-
y
．
解如果把有
x
的项集在一起，有
y
的项集到一起，那么
3
< br>2
3
2
x
+
x
-
y
-
y
3
2
3
2
=
x
3
+
x
2
-
y
3
+
y
2
< br>(
)
(
虽然每一组都有公因式可提，
但是两组之间却无公因式可提，<
/p>
也没有公式可以利用，
分
解无法进行下去
。这时，必须从零开始，重新分组。
这次将次数相同的项放在一起，我们有
x
+
x
-
y
-
y
3
2
3
2
=
< br>x
2
(
x
+
1
)
-
y
2
(
y
+
1
)
)
3
3
2
2
x
y
x
y
< br>
第
19
页
共
19
2
2
x
y
x
xy
y
、
（
3
）
】
x
y
x
y
【应用公式（
1
）
2
2
x
y
x
xy
y
x
y
【提取公因式】
2
2
2
2
例
9
分解
因式：
ab
c
-
d
-
a
-
d
cd
．
<
/p>
(
)
(
)
解
此式无法直接
进行分解，必须先用乘法分配律将原式变为四项，在进行分组。
ab
c
2
-
d
2
-
a
2
-<
/p>
d
2
cd
(
)
(
)
=
abc
2
-
abd
2
-
a
2
cd
+
b
2
cd
=
abc
2
-
a
2
cd
+
b
2
cd
-
abd
2
=
ac
(
bc
-
ad
)
+
bd
(
bc
-
ad
)
(
)
(
)
=
(
ac
+
bd
)
(
bc
-
ad
)
.
从这个例子可以看出，
错误的
分组还不如不分组。
聪明的人并不是不犯错误的人，
而是
善于改正错误的人．
小
结
如果“
一提，二代”都不能奏效，就应当采用分组分解。分组分解应依照前面
所说的三步进行。
这三步时密切联系的，
不仅要看到第二步，
而且要看到第三步。
在第二步和第三步都是提取公因式时，各组的项数相等（平均分
配）
。否则，应
当瞄准公式进行分组。应当注意，分组需要尝试
，失败了，从零开始。只要反复
实践，就能掌握分组的技巧，运用自如。
习
题
3
将下列各式分解因式：
第
20
页
共
20
1.
ax
-
a
y
+
bx
+
c
y
-
cx
-
b
y
.
2.
x
4
+
x
3
+
x
2
-
1
3.
a
1
-
b
+
b
2
-
1
+
b
-
b
2
2
2
2
)
4.
4
x
(
a
+
x
)
-
a
(
-
x
2
5.
abx
2
+
bxy
-
axy
-
y
2
6.
a
2
b
3
-
abc
2
d
+
ab
2
cd
-
c
3
d
2
< br>7.
32
ac
2
+
15
cx
2
-
48
ax
2
-
10
c
3
< br>8.
2
x
2
-
3
ab
+
x
(
4
a
-
3
b
)
9.<
/p>
x
3
-
x
+
y
3
-
y
10.
x
3
+
y
3
+
x
2
+
2
xy
+
y
2
11.
4
a
2
-
b
2
+
c
2
-
9
d
2
+
4
ac
+
6
bd
12.
a
(
1
-
b
)
-
1
+
2
b
-
< br>b
2
13.
x
< br>(
x
+
z
)
-
y
(
y
+
z
)
14.
x
3
+
bx<
/p>
2
+
ax
+
ab
15.
acx
3
+
bcx
2
+
adx
+
bd
16.
a
4
+
a
3
b
-
a
b
3
-
b
4<
/p>
17.
a
4
-<
/p>
a
3
b
-
ab
3
+
b
4
18.
a
2
b
2
-
a
2
-
b
2
< br>+
1
19.
x
< br>2
y
2
-
x
2
z
2
-
y
2
z
2
+
z
4
20.
x
2
y
2
z
2
-
x
2
z
-
y
< br>2
z
+
1
21.
x
4
+
x
3
y
+
x
z
3
+
yz
3
22.
(
a
+
b
)
+
(
a
+
c
)
-
(
c
+
d
)
-
(
< br>b
+
d
)
23.
ax
y
3
+
b
3
+
by
bx
2
+
a
2
y
3
3<
/p>
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
24.
(
a
+
b
)
+
(
b
+
c
)
+
(
c
< br>+
a
)
+
a
3
+
b
3
+
c
3
3
4
拆项与添项
为便于进行分组分解，常常将一项（或若干项）拆为两项（或几项）的和。
4
．
1
拆开中项
4
前面
已经说过，在分组分解时，常常将项数平均分配。但是，像
x
-
4
x
+
3
这样的式
第
21
页
共
21
子，
只有三项，
怎么能平均分成两组呢
？方法是先将一项拆为两项。
如果这个整式是按某一
字母的升幂
或降幂排列的，那么以拆开中项为宜。
例
1
分解
因式：
x
4
-
4
x
+
3.
解
例
2
分解因式：
解
x
4
-
4
x
+
3
=
x
-
x
-
< br>3
x
+
3
=
x
4
-
x
-
(
3
x
-
3
)
=
x
(
x
-
1
)(
+
1
)
-
3
(
x
-
1
)
=
(
x
-
1<
/p>
)
x
3
+
x
2
+
x
-
3
.
4
(
)
(
)
1
+
b
-
a
2
x
2<
/p>
-
abx
3
.<
/p>
(
)
1
+
b
-
a
2
x
2
-
abx
3
.
(
)
=
1
-
a
2
x
2
+
bx
2
-
abx
2
=
1
+
ax
1
-
< br>ax
+
bx
2
< br>1
-
ax
2
=
1
-
ax
1
+
ax
+
bx
.
在这两个例子中，
都有一个因式是<
/p>
x
的一次多项式。
第
8
单元将讨论求一次因式的一般
方法。
(
)
(
)
(
(
)(
)
(
)
(
)
)
4
．
2
皆大欢喜
拆项的目的无非是在适当分组后使得
每一组可以（同时，组与组之间也可以
“
提
”
或
“
代
”
）
。因此，有时也不一定都是拆开中项。
3
2
3
2
例
3
分
解因式：
a
+
3
a
+
3
a
+
b
+
3
b
+
3
b
+
2
解
前三项
比完全立方公式少
1
，四、五、六项的和比立方公式少
1
．如果把
2
拆为两<
/p>
个
1
，那么就可以使两组都成为完全立方
，皆大欢喜。于是
a
3
+
3
< br>a
2
+
3
a
+
b
3
+
3
b
2
+
3
b
+
2
=
a
3
+
3
a
< br>2
+
3
a
+
1
+
b
3
+
3
b
2
+
3
b
+
1
3
3
=
a
+
1
< br>+
b
+
1
2
2
=
a
+
b
+
2
轾
a
+
1
-
a
+
1
b
+
1
< br>+
b
+
1
犏
臌
=
a
+
b
+
2
a
2
-
ab
+
b
2
+
a
+
b
+
1
.
(
(
(
(
)
(
)
)
(
)<
/p>
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
)
第
22
页
共
22
4
．
3
旧事重提
例
4
分解
因式：
a
4
+
a
2
b
2
+<
/p>
b
4
.
解
在第
2
单元中，我们已经巧妙地导出了这个
多项式的因式分解（例
11
中得到的公
式（
9
）
）
。
现在，我们用拆项的方法来导出公式（
9
）
。
首先注意
a
< br>4
+
2
a
2
b
2
+
b
4
.
是完全平方，为了把
a
4
+
a
< br>2
b
2
+
b
4
.
配成完全平方，就得把
a
2
b
2
拆成两项的（代数）和，即
< br>a
2
b
2
=
2
a
2
b
2
-
a
2
b
2
,
于是
这种配
平方的做法用途很多，后面习题中有不少类似的问题供读者练习。
4
．
4
无中生有
< br>
4
4
例
5
证明
<
/p>
在
m
、
n
都是大于
1
的整数时，
m
+
4
n
是合数。
4
4
解
这个问题的实质是将
m
+
4
n
< br>因式分解，我们仍然采用例
4
中的配方法。可是，
2
2
只有两项，所以，要配成完全平方就得在
中间添上一项
4
m
n
< br>
，即
m
4
+
4
n
4
=
m
4
+<
/p>
4
m
2
n
2
+
4
n
4
-
4
m
2
n
2
(
=
(
m
=
m
+
2
n
2<
/p>
2
)
-
(
2
mn
)
+
2
n
+
2
mn
)(
m
2
2
2
2
< br>2
+
2
n
2
-
2
mn
)
由于在
m
、
n
都大于
1
时，两个因数中较小的那一
个
m
2
+<
/p>
2
n
2
-
2
mn
=
(
m
-
n
)
+
n
2
…
< br>n
2
1
，
第
23
页
共
23
2
即两个因数都是
m
< br>4
+
4
n
4
的真因数，所以
m
4
+
4
n
4
< br>是合数。
2
2
2
2
2
2
这里先添上
4
m
n
，然后再减去
4
m
n
，可以看成是把
0
拆
成
4
m
n
和<
/p>
-
4
m
2
n
2
之
和。这种“无中生有”的做法也是常用的。
<
/p>
4
．
5
配成平方
例
6
<
/p>
分解因式：
-
a
4
-
b
4
-<
/p>
c
4
+
2
a
2
b
2
+
2
b
2
c
2
+
2
c
2
a
2
.
解
先把原式写成
-
a
4
+
b
4
+
c
4<
/p>
-
2
a
2
b
2
-
2
b
2
c
2
-
2
c
2
a
2
,
括号中的式子首项系数是正的，
这个式子不是完全平方式，
但只
要改变后三项中任一项
2
2
2
2
的符号，比如说将
-
2
a
b
改成
2
a
b
，那么由公式（
8
）可得
< br>
(
)
a
4
+
b
4
+
c
4
+
2
a
2
b
2
-
2
b
2
c
2
-
2
< br>c
2
a
2
=
a
2
+
b
2
-
c
2
2
2
2
2
2
2
所以为了配成平方，应当将
-
2
a
b
拆成
2
a
b
-
4
a
b
，这时
(
)
2
.
-
a
4
-
b
4
-
c
4
+
2
a
2
< br>b
2
+
2
b
2
c
2
+
2
c
2
a
2
=
-
a
4
+
b
4
+
c
4
-
< br>2
a
2
b
2
-
2
b
2
c
2
-
2
c
2
a
2
4
4
4
2
2
2
2
(
< br>=
-
(
a
+
b
+
c
+
2
a
b
-
2
b
c
轾
=
-
犏
(
a
+
b
-
< br>c
)
-
(
2
ab
)
臌
2
2
2
2
2<
/p>
)
-
2
c
2
a
2
-
4
a
2
b
2
)
=
-
a
2
+
b
2
-
c
2
+
2
ab
a
2
+
b
2
-
c
2
-
2
ab
2
2
2
轾
2
=
-
轾
a
+
b
-
c
a
-
b
-
< br>c
犏
犏
臌
臌
=
-
a
+
b
+
c
a
+
b
-
c
a
-
b
+
c
a
-
< br>b
-
c
这个例子中多次应
=
a
+
b
+
c
a
+
b
-
c
a
-
b
+
c
b
+
c
-<
/p>
a
.
用公式，
特
别是公式
（
1
）
．
注：由几何可以知道，如果三角形的三条边的长分别为<
/p>
a
、
b
、
c
，那么三角形的面积
(
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
第
24
页
共
24
=
其中<
/p>
s
=
s
(
s
-
a
)(
s
-
b
)(
s
-
c
)
，
2
a
+
b
+
c
是周长的一半
．
例
6<
/p>
中的整式实际是
16
2
< br>
．
小
结
为了分
组分解，
常常采用拆项和添项的方法，
使得分成的每一组都有公
因式
可提或者可以应用公式
．
对于按某
一字母降幂排列的三项式，
拆开中项是最常见
的
．
配完全平方的时候，
往往需要添上一个适当的项或者
将某一项适当改变，
然
后再应用公式（
1
）分解
．
习
题
4
将下列各式分解因式
1.
x
4
-
3
x
2
+
1
2.
x
4
-
7
x
2
y
2
+
81
y
4<
/p>
3.
x
4
-
23
x
2
+
1
4.
-
14
x
2
y
2
+
x
4
+
y
4
5.
x
< br>8
+
x
4
+
1
6.
x
4
-
47
x
2
+
1
7.
x<
/p>
12
-
3
x
6
+
1
8.
x
3
(
a
+
1
)
-
xy
(
x
-
< br>y
)(
a
-
b
)
+
y
3
(
b
+
1<
/p>
)
9.
x
2
-
y
2
+
2
x
+
6
y
-
8
10.
x
4
+
2
< br>6
11.1
-
2
ax
-
c
-
< br>a
2
x
2
+
acx
3
12.
< br>2
x
3
-
4
x
2
y
-
x
2
z
+
2
xy
2
+
2
xyz
-
y
3
z
(
)
第
25
页
共
25
5
十字相乘法
对于二次三项式
ax
2
+
bx
+
c
的因式分解，最简单最有效的方法是十字相乘
5
．
1
知己知彼
通常
是老师编题，学生解题
．
其实学生也可以编题
< br>．
既会编题又会解题，那可真是
“
知
己知彼，百战不殆
”
了
．
因式分解的题很容易编
．
比如说，取两个一次多项式
x
+<
/p>
2
与
x
+
3
相乘，
x
+
2
排
竖式
?
x
+
2
x
3
3
x
+
6
x
2
+
2
x
x
2
+
5
x
< br>+
6
2
得积为
< br>x
+
5
x
+
6
，那么就可以编一道题：
2
例
1
<
/p>
分解因式：
x
+
5
x
+
6
编题的人早已心中有数：
x
2
+
5
x
+
6
=
(
x
+
2
)(
x
+
3
)
．
（
1
）
解题的人解起来要费点神，关键是怎么求出
2
与
3
这两个数
．
请看上面的竖式乘法，我们有
2
?
3
6,2
+
3
=
5
(
2
x
+
3
x
=
5
x
)
,
< br>
即
2
、
3
这两个数的积是
6
，和是
5
．
因此，可以把
6
分解因数，得到
2
与
3
．当然，
< br>6
还有其他的分解，比如说
6
=
1
6
或
(
-
2
)
?
(
3
)
或
(
< br>-
1
)
?
(
6
)
，
但是只有
2
与
3
的和为
5
，所以结果是（
1
）式
．
2
于是，我们得到分解
x
+
5
x
+
6
这种
二次三项式的方法：
先把常数项
6<
/p>
分解为两个因数的积（不一定是正因数，也不一定是质数）
，再看
一看这
两个因数的和是不是等于一次项的系数
．
如果等于一次项的系数，
那么就产生了这个二次三
项式
的因式分解
．
否则，取常数项的另一种分解，再进行检验
．
这样尝试几次，就可以得出
第
26
页
共
26
结果
．
如果你运气好或者经验多，兴许
一次就可以成功
．
这种算法采用下面的算式，非常方便：
1
+
2
+
3
1
5
其中<
/p>
2
与
3
时由
6
分解因数产生的，两道交叉的线表示应将线两端的数相乘（即
1
×
3
，
1
×
2
）
，然后再相加，横线下的数表示所得的和
．
如果和等
于一次项系数，那么就得到所需
的分解，算式中的第一行与第二行各表示一个因式，第一
行
1
＋
2
，表
示
x
＋
2
；第
二行
1
＋
3
表
示
x
＋
3
．不
难看出，这个算式实际上就是乘法竖式的省略写法，它被称为十字相乘
．
例
2
< br>分解因式：
x
2
-
7
x
+
6
< br>
．
解
这一次
把
6
分解为
2
×
3
是不行的，应当把
6
分解为（
-1
）×（
-6<
/p>
）
．
由算式
1
-
1
-
6
1
-
7
得
x
2
-
7
< br>x
+
6
=
(x
-
1)(x
-
< br>6).
6
< br>还有两种分解：
6=
（－
2
）×（－
3
）
=1
×
6
．由算式
1
-
2
-
3
1
1
7
1
6
1
< br>-
5
可以编出一下两道题：
2
例
3
<
/p>
分解因式：
x
-
5
x
+
6
．<
/p>
解
x
2
-
5
x
+
6
=
(
x
-
2
)(
x
-
3
)
2
例
4
<
/p>
分解因式：
x
+
7
x
+
6
．
解
x
2
+
7
x
+
6
=
(
x
+
1
< br>)(
x
+
6
)
.
5
．
2
熟能生巧
要掌握十字相乘，首先要熟
悉整数的因数分解，熟悉有理数的加（减）法，反复练习，
熟能生巧，这里再给出几个例
题
．
2
例
5
<
/p>
分解因式：
x
+
6
x
+
8
．
解
8=2×
4
，而
2
＋
4=6
．算式为
1
2
4
1
6
第
27
页
共
27
所以
例
6
分解因式：
x
2
-
6
x
+
8
．
解
由算式
x
2
+
6
x
+
8
=
(
x
+
2
)(
x
+
4
)
.
1
-
2
-
4
1
-
6
得
x
2
-
6
x
+
8
=
(
x
< br>-
2
)(
x
-
4
)
．
例
7
分解因式：
x
2
+
7
x
-
8
．
解
由算式
1
8
-
1
1
7
得
x
2
+
7
x
-
8
=
(
x
+
8
< br>)(
x
-
1
)
．
注意：在常数项为正时，两个因数同号（同为正数或同为负数）
；在常数项为负数时，<
/p>
两个因数异号
．
例
8
分解因式：
< br>x
2
-
x
-
6
解
由算式
1
2
-
3
1
-
1
得
x
2
-
x
-
6
=
x
+
2
(
)(
x
-
3
)
．
有理数的加法，切勿搞错！
2
例
9
<
/p>
分解因式
x
1
2
x
．
2
解
按照前面已经说过的办法，先把
x<
/p>
12
x
“理顺”
，并提出公因数
1
，使首项系
数成为
1
：
x
12
x
2
x
< br>2
x
12
(
x
2
x
<
/p>
12)
．
由算式
1
1
1
1
3
4
或
1
1
2
2
3
4
得
x
12
x
(
x
3)(
x
4)
，
或
x
12
x
(
x
3)(
x
4)
．
第
28
页
共
28
不先提出
1
，直接十字相乘也是可以的．
5
．
3
再进一步
前面讨论的是首项系数为
1
的二次三项式．一般的二次三项式也
可以用十字相乘来分
解．
2
例
10
分解因式：
6
x
7
x
2
．
解
采用类
似的算式：把
6
分解为
2
3
，写在第一列；把
2<
/p>
分解为
1
<
/p>
(
2)
，写在
第
二列；然后，交叉相乘，把积相加，最后把得到的和写在横线下面，即
2
3
7
这个和恰好是一次项的系数，于是
1
2
6
x
2
7
x
2
(2
x
1)(3
x
2)
．
注：算式中的第一行
2
1
，表示
2
x
1
；第二行
3
2
，表示
3
x
2
．
如果得到的和不等于一次项的
系数，那么，或者把
2
3
换为
6
的另一种分解，或者把
1
(
2)
换为
2
的另一种分解，或者两者都换．经过多次尝试，就能找出所需要的分解来．
2
例
11
分解因式：
12
x
11
x
15
．
解
12<
/p>
与
15
都有很
多种分解．算式
2
6
8
是不成的．
由算式
3
5
4
3
3
5
11
得
12
x
2<
/p>
11
x
15
(4
x
3)(3
x
<
/p>
5)
．
注意：
我们总可以假定首项系数是正的，
并且它的两个因数都是正数（
必要时，将因数
．
1
先提出去）
2
例
12
分解因式：
6
x
12
x
x
．
解
首先把
原式“理顺”
（不理顺容易出错）
：
6
x
2
12
x
x
(6
x
2
x
12)
．
由算式
2
3
1
3
4
第
29
页
共
29
得
6
x
2
12
x
x
(2
x
3)(3
x
4)
．
5
．
4
二次齐次式
形如
ax
2
bxy
cy
2
的多项式，
每一项都是
x
与
y
的二次式
（
xy<
/p>
中
x
与
y
的次数都是
1
，
所以
xy
的次数是
1
1
2
）
，称为
x
与
y
的二次齐次式．它的分解与
x
的二次三
项式一样，
采用十字相乘．
2
2
例
13
分解因式：
6
x
7
xy
2
y
．
解
由算式
2
3
1
2
7
得
6
x
2
7
xy
2
y
2
(2
x
y
)(3
x
2
y
< br>)
．
请注意：算式的第一行<
/p>
2
1
，表示<
/p>
2
x
y
；第二行
3
2
，表示
3
x
2
y
．一定不要漏
掉字母
y
．
例
14
分
解因式
x
144
y
25
xy
解
x
2
144
y
2
25
xy
x
2
25
xy
144
y
2
由算式
2
2
1
1
16
9
25
2
2
得
x
144
y
25<
/p>
xy
(
x
16
y
)(
x
9
y
)
．
在例
14
中，
如果从拆
25
入手
（
25
16
9
）
，
或许更容易凑效．
十
144
由多种分解，
字相乘虽然简单，但是，要想做得快，还得依靠实践．这个问题是可以
意会，难于言传的．
5
．
5
系数和为零
如果二次三项式
ax
bx
c
的系数和
2
a
b
c
0
，
那么
< br>ax
2
bx
< br>
c
(
x
1)(
ax
c
)
．
事实上，因为
b
(
a
c
)
，
这时
(
x
1)(
ax
<
/p>
c
)
ax
2
(
a
c
)
x
c
< br>
ax
2
bx
c
．
记住这个结论，下面的例题就能迎刃而解了．
第
30
页
共
30
例
15
分解因式：
3
x
5
x
8
．
解
3
x
2
5
x
8
(
x
1)
(
x
3
8
)
例
16
分
解因式：
12
x
2
19
xy
7
y
2
．
解
12
x
2
19
xy
7
y
2
(
x
y
)(12
x
7
y
)
．
2
小
结
x
的二次三项式（或
x
与
y
的二次齐次式）应该用十字相乘来分解因式．方
法是把
x
2
的系数分
解为两个因数的积，把常数项（或
y
2
的系数）也分解为两个
因数的积，再把这些因数交叉相乘，如果所得乘积的和等于
x
的一次项系数，那
么就产生出多项式的两个
一次因式．
在系数和为零时，
必有一个因式是
< br>x
1
（或
，这样，分解的结果可以直接写出来．
x
y
）
习
题
5
将下列各式分解因式：
1
．
x
12
x
20
．
2
．
x
12
x
20
．
3
．
x
4
x<
/p>
5
．
4
．
x
9
x
22
．
5
．
< br>12
x
11
< br>xy
15
y
< br>．
6
．
6
x
13
x
6
．
<
/p>
7
．
2
x
7
x
3
．
8
．
2
x
5
x
3
．
9
．
<
/p>
20
xy
64
y
x
．
10
．
x
x
56
．
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
第
31
页
共
31
6
二元二次的分解
< br>形如
ax
2
< br>bxy
cy
2
dx
ey
f
的
x
、
y
的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．
6
．
1
欲擒故纵
例
1
分解
因式：
x
2
2
xy
3
y
2
3
x
y
2
．
解
如果只
有二次项
x
2
2
xy
3
y
2
，那么就由算式
1
1
1
3
2
得
x
2
2
xy
3
y
2
(
x
y
)(
x
3
< br>y
)
．
2
如果没有含
y
的项，那么对于多项
式
x
3
x<
/p>
2
，由算式
1
1
1
2
3
得
x
3
x
2
(
x
1)(
x
2)
．
2
如果没有含
x
的项，那么对于多项式
3
y
y
2
，由算式
1
1
2
3
1
2
2
得
3
y
y
2
(
y
< br>1)(3
y
2)
．
把以上三个算式“拼”在一起，写成
1
1
便得到所需要的分解：
1
3
1
2
x
2
< br>
2
xy
3
y
2
3
x
y
<
/p>
2
(
x
y
1)(
x
3
y
2)
．
上面的算式称为长十字相乘，
< br>式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘
（我们
省略了横线及横线下面的数）
．两次十字相乘就可以确定算是中的
6
个数，第三次十字相乘
只需利用已有的数进行检验，必要时
把同一列的两个数的位置交换一下．
长十字中的第一行
1
1
1
表示因式
x
y
1
，第二行的
1
3
2
表示另一个因式
x
3
y
2
．
为了解决问题，
常常先忽略一些条件，
导出部分结果，
然后再把几方面的结果
综合起来，
这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．
2
2
例
2
分解因式：
6
x
5
xy
6
y
2<
/p>
x
23
y
20
．
第
32
页
共
32
解
先进行两次十字相乘，由算式
(
x
)
2
3
5
(
y
)
3
< br>
3
2
(
x
)
2
2
(1)
4
5
得
6
x
2
5
xy
6
y
2
(2
x
3
y
)(3
x
2
y
< br>)
，
6
x
2
2
x
20
(2
x
4)(3
x
5)
．
为避免混淆，我们在算式中写上
(
x<
/p>
)
、
(
y
)
、
(1)
，表示相
应的列是
x
、
y
的系数或常数
项．然后把两个算式拼成
(
x
)
2
3
检验一下，正好有
(
y
)
3
< br>2
(1)
4
< br>
5
(
3)
(
5)
2
4
23
，
于是
6
x
2
5
xy
6
y
2
2
x
23
y
20
(2
x
< br>
3
y
4)(3
x
2
y
5)
．
6
．
2
三元齐次
长十字相乘对于三个字母
x
、
y
、
z
的二次齐次式
a
x
2
bxy
cy
2
d
xz
eyz
fz
2
也
同样适合．
2
2
2
例
3
分解因式：
x
6
< br>xy
9
y
5
xz
15
xz
6
z
．
解
由算式
(
x
)
1
1
2
2
(
y
)
3
3
(
z
)
< br>2
3
2
得
x
6
xy
9
y
5
xz
15
xz
6
z
(
x
< br>3
y
2
z
)(
x
3
y
3
z<
/p>
)
．
例
4
已知
：
a
、
b
、<
/p>
c
为三角形的三条边，且
a
2
4
< br>ac
3
c
2
3
ab
7
bc
2
b
2
0<
/p>
．
求证：
2<
/p>
b
a
c
．
解
由算式
(
a
)
(
b
)
(
c
)
1
1
3
1
2
1
< br>2
2
2
得
a
4
ac
3
c
3
ab
7
bc
2
b
(
a
b
3
c
)(
a
2
b
c
)
．
于是，由已知条件，得
第
33
页
共
33
(
a
b
3
c
)(
a
2
b
c
)
0
．
因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以
a
b
3
c
0
，
从而
a
2
b
c
0
，
即
2
b
a
c
．
6
．
3
项数不全
如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）
．
例
5
分解因式：
x
2
y
2
5
x
3
y
4
．
解
由算式
1
1
1
4
2
2
得
x
y
5
x
3
y
4
(
x
< br>
y
1)(
< br>x
y
4)
．
2
2
在例
5
中，如果仅看
x
y
与
x
5
x
4
，也可能导出不完全正确的算式
2
1
1
1
1
1
1
4
1
在用第三个十字
相乘时，可以发现第三列的
4
与
1
应当交换位置．
2
2
例
6
分解因式：
x
3
xy
2
y
2
x<
/p>
4
y
．
解
由算式
1
2
0
1
1
2
2
2
得
x
3
xy
2
y
2
x
4
y
(
x
2
y
)(
x
y
2)
．
6
．
4
能否分解
二元二次式并不是一定能分解的．
如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，
那么这
个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应
当先拟好答案，
即两个一
次因式，
然后
把它们相乘，
导出一个二元二次式．
换句话说，
应当先写出长十字相乘的算式，
然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元
二次式，那么多数是不能分解的．
例
7
m<
/p>
为什么数时，
x
2
7
xy
18
y
2
5
x
my
<
/p>
24
可以分解为两个一次因式的积？
2
2
解
对于多项式
x
7
xy
18
y
，由算式
1
1
7
9
2
第
34
页
共
34
对于多项式
x
5
x
24
，由算式
2
1
1
5
这两个算式可以拼成长十字相
乘
8
3
1
1
或
9
2
9
2
8
3
3
< br>
8
1
1
对第一个长十字相乘，有
9
3
(
2)
(
8)
43
，
而对第二个长十字相乘，有
< br>9
(
8)
(
2)
3
78
，
所以
，
m
43
或
m
78<
/p>
时，
x
2
7
xy
18
y
2
5
x
my
24
才可以分解，并且由第一个
长十字相乘，得<
/p>
x
2
7
xy
18
y
2
5
x
my
24
(
x
9
y
8)(
x
2
y
3)
，
由第二个长十字相乘，得
x
2
7
xy
18
y
2
5
x
my
24
(
x
< br>
9
y
3)(
x
2
y
8)
．
小
结
x
、
y
的二次式（
或
x
、
y
、<
/p>
z
的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长
< br>十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示
x
、
y
的二次齐次式、不含
x
的二
次式（或
y
、
z
的二次齐次式）与不含
y
的
二次式（或
z
、
x
的二次齐次式）的
因式分解．
习
题
6
将以下各式分解因式：
1
．
x
2
xy
y
< br>3
x
3
y
2
．
2
．
4
x
14
xy
6
y
7
x
y
2
．
3
< br>．
x
y
3
z
2
xz
4
yz
．
4
．
2
y
5
xy
2
x
ay
ax
a
．
5
．
a
3
b
3
c
10
bc
2
ca
2
ab
．
6<
/p>
．
2
a
7
ab
22
b
5
a
35
b
3
．
7
< br>．
x
2
y
3
z
xy
7
yz
2
xz
．<
/p>
8
．
2
x
6
y
3
z
xy
7
xz
7
yz
．
< br>
第
35
页
共
35
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
9
．
4
x
2
9
y
2
2
z
2
6
xz
3
yz
．
10
．
4
x
2
2
z
2
xy
9
x
z
2
yz
．
第
36
页
共
36
7
综合运用
我国古代名将岳飞说过：
“阵而后战，兵法之常，运用之妙，存
乎一心”
．因式分解也是
这样，学了前面的基本方法，还需要多
加练习，灵活运用．
7
．
1
善于换元
例
1
分解
因式：
x
28
x
27
．
解
如果把
x
记为
u
，那
么原式就成为
u
28
u
27
，由算式
3
6
3
2
1
1
1
27
28
得
u
28
u
27
u
1
u
27
，
2
所以
x
28<
/p>
x
27
=
x
3
1
x
3
27
2
2
=
x
1
x
x
1
x
< br>
3
x
3
x
9
．
6
3
其实，不一定
明确地把
x
改记为
u
< br>，只要把
x
看成一个字母就可以了．
例
2
分解因式：
x
4
< br>x
8
2
3
3
2
2
3
x
x
2
4
x
8
2
x
< br>2
．
解
我们把
x
4
x
8
看成一个字母，由算式
1
1
1
2
3
得
x
4
x
8
2
2
3
x
< br>x
2
4
x
8
2
x
2
2
=
x
4
x
8
x
x
2
4
x
8
2
x
=
x
2
5
x
8
x
2
6
x
8
2
=
x
2
x
4
x
5
x
8
．
这里对
x
6
x
8
再次用十字相乘分解因式，而
x
5<
/p>
x
8
在有理数
集内不能分解，
第
37
页
共
37
2
2
参见第
11
单元求根公式部分．
例
3
证明：四个连续整数的乘积加
1,<
/p>
是整数的平方．
证明
设这
四个连续整数为
x
1
、
x
2
、
x
3
、
x
4
，则
x
1
x
2
x
3
x
4
1
=
x
1
x
4
x
2
x
3
1
2
=
x
5
x
4
x
2
5
x
6
1
．
我们把
x
1
与
x
4
相乘
，
x
2
与<
/p>
x
3
相乘，<
/p>
好处是两个乘积不但二次项相同，
而且
一次项也是相同的．
把
x
5
x
< br>
5
看成
u
，这时
u
x
5
x
2
2
4
6
< br>，
2
得
x
1
x
2
x
3
x
4
1
=
x
5
x
5
1
x
5
< br>x
5
1
1
2
2
=
x
5
x
5
=
x
5
x
5
这是一个平方数．
2
2
1<
/p>
1
，
2
2
2
在
本
题
中
把
x
5
x
< br>或
x
5
x
4
看
成
一
个
字
母
也
是
可
以
的
，
但
切
勿
把
2
< br>x
1
x
2
x
3
x
4
<
/p>
1
全部乘出来写成
x
的四次式，那样做的结果是破坏了规律
性，难以下手．
例
4
分解因式：
4
x
5
x
6
x
10
x
12
<
/p>
3
x
．
2
解
第一项的四个因式以将
x
5
与
x
12
相乘、
x
6
与
x
< br>
10
相乘为好，
这时不仅二<
/p>
次项相同，而且常数项也相同，于是
4
x
5
x
6
x
10
x
12
3
x
2
2
=
4
x
17
x
60
x
2
16
x
60
3
x
2
=
4
x
16
x
60
x
x
16
x
60
3
< br>x
2
2
2
=
4
x
16
x
60
2
2
4
x
x
2
< br>16
x
60
< br>
3
x
2
=
2
x
16
x
60
x
2
x
16
x
60
3
< br>x
2
2
2
2
=
2
x
31
x
120
2
x
35
x
120
第
38
页
共
38
2
2
x
15
x
8
2
x
35
x
120
．
7
．
2
主次分清
【例
5
】分解因式：
a
b
ab
a
< br>c
ac
3
abc
b
c
bc
．
2
2
2
2
2
2
【解】
这个多项式是
a
、
b
、
c
的三次式，项数多，似乎无
从下手，解决它的方法却是
最基本的：把
a
当作主要字母，也就是把这个多项式看成
a
的二次式，按<
/p>
a
降幂排列整理为
2
2
2
2
2
b
c
a
b
c
3
bc
a
b
c
bc
，
2
然
后用十字相乘进行分解，这里的
“
常数项
”
为
b
c
bc
bc
b
c
．
2
由算式
1
b
c
b
c
bc
(
b
c
)
2
bc
b
2
c
2
3
bc
得，
a
b
ab
a
c
ac
3
ab
c
b
c
<
/p>
bc
2
2
2
2
2
b
c
a
b
c
< br>3
bc
a
b
c
bc
2
2
2
2
2
2
a
(
b
c
)
(
b
c
)
a
bc
a
b
c
ab
ac
bc
．
【注】这个问题还有一个解法，见
习题
9
第
3
题
．
2
2
【例
6
】分解因式：
y
y
1
x
1
<
/p>
x
2
y
2
y
1
．
2
2
【解】
这是
x
的二次式，原式化为
y
y
1
x
2
y
2
y
1
x
<
/p>
y
y
+1
．
由算式
y
y
1
y
1
y
2
2
y
y
1
2
y
2
< br>y
1
2
2
得，
y
y
1
<
/p>
x
1
x
2
y
2
y
1
2
2
y
y
1
x
2
y
2
y
< br>1
x
y
y
+1
2
yx
y
1
y
1
x
y
yx
y
1
yx
x
y
．
第
39
页
共
39
2
2
2
2
【例
7
】分解因式：
ab
x
y
a
b
<
/p>
xy
1
a
2
b
2
< br>
x
y
．
【解】
以
a
、
b
为主要
字母，这个多项式是
a
、
b
的二次齐次式，把它整理成
2
< br>2
2
2
b
xy
1
x
y
ab
x
y
a
x
y
xy
1
2
2
2
2
=
b
xy
x
y
1
ab
x
y
a
x
xy
< br>
y
1
2
2
2
2
x
y
1
y
1
ab
x
y
a
=
b
<
/p>
x
y
1
y
1
=
b
2
<
/p>
x
1
y
1
ab
x
2
y
2
a
2
x
1
y
1
．
（注：我们把
b
2
与
a
2
的系数分解是为了进行十字相乘，
ab
的系数不必分解）
由算式
x
1
y
1
y
1
x
1
x
2
1
y
2
1
x
2
< br>y
2
得，原式
=
x
1
b
y
<
/p>
1
a
y
1
b
x
1
a
=
bx
b
ay
a
by
b
ax
a
．
（注：这题按
a
降幂排列也未尝不可，但是首项系数有
一个负号）
7
．
3
一题两解
【例
8
】分解因式：
< br>x
2
a
b
x
3
a
10
ab
3
b
．
2
2
2
解法一
这是
x
的二次式，
“常数项”可分解为
3
a
10
ab
3
b
=
3
a
2
10
ab
3
b
2
=
3
a
b
a
3
b
．
再对整个式子运用十字相乘，由算式
1
3
a
b
1
a
3
b
a
3
b
3
a
b
< br>2
a
2
b
2
2
第
40
页
共
40
得
x
2
2
a
b
x
3
a
< br>2
10
ab
< br>
3
b
2
=
x
3
a
b
x
a
3
b
．
解法二
把
x
2
2
a
b
x
3
a
2
10
ab
3
b
< br>2
看成
x
、
a
、
b
的二次齐次式，
对它采用长
十字相乘，由算式
x
a
b
1
-1
3
1
3
-1
得
原式
=
x
a
3
b
x
3
a
b
< br>
．
7
．
4
展开处理
例
9
分解因式：
ax
< br>by
ay
bx
解
这道题必须展开处理．
ax
by
ay
bx
=
a
x
2
abxy
b
y
a
y
2
abxy
b
x
=
a
x
b
y
a
y
b
x
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
=
a
x
a
y
b
y
b
x
< br>
2
2
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
=
a
2
b
2
x
2
y
2
．
4
这个等式表明两个平方和的积仍然是平方和．
例
10
分解因式：
a
4
4
4
a
4
．
解
为更加对称起见，我们令
x
a
2
，
于是
a
4
a
4
4
4
4
=
x
2
x
2
< br>
4
4
4
4
=
x
4
x
4
2
< br>
x
2
2
4
x
4
4
4
2
4
2
3
2
4
2
3
2
4
=
x
16
x
16
8
x
8
x
32
x
x
16
< br>x
16
8
x
8
x
32
x
4
第
41
页
共
41
=
2
x
4
24
x
2
16
256
=
2
x
4
24
x
2
144
=
2
x
12
=
2
a
4
a
16
．
本例是以后第
11
单元例
12
的特殊情况．
3
3
3
3
3
3
3
3
3
例
11
分解因式：
xyz
x
y
z
y
z
z
x
x
y
．
<
/p>
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
解
xyz
x
y
z
y
z
z
x
x
y
=
x
4
yz
xy
4
z
xyz
4
y
3
z
3
z
3
x
< br>3
x
3
y
3
4
3
3
4
3
3
4
3
3
=
x
yz<
/p>
y
z
xy
z
x
y
xyz
z
x
2
< br>
4
2
2
3
2
3
2
=
yz
x
y
z
xy
yz
x
xz
yz
x
2
=
yz
x
yz
x
yz
xy
3
x
2
yz
xz
3
x
2
yz
< br>
2
2
3
3
=
x
yz
yz
x
yz
xy
xz
2
2
2
2
3
3
x
yz
y
z
xy
<
/p>
xz
=
x
yz
2
2
3
2
2
3
=
x
yz
x
yz
xy
y
z
xz
2
2
2
2
=
x
yz
xy
xz<
/p>
y
z
y
xz
< br>
2
2
=
x
yz
y
xz
z
2
xy
．
在这个例子中经过两次展开重新组合，每一组中的两项符号相反．以
后，第
10
单元有处理
这种“对称式”
的方法．
7
．
5
巧运匠心
例
12
分
解因式：
a
b
2
a
b
1
<
/p>
1
．
2
解
把前一项拆为两项，即
a
b
ab
1
1
2
=
a
b
ab
a
b
1
．
如果是
x
的二项式
2
第
42
页
共
42
2
a
b
abx
a
b
x
1
，
2
< br>2
那么可以用十字相乘来分解，由算式
a
a
b
-1
b
a
b
-1
a
a
b
b
a
b
< br>
a
b
2
得
a
b
abx
a
b
x
1
2
2
2
=
a
a
b
x
1
< br>
b
a
b
x
1
=
a
2
ab
1
ab
b
2
1
．
这个例子很有趣，<
/p>
有字母
x
时可以十字相乘，
没有
x
时反而不容易看出它也可以十字相
乘．
例
13
将
5
198
5
1
分解为三个大于
5
< br>100
的因数相乘．
，则
解
令
x
5
397
1985
1
5
5
=
x
1
4
3
2
=
x
1
x
x
x
x
< br>
1
．
［应用公式（
12
）
］
在
一般情况下，
x
x
< br>
x
x
1
是一个有理数集内的既约多项式．现在
< br>x
5
所
以
5
x
5
3
9
8
2
4
3
2
397
，
9
9
5
1
是
一
个
平
< br>方
数
．
在
这
一
特
殊
情
况
中
，
我
们
可
以
设
法
把
x
4
x
3
< br>x
2
x
1
化为两个代数式的平方差．如果前一个式的平方是
x
x
1
那么这时还剩下
x
4
x
3
x
2
x
1
< br>x
4
2
x
3
3
x
2
2
x
1
=
x
2
x
x
=
x
x
2
2
x
1
=
x
x
1
，
第
43
页
共
43
2
3
2
2
2
x
4
2
x
3
3
x
< br>2
2
x
1
，
这样处理不能获得两个代数式的平方差．
应当使后一项成为
5
x
x
1
，显然
5
x
x
1
< br>
是自然数的平方！这时，另一项为
< br>2
4
3
2
x
x
x
x
1
5
x
< br>
x
1
2
2
4
3
2
2
=
x
x
x
x
1
5
< br>x
x
2
x
1
=
x
x
x
x
1
5
< br>x
10
x
5
x
=
x
6
x
11
x
6
x
1
=
x
3
x
1
，
这是一个平方．
因此，可得
1985
1
5
4
3
2
3
2
4
3
2
2
< br>2
4
3
2
=
x
1
x
x
x
x
1
< br>2
2
2
=
x
1
x
3
x
1
5
x
< br>x
1
=
x
1
199
5
x
2
3
x
< br>1
x
1
2
2
2
199
2
199
x
3
x
1
5
x
1
< br>x
3
x
1
5
=
x
1
x
1
< br>
而且这三个因数都大于
5
100
．
小
结
每道复杂问题的解法都可以分为若
干步，
每一步都是一个简单的问题．
因此，
要解决复杂的问题，
首先要会解决简单的问题．
登高必自卑
，
行远必自迩．
彻底、
纯熟地掌握前面
所说的基本方法即提、代、分、拆、十字相乘等，
“难题”也就不
太难了．
为了确定解题的途径与步骤，
应当善于换元，
把某个多项式整个看作一个字
母，应当分清
主次，以一两个字母作主要字母，按主要字母降幂排列，将式子理
顺；必要时，应适当展
开括号或拆项，重新分组．当然“运用之妙，存乎一心”
，
要根
据情况，注意规律，巧运匠心，不可执一不化，生搬硬套．
第
44
页
共
44
除了前面所说的基本方法，
x
的一元多
项式
f
x
可以用第
8
单元的方法求
出它的一次因式；
x
、
y<
/p>
、
z
的轮换式可以用第
< br>10
单元的方法分解；第
9
单元
介绍待定系数法，可以确定
x
的四次多
项式的二次因式；第
11
单元介绍实数集
2
与负数集内的分解以及如何判定
x
的多项式是否有二次因式
x
x
1
．
在因式分
解中，应当分清问题的类型，选用适当的方法．
< br>最后，
必须注意分解到底，
即应当把原式分解为既约多项
式的乘积，
不能半
途而废．
在
12
单元将介绍判别一个多项式是否为既约多
项式的方法．
习
题
7
将以下各式分解因式：
1
、
x
10
x
y
9
< br>y
．
2
、
x
19
x
y
216
y
．
3
、<
/p>
x
2
a
b
4
4
2
2
4
6
3
3
6
2
2
x
a
2
2<
/p>
b
2
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
、
x
y
a
b
4
abxy
4<
/p>
xy
a
b
ab
x
y
．
2
2
5
、
ax
b
y
ay
bx
ay
ax
b
y
ay
bx
ay
．
6
、
1
y
2
x
1
y
< br>2
2
2
2
2
x
1
y
．
4
2
2
2
2
2
7
、
abcx
a
b
c
x
abc
．
8
、
a
b
x
<
/p>
2
ax
a
b
．
2
9
、
x
a
< br>b
c
x
a
b
c
．
2
10
、
a
bc
ac
acd
abd<
/p>
cd
d
．
11
、
x
4
x
2
a
2
1
a
2
．
2
2
2
第
45
页
共
45