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2021年2月12日发(作者：怎样测儿童智商)

因式分解教案

课

题

教学目标

教学重点

教学难点

教学方法

因式分解的几种方法

十字相乘法因式分解

因式分解

掌握因式分解，提取公因式，平方差，完全平方法

学习内容与过程

一、知识梳理

1

、因式分解的概念

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式

因式分解

.

注

：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“ 积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互

为相反的变形过程，因些常用整式乘法来 检验因式分解

.

2

、提取公因式法

< br>把

ma



mb

< br>

mc

，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各 项的公因式

m

，另一个因式

(

a



b



c

)

是

ma



mb



mc

除以

m

所得的商，像这种分解因式的方法叫做

提公因式法

.

用式子表求如下：

ma



mb



mc



m

< br>(

a



b



c

)

注：

i

多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式

.

ii

公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂

.

3

、运用公式法

把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做

运用公式 法

.

ⅰ）平方差公式

a

2



b

2

< br>

(

a



b

)(

a



b

)

注意：

①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的

a

、

b

可以表示一个数 、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多 项式表示成

a

2



b

2

的形式，并弄清

a

< p>
、

b

分别表示什么

.

ⅱ）完全平方公式

a

2



2

ab



b

2



(

a



b

)

2

,

a

2< /p>



2

ab



b

2



(

a



b

)

2

注意：

①是关于某个字 母（或式子）的二次三项式；

②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

< br>③中间项恰是这两数乘积的

2

倍（或乘积

2

倍的相反数）

；

④

使

用

前

应

根

据

题

< br>目

结

构

特

点

，

按

“

先

两

头

，

后

中

间

”

的

步

骤

，

把

二

次

三

项

< br>式

整

理

成

a

2



2

a b



b

2

< /p>

(

a



b

)

2

公式原型，弄清

a

、

b

分别表示的量

< br>.

补充：

常见的两个 二项式幂的变号规律：

①

(

a



b

)

2

n



(

< br>b



a

)

2

n

；

②

(

a



b

)

2

n



1





(

b



a

)

< br>2

n



1

．

（

n

为正整数）

< br>

4

、十字相乘法

< p>
借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做

十字相乘法

.

对于二次项系数为

l

的

二

次

三

项

式

5

、分组分解法

2

2

定义：分组分解法， 适用于四项以上的多项式，例如

a



b



a



b

没有公因式，又不能直接利用分

x

2



px



q

,

寻

找

< p>
满

足

ab



q

,

a



< br>b



p

的

a

、

b

，

则

有

x

2



px



q



x

2



(

< p>
a



b

)

x



ab



< br>(

x



a

)(

x



b

);

式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多 项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因

式的目的。例如：

2

2

a

2



b

2



a



b

=

(

a



b

< br>)



(

a



b

)



(

a



b

)(< /p>

a



b

)



(

a



< p>
b

)



(

a



b

)(

< br>a



b



1)

，

这种利用分组来分解因式的方法叫

分组分解法

.

原则：

用分组分解法把多项式分 解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式

.

6

、求根公式法：

如果

ax

2



bx



c



0

(

a



0

),

有两 个根

x

1

,

x

2

，那么

a x

2



bx



c



a

(

x



x

1

)(

x



x

< p>
2

).

小结：

1

、

因式分解的意义

左边

=

右边

↓

↓

多项式

整式×整式（单项式或多项式）

2

、

因式分解的一般步骤

第一步

第二步

1

2

3

提取公因式法

看项数

两项式：平方差公式

三项式：完全平方公式、十字相乘法

四项或四项以上式：

分组分解法

3

、多项式有因式乘积项

→

展开

→

重新整理

→

分解因式

二、典型例题及针对练习

考点

1

因式分解的概念

例

1

、

在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？

< p>
⑴

(

x



3)(

x



3)



x

2



< br>9

；

⑵

x

2



5

x



24



(

x



< p>
3)(

x



8)

；

⑶

x

2



2

x

< br>

3



x

(

x



2)



3

；

⑷

x



1



x

(

x



)

.

注

< p>
：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是

n

个整式的积与某项的和差形式

..

2

1

x

考点

2

提取公因式法

例

2

⑴



8

x

4

y



6

x

3

y

2



< br>2

x

3

y

；

⑵

x

(

x



< br>y

)

2



2(

y



x

)

3

解：

注：

提取 公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”

号，使括号内的第一项系数为正

.

提出公因式后 得到的另一个因式必须按降幂排列

.

[

补例练习

]1

、

⑴

< br>45

a

b

c



9

a

bc



54

a

b

c

；

⑵

(

a



b

)< /p>

4



a

(

a



b

)

< p>
3



b

(

b



a

)

3

考点

3

、运用公式法

< br>

例

3

把下列式子分解因式：

2

< p>
2

⑴

36

a



4

b

；

< br>

⑵

2

x



2

3

2

2

2

< br>2

1

2

y

.

2

解：

注

：能用 平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式

.

注意多 项式有公因式时，首先考虑提取公因式，

有时还需提出一个数字系数

.

例

4

把下列式子分解因式：< /p>

2

2

⑴



x



4

< p>
y



4

xy

；

⑵

a

b



18

a

b



81

a

b

.

5

4< /p>

3

3

5

解：

注

：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时 需对所给的

多项式作一些变形，使其符合完全平方公式

.

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