因式分解掌握方法与技巧
-
因
式
分
解
一、因式分解的技巧
：
1.
首选提取公因式法：即首先观
察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提
取公因式，再考虑其他方法。
2.
当多项式各项
无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。
（
1
）当项数为两项或可看作两项时，
考虑利用平方差公式［
a
2
－
b
2
＝（
a
＋
b
）（
a
－
b
）］。
（
2
< br>）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、
配方法。<
/p>
（
3
）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。
a.
当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。
b.
当项数为四项以
上时，
可按次数分组，
即可将次数相同的项各分为一组。
3.
以上两
种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后
再分解。
二
.
因式分解的方法：
（一）提公因式法
<
/p>
方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因
< br>式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例
1.
分析：
此多项式各项都有公因式
x
，因此可提取公因式
x
。
< br>
解：
（二）应用公式法
<
/p>
方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两
< br>项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。
例
2.
分析：
此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公
式分解。<
/p>
解：
例
3.
分析：
此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公
式分解。<
/p>
解：
（三）分组分解法
<
/p>
方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的
< br>是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因
式的
目的。下面介绍八种常见的思路：
1.
按公因式分组：
例
4.
分析：
此题有四项，考虑将它们分组，其中第
1
、
2
项有公因式
m
，第<
/p>
3
、
4
项有公因
式
p
，可将它们分别分为一组。
解：
2.
按系数特点分组：
例
5.
分析：
由观察发现，<
/p>
由系数特点第一、
二项和第三、
四项的系
数比为
1
：
2
，
所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项
分为一组。
解：
3.
按字母次数特点分组：
例
6.
分析：
此题有一次项，
也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一
组。
解：
4.
按公式特点分组：
例
7.
分析：
此题可将第
2
、
3
、
4
项分为一组，运用完全平方公式，再从整体
上
运用平方差公式。
解：
5.
拆项分组：
例
8.
分析：
为了便于运用乘法公式，可将
-
3
拆成
-
4<
/p>
＋
1
，再适当分组，达到因
式分解的目的。
解：
6.
添项分组：
例
9.
分析：
解：
7.
换元分组：
例
10.
< br>分析：
观察代数式中的
x
＋
y
，
xy
可考虑用
换元法，使之结构简化，再分
组。
解：
，则
8.
按主元分组：
例
11.
分析：
题中的多项式是
关于
x
的三项式排列的，按其结构分解有一定的难
度，可考虑换个角度，选定
a
为主元，即整理为关于
a
的多项式。
解：
（四）利用特殊值法
方法介绍：比如说将
2
或
10
这些特殊值代入字母，比如说<
/p>
x
，求出一个
数
P
，然后将数
P
分解质因数，将质因数
适当的组合，并将组合后的每一个因
式写成
2
< br>或
10
的和与差的形式，
将
2
或
10
还原成<
/p>
x
，
即可得因式分解的式子。
例
12.
解：
令
x
＝
2
，则
< br>