北师大版八年级数学下2019-2020寒假班 第5讲 因式分解 - 基础班
-
第
5
讲
因式分解
提公因式法
公式法
因式分解
分组分解法
十字相乘
法
知识点
1
提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化成几个
整式积的形式，
叫做把这个多项式因式分解，
也叫做把这个多项
式分解因式
.
要点诠释：
（
1
）
因式分解只针对多
项式，
而不是针对单项式，
是对这个多项式的整体，
而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式
.
（
2
）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止
.
（
3
）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆
.
因式分解是一种恒
等变形，而整式乘法是一种运算
.
二、公因式
多项式的各项中都含有相
同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式
.
要点诠释：<
/p>
（
1
）公因式必须是每一项中都含有的因
式
.
（
2
）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式
.
（
3
）
公因式的确定分为数字系数和字母两部分：
①公因式的系数是各项系数
的最大公约数
.<
/p>
②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
.
三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，
其中一个因式是各项的公因式
m
，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以
m
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：<
/p>
（
1
）提公因式法分解因式实际上是逆用
乘法分配律，
即
.
（<
/p>
2
）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式
.
（<
/p>
3
）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括
号内的
第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号
.
（
4
）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和
为零，则提取公因式后，该项变为：
“＋
1
< br>”或“－
1
”
，不要把该项漏<
/p>
掉，或认为是
0
而出现错误
.
小试牛刀
1
．
（
2018•
崇安区一模）分解因式
x
3
+
4x
的结果是（
）
1 <
/p>
A
．
x
（
x
2
+
4
）
B
．
x
（
x
+
2
）
（
x
﹣
2
）
C
．
x
（
x
+
2
）
2
D
．
x
< br>（
x
﹣
2
）
2
2
．
（
2017
秋
•
孝感期末）下面运算正确的是（
）
A
．
3ab
+
3ac=6abc
3
．
（
2017
秋
•
苍溪
县期末）将﹣
a
2
b
< br>﹣
ab
2
提公因式后，另一个因
式是（
）
A
．
a
+
2b
4
．
（
2017
秋
•<
/p>
江夏区期末）把
8m
2
< br>n
﹣
2mn
分解因式（
）
A
．
2mn
（
4m
+
1
）
B
．
2m
< br>（
4m
﹣
1
）
C
．
mn
（
8m
﹣
2
）
D
．<
/p>
2mn
（
4m
﹣
1
）
B
．﹣
a
+
2b
C
．﹣
a
﹣
b
D
．
a
﹣
2b
B
．
4a
2
b
﹣
4b
2
a=0
C
．
2x
2
+
7x
2
=9x
4
D
．
3y
2
﹣
2y
2
=y
2
再接再厉
5
．
（
2018•
潍坊）因式分解：
（
x
+
2
）
x
﹣
x
﹣
2=________
．
6
．
（
2018•
杭州）因式分解：
（
a
﹣
b
）
2
﹣（
b
﹣
< br>a
）
=______
．
7
．
（
2018•
繁昌县二模）因式分解：
（
2a
+
b
）
2
﹣
2b
（
2a
+
b
）
=_______
．
8
．
（
2018•
连山区一模
）分解因式：
2a
2
﹣
8a=_______
．
9
．
（
201
8•
长春模拟）分解因式：
2xy
﹣<
/p>
6y=______
．
知识点
2
公式法
2
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
a
2
b
2
a
b
a
b
要点诠释：
（
1
）逆用乘法公
式将特殊的多项式分解因式
.
（
2
）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）
的平方，且符号相反，右边
是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积
.
（
3
）套用公式时
要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a
、
b
可以是字母，也可以
是单项式或多项式
.
二、公式法——完全平方公式
两个数
的平方和加上（减去）这两个数的积的
2
倍，等于这两个数的和
（差）的平方．
即
a
2
2
ab
< br>
b
2
a
b
，
a
2
2
ab
b
2
a
b
.
形如
a
2
2
ab
b
< br>2
，
a
2
2
ab
b
2
的式子叫做完全平方式
.
要点诠释：
（
1
）逆
用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（
2
）完全平方公式的特点：左边是二
次三项式，是这两数的平方和加（或
减）这两数之积的
2
倍
.
右边是两数的和（或差）的平方
.
（
3
）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使
用条件
.
（
4
）套用公式时要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a
、
b
可以是字母，也可以
是单项式或多项式
.
2
2
小试牛刀
1
．
（
2018•
太原一模）将（
x
+
3
）
2
< br>﹣（
x
﹣
1
）
2
分解因式的结果是（
）
A
．
4
（
2x
+
2
）
B
．
8x
+
8
C
．
8
（
x
+
1
）
2
．
（
201
8•
十堰模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的是（
）
A
．
x
2
+
y
2
3
．
（
2018•
钦州三模）对多项式
x
2
﹣
2x
+
1
因式分解，结果正确的是（
< br>
）
A
．
（
x
+
1
）
2
B
．
（
x
+
1
）
（
x
﹣
1
）
< br>
C
．
（
x
﹣
1
）
2
4
．
（
2017<
/p>
秋
•
利川市期末）分解因式
x
4
﹣
1
< br>的结果是（
）
3
D<
/p>
．
（
x
+
1
）
（
x
﹣
2
）
B
．﹣
x
2
< br>﹣
y
2
C
．﹣
x
2
+
y
2
D
．
x
2
﹣
y
3
D
．
4
（
x
+
1
）
A
< br>．
（
x
+
1
）
（
x
﹣
1
）
B
．
（
x
2
+
1
）
（
x
2
﹣
1
< br>）
C
．
（
x
2
+
1
）
（
x
+
1<
/p>
）
（
x
﹣
1
）
D
．
（
x
+
1
）
2
（
x
﹣
1
）
2
再接再厉
5
．
（
2018
春
•
苏州期中）下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（
）
A
．
a
2
﹣
b
2
+
2ab
B
．
a
2
+
b
2
+
ab
C
．
25n
2
+
15n
+
9
D
．
4a
2
+
12a
+
9
6
．
（
2018
春
•
金华期中）
下列各式中
，
不能完全用平方公式分解的个数为
（
）
①
x
2
﹣
10x
+
25
；②
4a<
/p>
2
+
4a
﹣
1
；③
x
2
﹣
2x
﹣
1
；④
m
2
﹣
m
+
；⑤
4x
4
﹣
x
2
+
．
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
7
．
（
2018•
株
洲）因式分解：
a
2
（
a
﹣
b
）﹣
< br>4
（
a
﹣
b
）
=______
．
8
．
（
2018•
南海区校级二模）
已知
a
与
b
互为相反数，<
/p>
则代数式
a
2
+
2ab
+
b
2
﹣
2018
的值为
______
．
9
．
（
2018•
井
研县模拟）分解因式：
（
y
+
2x
）
2
﹣（
x
+
2y
）
2
=______
．
10<
/p>
．
（
2018
春
•
宿豫区期中）把下列各式因式分解：
（
1
）
a
4
﹣
1
（
2
）
（
x
+
2
）
< br>（
x
+
4
）
+
x
2
﹣
4
11
．
（<
/p>
2018
春
•
天
心区校级期中）因式分解：
4
（<
/p>
1
）
x
2
+
2xy
2
+
2y
4
；
（
2
）
4b
2
c
2
﹣（
b
2
+
c
< br>2
）
2
；
（
3
）
a
（
a
2
﹣
1
）﹣
a
2
+
1
；
（
4
）
（
a
+
1
）
（
a
﹣
1
）﹣
8
．
12
．
（
2017
春
•
天宁区校级月考）
x
4
﹣
18x
2
y
2
+
81y
4
．
知识点
3
分
组分解法
对于一个多项式的整体，
若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，
可考虑<
/p>
分步处理的方法，
即把这个多项式分成几组，
先对各组分别分解因式，
然后再对整体作因式
分解——分组
分解法
.
即先对题目进行分组，然后再分解因式
.
要点诠释：
分组分解法分解因式常用的思路有：<
/p>
方法
分类
分组方法
二项、二项
三项、一项
五项
三项、二项
三项、三项
二项、二项、二项
三项、二项、一项
特点
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
先完全平方公式后平方差公式
各组之间有公因式
各组之间有公因式
可化为二次三项式
四项
分组
分解
法
六项
小试牛刀
1
．
（
2018•
甘肃模拟）分解因式：
b
2
﹣
ab
+
a
﹣
b=________
．
2
．
（
2018
春<
/p>
•
郯城县期中）分解因式：
a
2
+
2ab
+
b
2
﹣
4=
_________
．
5