专题研究因式分解总结归纳及典型例题
-
分解因式专题突破
第一部分：专题介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之
中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与
技巧，
不仅是掌握因式分解内容所必需的，
而且
对于培养学生的解题技能，
发展学生的思维
能力，都有着十分独
特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分
组分解法和十字相
乘法．
本专题在中学数学教材基础上，
对因式分解的方法、
技巧和应用作
进一步的介绍．
第二部分：知识总结
1
．
定义：
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
2
、注意事项
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，
它和整式乘法互为逆运算，
在初
中代数中占有重要的地位和作用，
在其
它学科中也有广泛应用，
学习本章知识时，
应注意以
下几点。
（
1
）
因式分解的对象是多项式：
如把
5
a
2
bc
分解成
5
a
abc
就不是分解因式，
因为
5
a
2
bc
不是多项式；再如：把
不是整式；
1
1
1
1
1
1
是分式，<
/p>
(
1)(
<
/p>
1)
分解为
也不是分解因式，因为
x
2
x
2
x
x
（
2
）
分解因式的结果必须是积的形式：
如
x
2
< br>x
1
x
(
x
1
)
1
就不是分解因式，
因为
结果
x
(
x
1)
1
不是积的形式；
（
3
）分解因式结果中每个因式都必须是整
式，如：
x
x
x
(1
)
就不是分解因式，
因为
x
(1
)
是分式，不是整
式；
（
4
）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
（
5
）公
式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
（
6
）
结果如有相同因式，应写成幂的形式；
（
7
）题
目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
2
2
2
1
x
1
x
3
、搞清分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是两种相反方
向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，
例如：
整式乘法
m
(
a
b<
/p>
c
)
ma
mb
mc
分解因式
因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确．
4
、注意分解因式的一般步骤
（
1
）通常采用一“提”
、二“公”
、三“分”
、四“变”的步骤。即首先看有无公
因式可提，
其次看能否直接利用乘法公式；
如前两个步骤都不能
实施，
可用分组分解法，
分组的目的是
使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（
2
）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、
试除法、拆项（添
项）等方法；
分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止．
为了便于记忆请同学们记住以下
“顺口溜”
：
“分解因式并不难，首先提取公
因式，然后考虑用公式，两种方法反复试，结果必是连乘积”
，请同学们还要注
意“反复试”的目的，就一直分解到每个因式都不能再分解为止，然后检查分解
因式的结果是否正确，也可以简记为“一提二公三查”
．
第三部分：方法介绍
1
．提公因式法
如果一个多项式的各项都含有公因式，
那么就可以把这个公因式提出来，
从
而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法
．
这种方法实质上是逆用乘法分配律．
要正确应用提公因式法，必须注意以下几点：
（
1
）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下：<
/p>
首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数；
其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式
9
x
2
y
18
x
2<
/p>
y
12
x
2
y
2
z
，各项系数的最大公约数是
3
，各项中都含有的
字母
是
x
,
y
,
z
，
x
的指数取最低的２，
y
的指数取最低的１因
此公因式是
3
x
2
y
．
（
2
）如果多项式首项是“－”号，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项
的
系
数
是
正
的
；
在
提
出
“
－
”
号
时
，
多<
/p>
项
式
的
各
项
都
要
变
号
，
如
：
2
2
2
7
x
2
y
9
x
y
<
/p>
(
2
7
x
y
9
x
2
=
y
)
9
x
y
(
3
x
y
．
)
<
/p>
（
3
）
当某项全
部提出后，
剩下的是
1
，
而不是
0
，
如：
m
2
mn
m
m
< br>(
m
n
1)
，
而不能发生
m
2
mn
< br>
m
m
(
m
n
)
的错误．
专项训练一、把下列各式分解因式。
1
、
nx
n
y
2
、
a
2
ab
3
、
4
x
3
6
x
2
4
、
8
m
2
n
2
mn
5
、
25
x
2
y
3
< br>15
x
2
y
2
6
、
12
xyz<
/p>
9
x
2
y
2
7
、
3
a
2
y
3
ay
6
y
8
、
a
2
b
5
ab
9
b
9
、
x
2
xy
xz
10
、<
/p>
24
x
2
y
12
xy
2
28
y
3
11
、
3
ma
3
6
ma
2
12
ma
12<
/p>
、
56
x
3
yz
14
x
2
y
2
z
21
xy
2
z
2
13
、
15
x
3
y
2
5
< br>x
2
y
20
x
2
y
3
14
、
16
x
4
32
x
3
56
x
2
专项训练二：把下列各式分解因式。
1
、
x
(
a<
/p>
b
)
y
(
a
b
)
2
、
5
x
(
x
y
)
2
y
(
x
< br>y
)
3
、
6
q
(
p
q
)
4
p
(
p
q
)
4
、
(
m
n
)(
P
q
)
(
m
n
)(
< br>p
q
)
5
、
a
(
a
b
)
(
a
b
)
2
6
、
x
(
x
y
)
2
y
(
x
< br>
y
)
7
、
(2
a
b
)(2
a
3
b
)
<
/p>
3
a
(2
a
b
)
8
、
x
(
x
y
)(
x
y
)
x
(
x
y
)
2
9
、
p
(
x
<
/p>
y
)
q
(
y
x
)
10
、
m
(
a
3)
2(3
a
)
11
、
(
a
b
)(
a
b
)
< br>
(
b
a
)
12
、
a<
/p>
(
x
a
)
b
(
a
x
)
c
(
x
a
)
13
、
3(
x
1)
3
y
(1
x
)<
/p>
3
z
14<
/p>
、
ab
(
a
b
)
2
a
(
b
a
)
< br>2
15
、
mx
(
a
b
)
nx
(
b
a
)<
/p>
16
、
(<
/p>
a
2
b
)(2
a
3
b
)
5
a
(2
b
a
)(3
b
2
a
)
< br>17
、
(3
a
< br>
b
)(3
a
< br>
b
)
(
a
b
)
(
b
3
a<
/p>
)
18
、
a<
/p>
(
x
y
)
2
b
(
y
x
)
19
、
< br>x
(
x
y
)
2
2
(
y
x
)<
/p>
3
(
y
x
)
2
20
、
(<
/p>
x
a
)
3
(
x
b
)
(
a
x
)
2
(
b
x
)
2
．运用公式法
把乘法公式反过来，
就可以用来把某些多项式分解，
这种分
解因式的方法叫
运用公式法．
（
1
）平方差公式
a
2
b
2<
/p>
(
a
b
)(
a
b
)
，
即两个数的平方
差，
等于这两个数的和与这两个数的差
的积运用平方差公式，应
注意：
①熟记公式特征：
公式的右边
是这两个二项式的积，
且这两个二项式有一项完全
相同，另一项
互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项
的平方减去互为相反数
的一项的平方．
②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单
项式，也可以表示多项式，如：
(
x
y
)
2
(
x
y
)
2
[(
x
y
)
(
x
y
)][(
x
< br>
y
)
(
x
y
)
]
2
x
(<
/p>
2
y
)
4
xy
（其中
x
y
相当于公式中的
a
，
x
y
相当于公式中的
< br>b
）
．
（
2
）完全平方公式
a
2
2
< br>ab
b
2
(
a
b
)
2
，即两个数的平方和加上（或减
去）这两个数的积的
2
倍，
等于这两个
数的和（或差）的平方．
运用平方差公式，应注意：
①熟记公
式特征：右边是两数和（或差）的平方，左边是前平方（
a
2<
/p>
）
、后平方
（
b
2
）
、二倍之积在中央（
2
ab
）
．
②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式
，也可以表示多项式，如：
(
x
y
)
2
4(
x
y
)
4
[(
x
< br>y
)
2]
2
(
x
y
2)
2
，
（其中
x
y
相当于公式中的
a
< br>，
2
相当于公式中的
b
）
．
③结果的符号应与第二项符号相同．
在整式的乘、
除中，
我们学过若干个乘法公式，
现将其反向使用，
即为因式分解中常用的公式，例如：
（
1
）
(a+b)
(a-b) =
a
2
-b
2
---------a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
；
（
2
）
(a
±
b)
2
= a
2
±
2a
b+b
2
———
a
2
±
2ab+b
2
=(a
±
b)
2
；
< br>
（
3
）
(a+b)(a
2
-ab+b
2
) =a
3
+b
3
------ a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
；
（
4
）
(a-b)(a
2
< br>+ab+b
2
) =
a
3
-b
3
------a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
．
（
5
）
a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
2
；
（
6
）
a
3<
/p>
+b
3
+c
3<
/p>
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-a
b-bc-ca)
；
例
1.
把下列各式分解因式：
(1)x
－
4y
(2)
2
2
1
2
a
3<
/p>
b
2
3
4
2
(3)
(
2
x
y
)
(<
/p>
x
2
y
)
(4)
4(x
-
y)
(
y
x
< br>)
例
2.
把下列各式分解因式：
(1)
< br>
x
4
x
4
(2)
3x
6x
3x
2
2
3
2
2
(3)
10
2
15
12
9
2
p
10
p
（
4
）
0
.
16
x
2
< br>
xy
y
3
2
25
25
2
2
因式分解
< br>(
运用公式法
):
(1)<
/p>
16
a
b
1
2
2
(2)
x
y
81<
/p>
4
4
2
(3
)
(
2
x
<
/p>
y
)
(
x
2
y
)
(4)
x
12
x
< br>
36
2
2
(5)
25
a
b
2
0
ab
4
(6)
2
1
2
2
m
1
<
/p>
m
9
3
2
2
2
(7)
a
b
2
a
b
< br>
1
(8)
(
x
48<
/p>
)
64
x
（
9
）
4
x
y
x
< br>2
y
2
2
（
11
）
6
x
y
z
2<
/p>
2
2
（
10
）
4<
/p>
xy
4
x
y
y
9
（
12
）
<
/p>
x
x
6
x
x
9
2
2
2
3
2
2
2
（
13
）
m
n
4
m
n
1
（
14
）
< br>3
a
12
a
2
12
a
3
2
3
、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
分析：
从
“整体”
看，
这个多项式的各项既没有公因式可提，
也不能运用公式分解，
< br>但从
“局
部”看，这个多项式前两项都含有
a
，后两项都含有
b
，因此
可以考虑将前两项分为一组，
后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式
=
(<
/p>
am
an
)<
/p>
(
bm
bn
)
=
a
(
m
n
)
b
(
m
n
< br>)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n
)(
a
b
)
例
2
、分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式
=
(
2
ax
10
ay
)
(
5
by
bx
)
原式
=
(<
/p>
2
ax
bx<
/p>
)
(
10
ay
5
by
)
=
2
a
(
x
5
y
)
b
(
x
< br>
5
y
)
=
x
(
2
a
b
)
5
y
(
2
< br>a
b
)
=
(
x
5
y
)(
2
a
b
)
=
(
2
a
b
)(
x
5
y
)
2
练习：分解因式
< br>1
、
a
ab
ac
bc
2
、
xy
x
y
1
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解因式：
x
y
ax
ay
分析：若将第一、三项分为一组
，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能
继续分解，所以只能另外分组
。
解：原
式
=
(
x
<
/p>
y
)
(
ax
ay
)
=
(
x
y
)(
x
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y
)(
x
y
a
)
2
2
2
例
4
、分解因式：
a
2
ab
b
c
2
2
2
2
解：原式
=
(
a
2<
/p>
ab
b
)
c
=
(
a
b
)
c
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
2
2
2
2
2
<
/p>
练习：分解因式
3
、
x
x
9
y
3
y<
/p>
4
、
x
y
z
2
yz
3
< br>2
2
3
2
2
综合练习：
（
1
）
x
x
y
xy
y<
/p>
（
2
）
ax
bx
bx
ax
a
b
2
2
（
3
）
x
6
xy
9
y
16
a
8
a
< br>
1
（
4
）
a
6
ab
12
b
9
b
4
a
4
3
2
（
5
）
a
2
a
a
9
（
6
）
4
a
x
4
a
y
b
< br>x
b
y
2
2
（
7
）
x
2
xy
xz
yz
y
（
8
）
a
2
a
b
2
b
2
ab
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
（
9
）
y
(
y
2
)
(
m
1
)(
m
1
)
（
10<
/p>
）
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
b
2
< br>a
)
3
3
3
（
11
）
a
(
b
c
)
b
(
a
c
)
c
(
a
b
)
2<
/p>
abc
（
12
）
a
b
c
3
abc
4
、十字相乘
法
.
2
2<
/p>
2
【基础知识精讲】
< br>（
1
）理解二次三项式的意义；
（
2
）理解十字相乘法的根据；
（
3
）能用十字相
乘法分解二次三项式；
（
4
）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为
1
的二次三项式的十字相乘法．
【重点难点解析】
（
1
）二次三项式
多项式
ax
bx
c
，称为字母
x
的
二次三项式，其中
ax
称为二次项，
b
x
为一次
项，
c
为常数项．例如，
x
2
x
3
和
x
5
x
6
都是关于
x
< br>的二次三项式．
在多项式
x<
/p>
6
xy
8
y
中，如果把
y
看作常数，就是关于
x
的二次三项式；
如果
把
x
看作常数，就是关于
y
的二次三项式．
2
2
在多项式
2
a
b
7
ab
3
中，把
a
b
看作一个整体，即
2
(
ab
)
7
(
ab
)
< br>3
，就是
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
关于
ab
的二次三项式．
同样，
多项式
(
x
y
)
7
(
x
y
)
< br>12
，
把
x
＋
y
看作一个整体，
就是关于
x
＋
y
的二次三项
式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．
（
2
）十字相乘法的依据和具体内容
对于二次三项式
x
2
px
q
，如果能够把常数项
q
分解成两个因数
a
、
b
的积，并且
a+b
等
< br>于
一
次
项
的
系
数
p
，
那
么
它
就
可
以
分
解
因
式
，
即
x
2
px
q
x
2
a
b
x
<
/p>
ab
x
a
x
b
。可以用交叉
线来表示：
+
a
x
x
+
b
十字相乘法的定义：
利用十字交叉来分解系数，
把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘
法。
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用
(
ax
＋
b
)(
cx
＋
d
)
竖
式乘法法则．它的一般规律
是：
（<
/p>
1
）
对于二次项系数为
< br>1
的二次三项式
x
px
q
，
如果能把常数项
q
分解成两个因
数
a
，
b
的积，并且
a
＋
b
为一次项系数
p
，那么它就可以运用公式
< br>
2
x
2
(
a
b
)
x
ab<
/p>
(
x
a
)(
x
b
)
分解因式．这种
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
．公式中的
x
可以表示单项
式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个
同号因数的积，因式的符
号与一次项系数的符号相同；
当常数项
为负数时，
把它分解为两个异号因数的积，
其中
绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（
2
）
对于二次项系数不是
1
的二次三项式
ax
<
/p>
bx
c
(
a
，
b
，
c
都是整数且
a
≠
0)
来说，
如果存在四个整数
a
1
,
a
< br>2
,
c
1
,
c
2
，使
a
1
a
2<
/p>
a
，
c
1
c
2
c
，且
a
1
c
2
< br>a
2
c
1
b
，
2
那么
ax
b
x
c
a<
/p>
1
a
2
x
(
a
1
c
2
a
2
c
1
)
x
c
1
c
2
(
a<
/p>
1
x
c
1
)(
a
2
x
c
2
)
它的特征
2
2
是“拆两头，凑中间”
，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数
是
1
的情况复
杂，因此，一般要借助“
画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为
了减少尝试次数，使符号问
题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项
系数为正数，然后再看常数项
；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与
一次项系数的符号相同；常数项
为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两
数之积绝对值较大的一组与一次项
系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意
避免以下两种错误出现：一是没有认
真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系
数；二是由十字相乘写出的因式漏写字
母．如：
5
x
6
xy
8
y
(
x
<
/p>
2
)(
5
x
4
)
（一）二次项系数为
1
的二次三项式
直接利用公式——
x
(
p
q
)
x
pq
(
x
p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：
（
1
）二次项系
数是
1
；
（
2
）常数项是两个数的乘积；
（
3
）一次项系数是常
数项的两因数的和。
2
2
2
思考：十字相乘有什么基本规律？
例
1.
已知
0
＜
a
≤
5
，且<
/p>
a
为整数，若
2
x
3
x
<
/p>
a
能用十字相乘法分解因式，求符合条件
的
a
.
2
解析：凡是能十字相乘的二次三项
式
ax
2
+b
x+c
，都要求
< br>b
2
4
ac
>0
而且
是一个完全平方数。
于是
9
8
a
为完全平方数，
a
1
2
例
2
、分解因式：
x
5
x
<
/p>
6
分析：将
6
分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5
。
由于<
/p>
6=2
×
3=(-2)
< br>×
(-3)=1
×
6=(-1)
×
(-6)
，从中可以发现只有
2
×
3
的分解适合，
即
2+3=5
。
1
2
2<
/p>
解：
x
5
x
6
=
x
(
2
3
)
x
< br>
2
3
1
3
2
=
(
x
2
)(
x
3
)
1
×
2+1
×
3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，
且这
两个因数的代数和要等于一
次项的系数。
2
例
3
、分解因式：
x
7
x
6
<
/p>
解：原式
=
x
[(
1
)<
/p>
(
6
)]
x
(
1
)(
6
)
1
-1
=
(
x
1
)(
x
6
)
1
-6
（
-1
）
+
（
-6
）
= -7
2
2
2
练习<
/p>
5
、分解因式
(1)
x
14
x
24
(2)
a
15
a
36
(3)
x
4
x
5
2
2
2
练习
6
、分解因式
(1)
x
x
2
<
/p>
(2)
y
2<
/p>
y
15
(3)
x
10
x
<
/p>
24
2
（二）二次项系数不为
1
的二次三项式——
ax
bx
c
条件：
（
1
）
a
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
a
1
c
2
a
2
c
1
< br>分解结果：
ax
bx
c
=
(
a
1
x
< br>c
1
)(
a
2
x
c
2
)
2<
/p>
例
4
、分解因式：
3
x
11
x
10
分析：
1
-2
3
-5
（
-6<
/p>
）
+
（
-5
）
= -11
解：
3
x
11
x
10
=
(
x
2
)(<
/p>
3
x
5
)
2
2
2