因式分解的教材分析
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因式分解的教材分析
塘沽十五中
王守娟
一、知识结构梳理
定义
整
因
提公因式法
式
式
两项式
平方差公式
方法
完全平方公式
公式法
乘
分
三项式
十字相乘法
法
解
多余三项的多项式
分组分解法
一“提”
二“套”
步骤
三“分”
四“查”
二、本章在代数中的地位和作用
因式
分解是代数中又一种重要的恒等变形，而本章的因式分
解的内容是多项式因式分解中一部
分最基本的知识和基本方法，
它包括因式分解的概念，整式乘法与因式分解的区别和联系
；因
式分解的四种基本方法，即提公因式法、运用公式法、分组分解
法和十字相乘法（本书中只介绍了二次项系数为
1
的二次三
项式
的十字相乘法）
多项式的因式分
解是代数中一部分重要内容，它是在学完有
理数和整式乘法之后给出的，它与前一章整式
乘除和后一章分式
联系极为密切。这部分内容在将分式通分和约分时有着直接应
用，在解方程以及将三角函数进行恒等变形等方面也经常涉及到
它的应用
，因此本章内容对进一步学习数学有重要的作用。
三、教学目标
1
、通过学习因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联
系，提高对代数式的辨别能力
。
2
、学习提公因式法，了解提公因
式法分解因式是乘法对加
法的分配律的逆用；学习了公式法，进一步明确公式法分解因式
是乘法公式的逆用。从而提高代数式的恒等变形能力。
3
、在小学数学中学习分解质因数是为分数运算打基础，进
而计算算术应用题。同样道理，在代数中学习因式分解是为后面
学习分式运
算打基础，进而可以列方程解应用题，从而提高分析
问题和解决问题的能力。
4
、通过分组分解法提高学生观察问题、分析问
题、解决问
题的能力。注意观察式子的结构特点，提高合理选择式子变形的
方法，注意提高综合处理因式分解的能力。
5
、加强把一个式子看作一个字母的换元思想的练习，在因
式分解时对
于比较复杂的问题能够通过变形整理使之转化为所熟
悉的因式分解的基本形式或把某一部
分式子看作一个整体以适应
某种基本方法，从而了解等价转化的思想和方法。
6
、寻求因式分解的方法具有探索性，要有猜想
、试探、思
辨的过程，所以要培养学生的探索精神和探索能力，提高解题的
灵活性和创造性。
四、教学重点：多项式的因式分解的四种方法。
五、教学难点：多项式因式分解方法灵活多变，分组方案的筛选
技巧
六、教学建议
1<
/p>
、对因式分解这一概念本人认为不宜要求学生一次了解彻
底，可以
通过举例及后面的几节课的因式分解过程逐步加深理
解。特别是讲授四个因式分解的基本
方法时，结合具体例题的分
析过程、分解结果，说明因式分解的概念，以达到明确这个概
念
的目的。
2
、提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的
方
法
，它的理论依据是乘法分配律。在讲解时可以先复习单项
式乘以多项式，再把它逆转过来
运算就是提公因式法。用这个方
法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关
重要
的。
3
、运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点。对初学
者来说，如何根据要分解的多项
式的形式特点（项数、系数、指
数）来选择用什么公式，往往不是很容易，这也是运用公
式的难
点。因此在教学中应注意分析实例，指明思路、交待方法，以便
< br>克服难点。
4
、分组分解法是
前两种方法的综合。教材中分两类：一类
是分组后能直接提公因式的；一类是分组后能运
用公式的。由于
多项式的形式各异，分组的方法也比较灵活，要具体问题具体分
析，并且要预见到分组后是否能将整个多项式继续分解，相对来
说分组分
解法比前两种方法难，教学时要根据教材的层次，先易
后难，最后讲综合性的因式分解。
5
、运用公式
x
2
(
a
b
)
x
ab
(
x
a
)(
x
b
)
进行因式分
解，让学生注意观察该二次三项式的特征：①二次项系数为
1
；
②常数项能分解成
ab
；③
a
b
恰好为一次项系数，则一定能分
解为
(
x
a
)
(
x
b
)<
/p>
的形式，只有满足这样特征的二次三项式才能
用它进行正确的因式
分解。
6
、综合运用以上四种方法进
行多项式的因式分解安排在本
章的最后，对这部分内容的教学要根据不同的题目，进行具
体分
析，灵活地运用各种方法来分解因式。通过这部分内容可综合地
培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。这部分内容又
是教学的难点，要从
教学要求学生水平出发安排这部分的例题和
练习。
7
、因式分解的一般步骤是总结各种分解方法后讲述的，教
学时要强调结合题目的形式和特点来选择，确定采用哪种方法分
解。四种方法是
彼此联系的，并不是一种类型的多项式只能用一
种方法来分解因式，教学时要让学生学会
具体问题具体分析的方
法。
8
、先分组分解，再最后完成整个分解的方法，既依赖于解
题能力的提高
，也是解题能力的培养。要认真组织学生讨论，发
挥实验探索精神，养成探索习惯，以寻
求分组途径，所以这种解
法应在学生的研讨中产生，而不宜简单地“传授”给学生，让学
生不仅享受正确分组的成功，也要经历错误分组的失败，然后从
失败中走向成功。
七、课时安排：
§
8.1
提公因式法（
5
课时）§
8.2
运用公
式法（
8
课时）
§
8.3
分组分解法（
8
课时）
八、具体安排：§
8.1
提公因式法
（第一课时）
引出因式分解这一概念
的方法很多。本人在课前先让学生完
成如下的题目（课本第
7<
/p>
页练习）
①
a
3
b
3
c
abc
abc
（
）
②
m
2
x
3
m
2
x
2
m
2
xy
m
2
x
（
）
③
12<
/p>
a
2
b
3
a
2
b
2
x
9
a
2
b
2
3
a
2
b
（
）
④
2
x
2
y
3
z
4
14
x
3
y
4
z
2
2
x
4
y
2
z
3
2
x<
/p>
2
y
2
z
2
（
）
更能体会整式乘法与因式分解互为
逆变形，同时也为提公因
式法作准备。
提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，即
当多项式各项系数为整数时
，应取各项系数的最大公约数与各项
相同因式的最低次幂的积。
此种方法分解的步骤是：①确定公因式，把它放在括号前。
②确
定另一个公因式（用提出的公因式去除原多项式，把所得的
商作为另一个因式，并把它写
在括号里）。
安排例
1
、
6
x
2
< br>
3
x
3
y
（含一个字母）
例
2
、
8
a
< br>3
b
2
12
ab
3
c
（含两个字母）
例
3
、
2
a
2
< br>bc
2
4
ab
2
c
2
6
abc
3
（含三个字母）
显然例题是由易到难，这样安排符合学生的
认知规律，也使学生
易于掌握。
（第
二课时）讲解课本上的例
3
、
3
x
2
6
xy
x
（易出现漏
“
1
”的问题，此时可用整式乘法来检验）
。
补充：已知
b
a
6
，
ab
7
，求
a
2
b
ab
2
的值。
分析：学生先阶段还不能从已知中求出
a
、
b
的值，因此
就需要学生探索求解
的方法，即先把多项式
a
2
b
ab
2
分解因式
得
ab
(
a
b
)
，再把
b
a
6
,
ab
7
代入。
（第三课时）添括号法则及例
5
（将多项式的后两项
添括号）
例
6
、将多项式
4
m
< br>3
16
m
2
26
m
分解因式（在这里又一
次应用了添括号法则，即多项式的最高次项系数为负，在分解之
前应先提出“－”号，再对对括号内的多项式分解因式，这样比
较简单）
补充：按要求对多项式
5<
/p>
a
3
b
2
ab
3
ab
3
2
b
2
添括号
①
将多项式的中间两项放到前面带有
“－”的括号
里；
②
将多项式的四次项放到前面带有“
+
”的括号里，
二次项放到前面带有“
－”的括号里。（例
5
之后
练习）
（第四课时）公因式是多项式（这里渗透换元思想）
例
7
、把
2
a
(
< br>b
c
)
3
(
b
c
)
分解因式
例
8
、把
18
b
(
a
b
)
2
12
(
a
b
)
3
分解因式（课本例
9
）
（两个例题中括号内的多项式是相同的）
（第五课时）公因式仍是多项式，但需在分解前变形，这也是
学生容易错的地方。基
于这样在讲例题之前让学生先完成
P
12
的