取整函数
-
.
一、取整函数的性质
⑴函数
y=[x]
的定义域为
R
，值域
Z
；
⑵若
n
∈
Z
，当
n
≤
2
× <
br> ） 2
x
时
,[x]=n;
⑶当<
/p>
x
1
2
时，恒有
[x
1
]
≤
[x
2<
/p>
]
；
⑷
x-1<[x]
≤
x<[x]+1
；
⑸若
n<
/p>
∈
Z
，则
[n+
x]=n+[x]
，由这一性质可知
f
（
x
）
=[x]
是最小正周期为
1
的周期函数
.
二、取整函数在求值中的应用
1.
求值
；
[log
2
1
]+[log
2
2
]+[log
2
3
]+[log
2
4
]+
．
．
．
+[l
og
2
50
]
解析：由取整函数的性质⑵可得
,
当
2
n
≤
x<2
n+1
(n
∈
Z)
时
,[x]=n,
所以
[log
2
1
]+[log
2
2
]+[log
3
]+[log
2
4
]+
．
．
．
+[log
2
50
]=0+2
×
1+4
×
2+8
×
3+16
4+5
×
(50-31)=24
3
2.
由数
[1/100]
，
[4/100]
，
[9/100]
，
[16/100]
．
．
．
．
．
．
[10000/100]
〕组成集合
A
，求集合
A
中的
元素的个数。
2
n
1
n
2
解
析：设
f
（
n
）
=
，则
f
（
n+1)-f
（
n
=
，
100
100
当
n
≥
50
时
f
（
n+1
)-f
（
n
）
>1
50
2
51
100
2
所以<
/p>
[
],[
],...,[
100
100
100
]
是
51
个互不相等的数
当
1
≤
n
≤
49
时
f
（
n+1)-f
（
n
）
<1,
且
[f
（
1)
]=0,[f
（
49
）
]=[24.01]=24
所以
1<
/p>
≤
n
≤
49
时
0
≤
[f
（
n
）
]
≤
24
且能取到该范围内的任一个整数
所以集合
A
中的元素的个数为
51+25=76.
点评：根据取整函数定
义恰当进行分类，是解决以上两题的关键
.
3
、求
<
/p>
sin1
sin
2
sin3
sin
4
sin5
的值
.
解析：
sin1
、
sin
2
、
sin
3
(0,1)
，
三、取整函数在函数的应用
.
4
、
定义
f<
/p>
（
x
）
=x-[
x]
，则以下结论正确的是（
）
A. f
（
3
）
=1.
B.
方程
f
（
x
）
=0.
5
有且仅有一个实根
C. f
（
x
）是周期函数
D. f
（
x
）是增函数
.
解析：因为
x
∈
Z
时
f
（
x
）
< br>=0
，所以排除
A
、
D
，又
f
（
0.5
）
=f
（
1.5
）
=0.5
，排除
B.
选
C.
点评：
该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活
.
< br>5.
用
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数，如<
/p>
[1.8]=1
．对于下面关于函数
<
/p>
sin
4
、
si
n
5
(
<
/p>
1,0)
f
(
x
)
(
x
[
x
])
2
的四个命题：
①函数
②函数
③函数
< br>④函数
y
f
< br>(
x
)
的定义域为
R
，值域为
[0,1]
；<
/p>
y
f
(
x
)
的图象关于<
/p>
y
轴对称；
y
f
(
x
)
是周期函数，最小正周期为
1
；
y
f
(
x
)
在
(0,1)
上是增函数．
其中正确命题的序号是
．
（写出所有正确命题的序号）
答案：③④
7.
已知
f
（
x
）
=x[x]
的定义域为
[0
，
3]
，求
f
（
x
）的值域
.
解析：⑴当
0
≤
x<1
时
[
x]=0,f
（
x
）
< br>=0;
⑵当
1
≤
x<2
时
[x]=1,f
（
x
）
=x,
此
时
1
≤
f
（<
/p>
x)<2;
⑶当
2
≤
x<3
时
[x]=2,f
（
x
）
=2x,
此时
4
≤
f
（
x
）
<6;
⑷当
x=3
时
[x
]=3,
此时
f
（
x
）
=9
.
综上所述
,f
（
x
）的值域为
{y|y=0
或
1
≤
y<2
或
4
≤
y<6
或
y=9}.
点评：根据
n
≤
是解决本题的关键
x
∈
Z)
时
[x]=n
合理进行分类
,
.
x
1
2
8.
设
f
（
x
）
=
-
，则
[f
（
x
）
]+[f
（
-x
）
]
的值域为＿
1
2
x
2
x
x
1
1
（
1
< br>1
2
x
1
2
）
2
解析：
f
（
-x
）
=
-<
/p>
=
-
=
-
2
1
2
x
2
2
x
1
2
1
2
x
x
1
2
=
-<
/p>
2
1
2
x
=-f
（
x
）
.
又
x
2
0<
1
2
x
<1,
所以
-
1
2
<
br>1 当 <
br>（
<
br>的值域为 <
br>) <
br>1 28 <
br>3 ，当 <
br>4 <
br>x
（
x
）
<
.
2
1
-
（
x
）
<0
时
[f
（
x
）
]
+[f
（
-x
）
]=-1+0=-1.
2
当
0
（
x
）
<1<
/p>
时
,[f
（
x<
/p>
）
]+[f
（
-
x
）
]=0+(-1)=-1.
当<
/p>
f
（
x
）
=0
时
[f
（
x
）
]+[f
（
-x
）
]=0.
综上所述
,
函数
[f
x
）
]+[f
（
-x
）
]
{-1
、
0}.
点评：本题以取整函数为载体
,
考查函数值
域的求法及函数奇偶性的判定
,
内容基础
,
考查方式灵活
.
9.
对于
给定的
n
N
，定义
C
n
*
x
n
(
n
1
(
n
[
x
]
1
)
3
,
x
[
1
,
)
，当
x
[
,
3
)
时，函数
C
8
x
的值域是
x
(
x
1
)
(
x
[
x
]
)
2
A
．
[
16
16
28
16
28
,
]
B.
[
,
5
6
)
C.<
/p>
(
4
,
)
[
28
,
56
]
D.<
/p>
(
4
,
]
(
,
28
]
3
3
3
3
3
8
16
x
]
2
x
3
时，
[
x
]
2
,
解：
当<
/p>
x
2
时，
[
x
]
1
，
C
8
(
,
x
2
3
56
28
(
,
28
]
，于是答
D.
x
(
1
)
3
C
8
x
10.
某学校
要召开学生代表大会，
规定各班每
10
人推选一名代表，
当各班人数除以
10
的余数大于
< br>6
时再增选一名代表，
那么，各班可推选代表人数
表示为
A
．
y
与该班人数
x<
/p>
之间的函数关系用取整函数
y
[
x
]([
x
]
表示不大于
x
的最大
整数）可以
x
3
]
10
x
4
]
1
0
x
5
]<
/p>
10
（
B
）
B
．
11.
定义
：若
[x]
表示不超过
x
的最大整数，则称函数
y=[x]
为“下取整”函数；若（
x
）表示表示不小于
x
的最小整数，
则称
函数
y=
（
x
）为“上取整”函数，例如
[1.5]=1
，
< br>(
―
2.3)=
―
2,,(2.9)=3.
试用适当的符号表示如下的函数关系式：
1
○
某商
场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满
300
元可少付
100
元，若顾客当天在该柜台
购物价值
x
元，而他实际付款是
< br>y
元，试建立
y
关于
x
的函数关系式。
x<
/p>
y
[
]
10
y
[
C
．
y
[
D
．
< br>y
[
2
○
一顾客拿着某超市的足够多的面值
是
20
元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾
客功挑选了价值为
x
元的物品，全部用抵押劵支付，共付了
y
张，试建立
y
关
于
x
的函数表达式。
解
1
○
<
/p>
x
x
y
y
x
100
,
x
0
,
2
<
/p>
,
x
0
.
○
20
300
f
(
x
)
mx
2
(
m
< br>
3
)
x
1
的图像与
x
轴的交点至少有一个在原点的右边
.
12.
已知
函数
（
1
）求实数
m
的范围；
< br>
（
2
）令
t=
―
m+2
，求
1
的值；
t
t
1
t
（
3
）对
于（
2
）中的
t
，求函数
g
(
t
)
1
1
[<
/p>
t
]
[
t
]
1
t
t
的值域。
< br>
解
（
1
）
m
1
；
（
2
）因为
t=
―
m+2
1
，所以
1
=0
或
1
；
t
< br>（
3
）当
t
1
1
1
时，
=1
，
g
(<
/p>
1
)
；
2
t
1
1
t
，
当
t
1
时，
=0
，这时
g
(
t
)
[
t
]
<
/p>
1
t
t
（ⅰ）当
1
t
2
时，
1
g
(
t
)
5
，
4
*
n
2
1
(
n
<
/p>
1
)
2
1
（ⅱ）当
n
t
n
1
，
n
2
,
n
< br>N
时，
g
(
t
)
[
,
)
，
2<
/p>
n
(
n
1
)
(
n
1
)
因
为
n
2
1
n
1
1
1
2<
/p>
1
2
n
(
n
1
)
n
n
n
1
3
n
1
对
n
<
/p>
对
n
2
,
n
N
*
是
递
增
的
，
当
n=2
时
取
最
小
值
是
5
6
，
而
(
n
<
/p>
1
)
2
1
1
1
(
n
1
)
2
(
n
1
)
2
2
,
n
<
/p>
N
*
是递减的，当
n=2
时取最大值是
10
，
9
5
10
5
10
n
2
1
(
n
< br>
1
)
2
1
n
2
1
(
n
1
)
2
1
)
是所有区间
[
当
n=2
时
[
亦即
[
,
即
t
2
时，
,
)
是
[
,
)
，
,
< br>)
的并集，
6
9
6
9
n
(
n
1
)
(
n
1
)<
/p>
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)
2
5
10
5
< br>1
5
5
1
g
(
t
)
的
值域是
[
,
)
，联系当
1
t
2
时，
1
g
(
t
)<
/p>
及
t=1
时<
/p>
g
(
1
)
，得
g
(
t
)
的值域是
[
,
)
{
}
。
6
9
2
4
6
4
2
13.
x
R
，令
a
1
(
x
)
[
3
x
]
，
f
(
x
)
3
x
[
3
< br>x
]
，进一步令
a
2
(
x
)
< br>
a
1
(
f
(
x
))
，
a
3
(<
/p>
x
)
a
1
(
f
(
f
(
x
)))
，
（
1
）若
x
17
，求
a
1
(
< br>x
)
，
a
2
(
x
)
，
a
3
(
x
)
.
27
（
2
）若
a
1
(
x
)
1
，
a
2
(
x
)
2
，
a
3
(
x
)
2<
/p>
，求
x
的范围
.
解：
（
1
）若
x
17
<
/p>
17
8
17<
/p>
17
1
，
，则
a
1
(
x
)
，
f
(
x
)
3
x
[
3<
/p>
x
]
9
9
27
3
9
8
< br>8
2
8
2
a
2
(
x
)
2
；
f
(
f
(
x
< br>))
3
f
(
x
)
[
3
f
(
x<
/p>
)]
=
，
a
3
(
x
)
3
< br>
2
.
3
3
3
3
<
/p>
3
（
2
）若
1
2
a
1
(
x
)
1
，则
1
3
x
2
，即
x
……………………
1
○
3
3
f
(
< br>x
)
3
x
[
3
x
]
3
x
1
，
a
2
(
x
)
[
9
x
< br>
3
]
，令
a
2
(
x
)
[
9
x<
/p>
3
]
=2
，
得：
2
9
x
3
3
，这样：
5
2
x
…………………………
○
2
9
3
f
(
f
(
x
))
3
f
(
x
)
[
3
f
(
x
)]
9
x
3
[
9
x
3
]
9
x
< br>5
，
a
3
(
x
)
a
1
(
f
(
f
(
x
)))
=
[
27
x
15
]
，令
a
3
(
x
)
2
，得：
2
27
x
15
3
17
2
< br>
x
………
…………………………………………
○
3
27
3
17
2
x
.
由
1
○
、
2
○
、
3
○
得：
27
3
这样：
14.
设函数
x
[
x
],<
/p>
x
0
f
(
x
)
,
其中
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数，如
[
1
,
2
]
=-2
，
[
1
.
2
]
=1
，
[
1
]
=1
，若直
f
(
x
1
),
x
0
0
)
与函数
y=
f
(
x
)
< br>的图象恰有三个不同的交点，则
k
的取值范围是
D
线
y=
kx
k
(
k
A
．
(
1
1
1
1
1
1
1
,
]
B
．
(
0
,
]
C
．
[
,
]
D
．
[
,
)
4
4
3
4
3
4
3
< br>四、不等式中的取整函数问题
15.
不等式
2[x]
2
-[x]-3
≥
0
的解集为＿
.
解析：该不等式可看作关于
[x]
的一元二次不等式，解得
[x] <
/p>
≥
1
或
[x]<
/p>
≤
-
-[x]-3
≥
0
的解集为
{x|x
≥
1
或
x<-1}.
点评：由
[x]
≤
-
3
2
，所以
x
≥
1
或
x<-1
不等式
2[x]
2
3
2
及
[x]
∈
Z
得到
[x]
≤
-2
，再根据
n
≤
<
br>x x
∈
Z)
时
[x]=n
，得到
x<-1
，这一步如不细心很容易出错
.
16.
如果
对于任
意实数
x
，
“
x
表示不超过
的最大整数
.
例如
3.27
3
，
0.6
0
.
那么“
x
y
< br>是
x
y
1
”的
（
Ａ
）
（
A
）充分
而不必要条件
（
B
）必要而不充分条件
< br>
（
C
）充分必
要条件
?
（
D
）既不充分也不必要条件