2010年江苏高考数学试题及答案
-
益智（
Easy
）学习
2010
高考江苏卷·数学
201
0
年
6
月
9<
/p>
日星期三
easymathsedu@
2010
年江苏高考数学试题
一、填空题
1
、设集合
A={-1,1,3}
，
B
={
a+2,a
2
+4},A
∩
B={3}
，则实数
a
=______
▲
________
简析：由集合中元素的互异性有
a+2=3
或
a
2
+4=3
< br>，
a=1
或
< br>a
2
=
－
1(
舍
)
a=1
2
、设复数
z
满足
z(2-3i)=6+
4i
（其中
i
为虚数单位）
，则
z
的模为
_____
_
▲
________
6+4i
(6+4i)(2+3i)
26i
简析：由
题意
z=
=
=
=2i
|z|=2
13
13
2
－
3i
3
、盒子中有大小相同的
3
只白球，
1
只黑球，若从中随机地
摸出两只球，两只球颜色不同的概率是
_
▲
__
1
简析：
2
4
、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽
取了
100
根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花
质量的重要指标）
，所得数据都在区间
[5,4
0]
中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的
100
根中，有
_
▲
___
根在棉花纤维的长度小于
20mm
。<
/p>
简析：观察频率分布直方图，知有
0.
06
×
5
×
1
00=30
根长度小于
20mm
5<
/p>
、设函数
f(x)=x(e
x
+ae
-x
),
(
x
∈
R
)
是偶函数，则实数
a
=_______
▲
_________
R
简析：由偶函数
< br>
f(
－
x)=f(x)
x(e
x
+ae
-x
)=
－
x
(e
-x
+ae
x
)
x(e
x
< br>+e
-x
)(1+a)=0
x
∈
a=
－<
/p>
1
频率
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
长度
m
O
5
10
15
20
25
30
35
< br>40
组距
x
< br>2
y
2
6
、在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
－
=1
上一点
M
，点
M
的横坐标是
3
，则
M
到双曲线右焦点的
4
12
距离是
___
▲
_______
简析：法一——直接运用焦半径公式求
。因焦半径知识课本中未作介绍，此不重点说明；
法二——基本量法求解。由题意知右焦点坐标为
F(4,0)
，
M
点坐标为
(3
,
±
15
)
MF=4
7
、右图是一个算法的流程图，则输出
S
的值是
______
▲
_______
< br>简析：
读图知这是计算
S=1+2
1
+2
2
+
…
+2
n
的一个算法，
由
S=2
n
－
1
33
且
< br>n
为正整数知
n=5
时跳出循环
，
此
时，输出
S=1+2
1
+2
2
+
…
+2
5
=63
n
←
n+1
否
是
结束
S
←
1
输出
S
n
←
1
S<
/p>
←
S+2
n
S
≥
33
开始
8<
/p>
、函数
y=x
2
(x>0)
的图像在点
(
a
k
,a
k
2
)
处的切线与
x
轴交点的横
坐标为
a
k+1
,k
< br>为正整数，
a
1
=16
，则
a
1
+a
3
+a
5
=____<
/p>
▲
_____
1
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< br>）学习
2010
高考江苏卷·数学
201
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年
6
月
9<
/p>
日星期三
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简析：
对原函数求导得
y
=2x (x>0)
，
据
题意，
由
a
1
=16=2
4
依次求得
a
2
=8
，
a
3
=4
，
a
< br>4
=2
，
a
5
=1
，
所以
a
1
+a
3
+a
5
=21
9
、在平面直角坐标系
xOy
中，
已知圆
x
2
+
y
2
=4
四个点到直线
12x
－
5y+c=0
的距离
为
1
，
则实数
c
的取值范
围是
______
▲
_____
|c|
简析：若使圆上有且仅有四点到直线
12x
－
< br>5y+c=0
距离为
1
，则圆心
到该直线之距应小于
1
，即
<1
，解
13
得
c
(
－
13,13)
10
、定义在区间
< br>(0,
)
上的函数
y=6cos
x
的图像与
y=5tanx
的图像的交
点为
P
，过点
P
作
PP
1
⊥
x
轴于点
P
1
,
2
直线
PP
1
与
y=sinx
的图像交于点
P
2
,
则线段
P
1
P
2
的长为
_______
▲
_____
简析：由题意知线段
P
1
P
2
长即为垂线
PP
1
与
y=sinx
图像交点的纵坐标。
2
2
y=6cosx
< br>x
(0,
)
< br>2
2
由
y=5tanx
6cosx=5tanx
6cos
x=5sinx
6sin
x+5sinx
－
6
=0
2
sinx=
< br>
P
1
P
2
=
3
3
x
2<
/p>
+1
，
x
0
11
、已知函数
f(x)=
,
则满足不等式
f(1
－
x
2
)>f(2x)
的
x
的
范围是
____
▲
____
1
，<
/p>
x<0
简析：设
t=1
< br>－
x
2
，当
x<
－
1
时，
t<0
，
2x<
－
2
；
f(1
－
x
2
)=1
，
f(2x)=1
f(1
－
x
2
)=
f(2x)
；
当
x>1
时
，
t<0
，
2x>2
< br>，
f(1
－
x
< br>2
)=1
，
f(2x)=(2x
)
2
+1>5
，显然不满足
f(1
－
x
2
)>f(2x)
当－
1
x<0
时，
t
0
，
2x<0
，所以
f(1
－
x
2
)=(1
－
x
2
)
2
+1
1
，
f(2x)=1
，
f(1
－
x
2
)>f(2x) (x
< br>
－
1)
；
当
0
x
1
时，
t
0
，
2x<
/p>
0
，所以
f(
1
－
x
2
)=
(1
－
x
2
)
2
+1
1<
/p>
，
f(2x)=(2x)
2
+1
，
由
f(1
－
x
2
)>f(2x)
(1
－<
/p>
x
2
)
2
+1>(2x)
2
+1
x
4
－
6
x
2
+1>0
0
x<
2
－
1
综上，
x
(
－
1,
2
－
1) <
/p>
x
2
x
3
12
、设实数
x,y
满足
3
≤
xy
≤
8
，
4
≤<
/p>
≤
9
，则
4
的最大值是
_____
▲
< br>____
y
y
2
简析：由题意知
x,y
均为非
0
的正实数。
1
< br>1
1
x
2
1
1
x
2
1
x
1
x
2
x
x
3
由
3
xy
8
2
，又
4
9
2
·
3
，即
3
3
4
×
·
3
9
×
3
4
27
8
xy
3
y
2<
/p>
xy
y
2
y
2
y
y
y
2
b
a
tanC
tanC
13
、在锐角三角形
ABC
，
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
+
=6cosC
，则
+
=__
▲
a
b
tanA<
/p>
tanB
sin
2
A+sin
2
B
简析：据正、余弦定
理，由已知等式，角化边得
3c
=2a
+2b
①，边化角得
=6cosC
②
sinAsinB
2
2
2
tanC
tanC
cosA
cosB
sin(A+B)
sin
2
C
因为
+
=
tanC(
+
)=tanC
·
=
③
tanA
tanB
sinA
sinB
sinAs
inB
sinAsinBcosC
至此，③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。
6sin
2
C
6c
2
6sin
2
C
6c
2
据②式，③式
=
2
=
，又据①式，③式
=
2
=
=4
sin
A
+sin
2
B
a
2
+b
2
sin
A+sin
2
B
a
2
+b
2
14
、将边长为
1
的正三角形薄片，
沿一条平行于底边的直线剪成两块，
其中一块是梯形，
记
S=
梯形的面积
,
则
S
的最小值是
_______
▲
_______
简析：如图，△
ABC
是边长为
1
的正
△，
EF
∥
BC
，四边形
BCFE
为梯形；
设
－
AE=x (0
，则梯形
BCFE
周长
=3
x
，梯形
BCFE
面积
=(1
－
x
2
)
所以据题意知：
<
/p>
(3
－
x)
2<
/p>
4(3
－
x)
2
S=
=
<
br>x <
br>3
两对角线长为
<
br>到平面 <
br>A <
br>
PC <
br>BC <
br>上；
(0
3
3(1
－
x
2
)
2
(1
－
)
4
1
－
x
A
(
梯
形的周长
)
2
3
，
4
x
E
F
2
B<
/p>
C
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/p>
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1
对
S(x)
求导，令
S
(x)=0
，联系
0
得
x=
，
3
1
1
又
0
，
S
(x)<0
，
，
S
(x)>0
3
1
1
32
3
所以<
/p>
x=
时
S(x)
有最小值
S(
)=
3
3
3
二、解答题
15
、（
14
分）在平面直角坐标系
xOy
中，点
A(-1,-2),B(
2,3),C(-2,-1)
(1)
求以线段
AB
、
AC
为邻边的平行四边
形两条对角线的长
→
→
→
(2)
设实数
t
满足
(AB
－
t
·
OC
)
·
OC
=0=0
，求
t<
/p>
的值
简析：
⑴
据题意，
本小问解法不唯一，
如利用平行四边形性质求出第四点
D
，
→
然后运
用两点间距离公式求两对角线；
又如，
亦可利用向量知识，
求向量
AB
→
与<
/p>
AC
和、差的模；
2
10,4
2
11
→
→
→
→
→
⑵因为
AB
=(3,5),
OC
=(
－
2,
－
1)
，所以由
(AB
－
tOC
)
·
OC
=0
知
t=
－
5
16<
/p>
、（
14
分）如图，四棱锥
P-ABCD
中，
PD
⊥平
面
ABCD
，
PD=DC=BC=1,
AB=2,AB
∥
DC
，∠
BCD=90
0
(1)
求证：
PC
⊥
BC
(2)
求点
A
PBC
的距离
P
P
F
D
C
D
E
C
16
题图
B
A
B
简析：⑴证：因
PD
⊥底面
ABCD
，
BC
在底面上，所
以
PD
⊥
BC
；
又因∠
BCD=90
0
，所以
BC
⊥
DC
；又
PD
、
DC
相交于
D
，所以
BC
⊥平面
PDC
又
PC
在平面
PD
C
上，所以
BC
⊥
，即
PC
⊥
⑵在底面
ABCD
上作<
/p>
AE
∥
BC
交<
/p>
CD
延长线于
E
，则
E
在平面
PDC
在平面
PDC
上作
EF
⊥
PC
交
PC
于
F
，结合⑴推知
EF
⊥平面
PBC
，
所以垂线段
EF
长就是点
A
到平面
PBC
的距离。
在
△
PEC
中，利用面积的等积性有
<
/p>
EC
·
PD
＝<
/p>
PC
·
EF
2
×
1
所以
EF
=
=
2
，所以点
A
到平面
PBC
之距为
2
2
此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一
点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱
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锥，
利用等积法来求点面距；
如三棱锥
A
－
PBC
与
三棱锥
P
－
ABC
实为同一个锥，
而三棱锥
P
－
ABC
的底
1
1<
/p>
2
面积
=
AB<
/p>
·
BC=1
，高
=PD=1
；三棱锥
A
－
PBC
的底面积
=
PC
·
BC=
，
2
2
2
所以可求得
三棱锥
A
－
PBC
的高为
2
，亦即点
A
到平面
PBC
的距离为
2
17
、（
14
分）某兴趣小组测量电视塔
AE
的高度
H(
单位
m
）
，如示意图，垂直放置的标杆
BC
高度
h=4m
，
仰角∠
ABE=
α
，∠
ADE=
β
(1)
该小组已经测得一组
α
、
β
的值，
tan
α
=1.24,tan
β
=1.20,,
请据此算出
H
的值
(2)
该小组
分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离
d
（
单位
m
）
，使
α
与
β
之差较大，
可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为
125m
，问<
/p>
d
为多少时，
α
－
β
最大
E
C
D
h
B
d
A
解析：⑴⑵
17
题图
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x
2
y
2
18.
（
16<
/p>
分）在平面直角坐标系
xoy
中，如图，
已知椭圆
+
=1
的左右顶点为
A,B
，右焦点为
F
，
设过点
9
5
T(t,m)
的直线
TA,TB
与椭圆分别交于点
M(x
1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
)
，其中
m>0,y
1
>0,y
2
<0.
⑴设动点
P
< br>满足
PF
2
－
< br>PB
2
=4,
求点
P
的轨迹
1
⑵设
x
1
=2,x
2
=
，求点
T
的坐标
3
⑶设
t=9,
求证：直线
MN
必过
x
轴上的一定点
(
其坐标与
m
无关
)
5