学而思(四年级)目30讲全 (1)
-
- 1 -
准数<
/p>
，各数与基准数的差的和叫做
累
计差
。由例
1
得到：
总和数
=
基准数
×
加数的个数
+
累计
差
，
平均数
=
基准数
+
累计差
÷
加数的个
数
。
在使用基准数法
时，应选取与各
数的差较小的数作为基准数，这样才
学而思（四
年级）
如果你需要更多的各种奥数
教材，课程同步教材，同步
第
1
讲
速算与巧算（一）
练习题，培优练习题，期中
第
2
讲
速算与巧算（二）
期末单元试卷，
第
3
讲
高斯求和
各种致富管理文学作品书籍
第
4
讲
4<
/p>
，
8
，
9
整除的数的特征
修理书籍
大人物传记
第
5
讲
弃九法
都
是电
子档。
可
以联系
我
第
6
讲
数的整除性（二）
第
7
讲
找规律（一）
第
8
讲
找规律（二）
第
9
讲
数字谜（一）
第
10
讲
数字谜（二）
第
11
讲
归一问题与归总问题
第
12
讲
年龄问题
第
13
讲
鸡兔同笼问题与假设法
第
14
讲
盈亏问题与比较法（一）
第
15
讲
盈亏问题与比较法（二）
第
16
讲
数阵图（一）
第
17
讲
数阵图（二）
第
18
讲
数阵图（三）
第
19
将
乘法原理
第
20
讲
加法原理（一）
第
21
讲
加法原理（二）
第
22
讲
还原问题（一）
第
23
讲
还原问题（二）
第
24
讲
页码问题
第
25
讲
智取火柴
第
26
讲
逻辑问题（一）
第
27
讲
逻辑问题（二）
第
28
讲
最不利原则
第
29
讲
抽屉原理（一）
第
30
讲
抽屉原理（二）
第
1
讲
速算与巧算（一）
计算是数学的基础，小学生要学
好数
学，必须具有过硬的计算本领。
准确、
快速的计算能力既是一种
技巧，
也是一种思维训练，既能提高计算效
率、节省计算时间，
更可以锻炼记忆
力，提高分析、判断能力，促进思维
和智力的发
展。
我
们在三年级已经讲过一些四则
运算的速算与巧算的方法，本讲和下
一讲主要介绍加法的基准数法和乘法
的补同与同补速算法。
468453607
微
信
电
话
例
1 <
/p>
四年级一班第一小组有
10
名同
学，某次数学测验的成绩（分数）如
下：
86
，<
/p>
78
，
77
，<
/p>
83
，
91
，<
/p>
74
，
92
，<
/p>
69
，
84
，<
/p>
75
。
求这
10
名
同学的总分。
分析与解
：
通常的做法是将这
10
个数
直接相加，但这些数杂乱无章，直接
相加既繁且易错。观察这些数不难发
现，这些数虽然大小不等，但相差不
大。
我们可以选
择一个适当的数作
“基
准”，比如以“
80
”作基准，这
10
个
数与
80
的差如下：
6
，
-2
，
-3
，
3
，
11
，
-6
，
12
，
-11
，
4
，
-5
，其中“
-
”号
表示这个数比
80
小。于是得到
总和
=8
0
×
10
＋（
6-2-3
＋
3
＋
11-
＝
< br>800
＋
9
＝
< br>809
。
实际计算时只需口算，将这些数
与<
/p>
80
的差逐一累加。为了清楚起见，
将这
一过程表示如下：
通过口算，
得到差数累加为
9
，
再
加上
80
×
10
，
就可口算出结果为
809
。
例
1
所用的方法叫做加法的
基准
数法
。这种方法适用于加数较多，而
且所有的加数相差不大的情况。作为<
/p>
“基准”的数（如例
1
的
80
）叫做
基
容易计算累计差
。同时考虑到基准数
与加数个数的乘法能够方便地计算出
来，所
以基准数应尽量选取整十、整
百的数。
例
2
某农场有
10
块麦田，
每块的产量
如下（单位
：千克）：
462
，
480
，
443
，
420
，
473
，
429
，
468
，
439
，<
/p>
475
，
461
。求平均每块麦
田的产量。
解
：选基准数为
450
，则
累计差
=12
＋
30
－
< br>7
－
30
＋
23
－
21
＋
18
－
11
＋
25
＋
11
＝
50
，
平均每块产量
=450
＋
50
÷
10
＝
455
（千克）。
答：平均每
块麦田的产量为
455
千克。
求一位数的平方，在乘法口诀的<
/p>
九九表中已经被同学们熟知，如
7
×
7
＝
49
（七七四
十九）。对于两位数的
平方，大多数同学只是背熟了
10
～
20
的平方，
而<
/p>
21
～
99
的平
方就不大熟悉
了。有没有什么窍门，能够迅速算出
两位数的平方
呢？这里向同学们介绍
一种方法——
凑整补零法
。所谓凑整
补零法，就是用所求数与最接近的整
十数的
差，通过移多补少，将所求数
转化成一个整十数乘以另一数，再加
上零头的平方数。下面通过例题来说
明这一方法。
例
3
求
29
2
和
82
2<
/p>
的值。
解
：<
/p>
29
2
=29
×
29
＝
（
29
＋
1
）
×（
29-1
）＋
12
＝
30<
/p>
×
28
＋
1
＝
840+1
＝
841
。
82
2<
/p>
＝
82
×
82
＝（
82
－
2
）×（
8
2
＋
2
）＋
2
2
- 2 -
＝
80
×
84
＋
4
＝
6720+4
＝
6724
。
由上例看出，因为
29
比
30
少
1
，
所以给
29
“补”
1
，这叫“补少”；因
为
82
比
80
多
2
，
所以从
82
中
“移走”
2
< br>，这叫“移多”。因为是两个相同数
相乘，
所以对其中一
个数
“移多补少”
后，还需要在另一个数上“找齐”。
本例中，给一个
29
补
1
，就要给另一
个
29
减
1
；
给一个
82
减了
2
，
就要给
另一个
82
加上
2
。
最后，
还要加上
“移
多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算
35
2
，得
35
×<
/p>
35
＝
40
×<
/p>
30
＋
5
2
=1225
。这与
三年级学的个位数是
5
的数的平方的
速算方法结果相同。
这种方法不仅
适用于求两位数的
平方值，也适用于求三位数或更多位
数的平方
值。
例
4
求
993
2
和
2004
2
的值。
解
：
993
2
=993
×
993
＝（
99
3
＋
7
）×（
993-7
）
+7
2
< br>
＝
1000
×
986
＋
49
＝
986000
＋
49
＝
986049
。
2004
2
=2004
×
2004
＝（
2004-4
）×（
2004+4
）＋
42
＝
2000
×
2008
＋
16
＝
4016000
＋
< br>16
＝
< br>4016016
。
下面，我们介绍一类特殊情况的
乘法
的速算方法。
请看下面的算式：
66
×
46
，
73
×
88
，
19
×
44
。
这几道算式具有一个共同特点，
两个因数都是两位数，一个因数的十
位数与个位数相同，另一因数的十位
数与个位数之和为
10
。这类算式有非
常简便的速算方法。
例
5
88
×
64
＝？
分析与解
：由乘法分配律和结合律，
得到
88
×
64
＝（
80
＋
8
）×（
60
＋
4
）
＝（
80
＋
8
）×
60
＋
（
80
＋
8
）
×
4
＝
80
×
60
＋
8
×
60
＋<
/p>
80
×
4
＋
8
×
4
＝
80
×<
/p>
60
＋
80
×<
/p>
6
＋
80
×
4
＋
8
×
4
＝
80
×（
60
＋
6
＋
4
）＋
8
×
4
＝
80
×（
60
＋
10
）
＋
8
×
4
＝
8
×（<
/p>
6
＋
1
）×
100+8
×
4
。
于是，我们得到下面的速算式：
由上式看出，积的末两位数是两<
/p>
个因数的个位数之积，本例为
8
×
4
；
积中从百位起前面的数是“个位与十
位相同的因数”的十位数与“个位与
十位之和为
10
的因数”的十位数加
1
的乘积
，本例为
8
×（
6
＋
1
）。
例
6
77
×
91
＝？
解
：
由例
3
的解法得到
< br>
由上式看出，当两个因数的个位
数之积是一位数时，应在十位上补一
< br>个
0
，本例为
7
×
1
＝
07
< br>。
用这种速算法只需口算就可以方
便地解答出这类两位数的乘法计算。
< br>
练习
1
1.
求下
面
10
个数的总和：
165
，
152
，
168
，
171
，
148
< br>，
156
，
169
，
161
，
157
，
149
。
2.
农业
科研小组测定麦苗的生长
情况，
量出
1
2
株麦苗的高度分别为
（单
位：厘米）
：
26
，
25
，
25
，
23
，
27
，
28
，
26
，
24
，
29
，
27
，
27
，
25
。求这批麦苗的
平均高度。
3.
某车间有
9
个工人加
工零件，
他们加工零件的个数分别为：
68
，<
/p>
91
，
84
，<
/p>
75
，
78
，<
/p>
81
，
83
，<
/p>
72
，
79
。<
/p>
他们共加工了多少个零件？
4.
计算：
13
＋<
/p>
16
＋
10+11
＋
17
＋
12
＋
15
＋
12
＋
16
＋
13
＋
12
。
5.
计算下列各题：
（
1
）
37
2
；
（
2
）
53
2
；
（
3
）
91
2
；
（
4
）
68
2
：
（
5
）
108
2
；
（
6
）
397
2
。
6.
计算下列各题：
（
1
）
77
< br>×
28
；（
2
< br>）
66
×
55
< br>；
（
3
）
33
×
19
；（
4
）
82
×
44
；
（
5
）
37
×
33
；（
6
）
46
×
99
。
练习
1
答案
1.1596
。
2.26
厘米。
3.711
个。
4.147
。
5.
（
1<
/p>
）
1369
；
（
2
）
280
9
；
（
3<
/p>
）
8281
；
（
4
）
4624
；<
/p>
（
5
）
11664
；
（<
/p>
6
）
157609
。
6
.
（
1
）
21
56
；
（
2
）
3630
；
（
3
）
627
；
（
4
）
3608
；
（<
/p>
5
）
1221
；
（
6
）
4554
。
第
2
讲
速算与巧算（二）
上一讲我们介绍了一类两位数乘
法的
速算方法，这一讲讨论乘法的
“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于
< br>10
，则称这两个
数
互补
。在整数乘法运算中，常会遇
到像
72
×
78
，
26
×
86
等被乘数与乘数
的十位数字相同或互补，或被乘数与
乘数的个位数字相同或互补的情况。
72
×
78
的被乘数与乘数
的十位数字相
同、个位数字互补，这类式子我们称
为“头相同、
尾互补”型；
26
×
86
的
被乘数与乘数的十位数字互补、个位
数字相同，这
类式子我们称为“头互
补、尾相同”型。计算这两类题目，
有非
常简捷的速算方法，
分别称为
“同
补”
速算法
和
“补同”速算法
。
例
1
（
1
）
76
×
74
＝？
（
2
）
31
×
< br>39
＝？
分析与解：本例两题都是“头相
同、
尾互补”类型。
（
1
）由乘法分配律和结合律，得
到
76
×
74
＝（
7
＋
6
）
×（
70+4
）
＝（
70
＋
6
）×
70
＋（
7
< br>＋
6
）×
4
＝
70
×
70
＋
6
×
70
＋
70
×
4
＋
6
×
4
＝
70
×（
70
＋
6
＋
4
）＋
6
×
4
＝<
/p>
70
×（
70
＋
10
）＋
6
×
4
- 3 -
＝
7
×（<
/p>
7+1
）×
100
＋
6
×
4
。
于是，我们得到下面的速算式：
（
2
）与（
1
）类似可得到下面的速算
式：
由例
1
看出，在“头相同、尾互
< br>补”的两个两位数乘法中，积的末两
位数是两个因数的个位数之积（不够
两位时前面补
0
，如
1
×
9
＝
09<
/p>
），积
中从百位起前面的数是被乘数（或乘
数）的十位数与十位数加
1
的乘积。
“同补”速算法简单地说就是：
积的末两位是
“尾×尾”
，
前面是
“头
×（头
+1
）”
。
我们在
三年级时学到的
15
×
15
，
25
×
25
，…，
95
×
95
的速算，实际上
就是“同补”速算法。
例
2
（
1<
/p>
）
78
×
38<
/p>
＝？
（
2
）
43
×
63
＝？
分析与解
：
本例两题都是“头互补、
尾相同”类型。
（
1
）由乘法分配律和结合律，得到
78
×
38
＝（
70
＋
8
）×（
30
＋
8
）
＝（
70
＋
8
）×
30
＋（
70
＋
8
）×
8
＝
70
×
30+8
×
30
＋
70
×
8
< br>＋
8
×
8
＝
70
×
30
＋
8
×（
30
＋
70
）＋
8
×
8
＝
7
×
3
×
100
＋
8
×
100
＋
8
×
8
＝（
7
×
3
＋
8
）×
100
＋
8
×
8
。<
/p>
于是，我们得到下面的速算式：
（
2
）与（
1
）类似
可得到下面的
速算式：
由例
2
看出，在“头互补、尾相同”
的两个两位数乘法中，积的末两位数
是两个因数的个位数之积（不够两位
时前面补
0
，如
3
×
3
＝
09<
/p>
），积中从
百位起前面的数是两个因数的十位数
< br>之积加上被乘数
（或乘数）的个位数。
“补同”速算法简
单地说就是：
积的末两位数是“尾×尾”，前面是
“头×头
+
尾”
。
例
1
和例
2
介绍了两位数乘以两位数
的“同补”或“补同
”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时，情况会
发生什么
变化呢？
我们先将互补的概念推广一下。
当两
个数的和是
10
，
100
，
1000
，…时
，
这两个数互为补数，简称互补
。如
4
3
与
57
互补，
99
与
1
互补，
555
与
445
互补。
在一个乘法算式中
，当被乘数与
乘数前面的几位数相同，后面的几位
数互补时，这
个算式就是“同补”型，
即
“
头
相
同
，
尾
互
补
”
型
。
例
如
，
因为被乘数与乘
数的前两位数相同，都是
70
，后两位
数互补，
77<
/p>
＋
23
＝
100
，
所以是
“同补”
型
。
又
如
，
等都是“同补”型。
当被乘数与乘数
前面的几位数互补，
后面的几位数相同时，这个乘法算式
就是“
补同”型，即“头互补，尾相
同”型。
例如，
< br>
等
都
是
“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法<
/p>
时，例
1
的方法仍然适用。
例
3
（
1
）
702
×
708=
？
（
2
）
1708
×
1792
＝？
解
：（
1
）
（
2
）
计算多位数的“同补”
型乘法时，
将“头×
（头
+1
）”作为乘积的前几
位，将两
个互补数之积作为乘积的后
几位。
注
意：互补数如果是
n
位数，则应占
乘积
的后
2n
位，不足的位补“
0
”。
在计算多位数的“补同”型乘法
时，如果“补”与“同”，即“头”
与“尾”的位数相同，那么例
2
的方
法仍然适用（见例
4
）；如果“补”与
“同”的位数不相同，那么例
2
的方
法不再适用，因为没有简捷实用的方
法，所以就不再讨论了。
例
4
2865
×
7265
＝？
解
：
练习
2
计算下列各题：
1.68
×
62
；
2.93
×
< br>97
；
3.27
×
87
；
4.79
×
< br>39
；
5.42
×
62
；
6.603
×
607
；
7.693
×
607
；
8.4085
×
6085
。
第
3
讲
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪
明过人，上学时，有一天老师出
了一
道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100<
/p>
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋
头计算，小高斯却很快算出答案等于
- 4 -
5050
。高斯为什么算得又快又准
呢？
原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99<
/p>
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋
52
＝
50
＋
51
。
1
～
100
正好可
以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小
高斯把这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小高斯使用的这种求和方法，真
是聪明极了，简单快捷，并且广泛地
适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列
，数
列中的每一个数称为一项，其中第一
项称为
首项
，最后一项称为
末项
。后
项与前项之差都相等的数列称为
等差
数列
，后项与前项之差称为
公差
< br>。例
如：
（
< br>1
）
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，…，
1
00
；
（
2
）
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，…，
99
；（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，…，
71
。
其中
（<
/p>
1
）
是首项为
1
，
末项为
100
，
公差为
1
的等差数列；
（
2
）是首项为
1
，末项为
99
，公差为
2
的等差数列；
（
3
）是首项为
8
，末项为
71<
/p>
，公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得
到
等差数
列的求和公式
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。
例
1
1
＋
2
＋
3
＋…＋
1999
＝？
<
/p>
分析与解
：
这串加数
1
，
2
，
3
，
…，
1999
是等差数列，
首项是
1
，
末项是
1999
，
共有
1999
个数。
由等差数列求和公式<
/p>
可得
原式
=
（
1
＋
1999
）×
19
99
÷
2
＝
1
999000
。
注意：利用等差数列求和公式之
前，
一定要判断题目中的各个加数是
否构成等差数列。
例
2
11
＋
12
＋
13
＋
…＋
31
＝？
分析与解
：
这串加数
11
，
12
，
13
，
…，
31
是等差数列，
首项是
11
，
末项是
31
，
共有
31-11
＋
1
＝
21
（项）。
原式
=
（
11+31
）×<
/p>
21
÷
2=441
。
在利用等差数列求和公式时，有时项
数并不是一目了然的，这时就需要先
求出项数。根据首项、末项、公差的
关系，可以得到
项数
=
（末项
-
首项）÷公差
+1
，
末项
=
首项
+
公差×（项数
-1
）
。
例
3
3
＋<
/p>
7
＋
11
＋…＋
99
＝？
分
析与解
：
3
，
7
，
11
，…，
99
是公差
为
4
的等差数列，
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝
25
，
< br>原式
=
（
3
＋
99
）×
25
< br>÷
2
＝
1275
。
例
4
< br>求首项是
25
，
公差是
3
的等差数
列的前
40
项的和。
解
：末项
=25
＋
3
×（
40-1
）＝
142
，
和
=
（
25
＋
142
）×
40
÷
2
＝
3340
。
利用等差数列求和公式及求项数和末
项的公式，可以解决各种与等差数列
求和有关的问题。
例
5
在下图中，每个最小的等边三角
形的面积是
12
厘米
< br>2
，边长是
1
根火
柴棍。问：（
1
）最大三角形的面积是
多少平方厘米？
（
2
）整个
图形由多少
根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有
8
层，从上往
下摆时，每层的小三角形数目及所用
火柴数目如下表：
< br>
由上表看出，各层的小三角形数成等
差数列，
各层的火柴数也成等差数列。
解
：（
1
）最大三角形面积为
（
1
＋
3
＋
5
＋…＋
15<
/p>
）×
12
＝［（
1
＋
15
）×
8
÷
2
］×
12
＝
768
（厘米
2
）。
2
）火柴棍的数目为
3
＋
6
＋
9+
…
+24
＝（
3
＋<
/p>
24
）×
8
÷<
/p>
2=108
（根）。
< br>答：最大三角形的面积是
768
厘米
2
，
整个图形由
108
根火柴摆成。
例
6 <
/p>
盒子里放有三只乒乓球，一位魔
术师第一次从盒子里拿出一只球，
将
它变成
3
只球后放回盒子里；第二次
又从盒子里拿出二只球，将每只球各
变成
3
只球后放回盒子里……第十次
从盒子里拿出十只球，将每只
球各变
成
3
只球后放回到盒子里。这时
盒子
里共有多少只乒乓球？
分析与解
：一只球变成
3
只球，实际
上多了
2
只球。第一次多了
2
只球，
第二次多了
2
×
2
只球……第十次多了
2
×
10
只球。因此拿了十次后，多了<
/p>
2
×
1
＋
2
×
2
＋…＋
2
×
10
＝
2
×（
1
＋
2
＋…＋
10
）
＝
2
×
55
＝
110
（只）。
加上原有的
3
只球，盒子里共有
球
110
＋
3
＝
113
（只）。
综合列式为：
（
3-1
）×（
1
＋
2
＋…＋
10
）＋
3
＝
2
×［（
1
＋
10
）×
10
÷
2
］＋
3
＝
113
（只）。<
/p>
练习
3
1.
计算下列各题：
（
1
）
2
＋
4
＋
6
＋…＋
200
；
（
2
）
17
＋
19
＋
21
＋…＋
39
；
（
3
）
5
＋
8
＋
11
＋
14
＋…＋
50
；
（
4
）
3
＋
10
＋
< br>17
＋
24
＋…＋
101
。
2.
求首项是
5
，末项是
93
，公差
是
4
的等差数列的和。
3.
求首
项是
13
，公差是
5
< br>的等差
数列的前
30
项的和。<
/p>
4.
时钟在每个整点敲打，敲打的
次数等于该钟点数，每半点钟也敲一<
/p>
下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.
求
10
0
以内除以
3
余
2
的所有
数的和。
6.
在所
有的两位数中，十位数比
个位数大的数共有多少个？
第四讲
我们在三年级已经学习了能被
2
，
3
，
5
整除的数的特征，这一讲我们将讨论
整除
的性质，并讲解能被
4
，
8
，
9
整
除的数的特征。<
/p>
数的整除具有如下性质：
性质
1
如果甲数能被乙数整除，乙数
能被丙数整除，那么甲数一定能被丙
- 5 -
数整除
。例如，
48
能被
16
整除，
16
能被
8
整除，
那么
48
一定能被
8<
/p>
整除。
性质
2
如果两个数都能被一个自然数
整除，那么这两个数的和与差也一
定
能被这个自然数整除
。
例如，
21
与
15
都能被<
/p>
3
整除，那么
21
＋
15
及
21-15
都能被
3
整除。
性质
3
如果一个数能分别被两个互质
的自然数整除，那么这个数一定能被
这两个互质的自然数的乘积
整除
。例
如，
126
< br>能被
9
整除，又能被
7
整除，
且
9
与
7
互质，那么
126
能
被
9
×
7
＝<
/p>
63
整除。
利用上面关于整除的性质，我们
可以
解决许多与整除有关的问题。为
了进一步学习数的整除性，我们把学
过的和将要学习的一些整除的数字特
征列出来：
（
1
）
一个数的个位数字如果是
0
，
2
，
4
< br>，
6
，
8
中的一个，那么这个数就
能被
2
整除
。
（<
/p>
2
）一个数的个位数字如果是
0
或
5
，那么这个数就能被
5
整除。
（
3
）
一个数各个数位上的数字之
和如果能被
3<
/p>
整除，那么这个数就能
被
3
整除。
（
4
）
一个数的末两位数如
果能被
4
（或
25
）整除，那么这个数就能被
4
（或
25
）整除。
（
5
）
一个数的末三位数如果能被
8
（或
125
）整除，那么这个数就能被
8
（或
125
）整除。
（
6
）
一个数各个数位上的数字之
和如果能被<
/p>
9
整除，那么这个数就能
被
9
整除。
其中（
1
）
（
2
）（
3
）
是三年级学
过的内容，（
4
）（
5
）（
6
）是本讲要
学习的内容。
因为
100
能被
4
（或
25
）整除，
所以由整除的性质
1
知，整
百的数都
能被
4
（或
< br>25
）整除。因为任何自然
数都能分成一个整百的数与这
个数的
后两位数之和，所以由整除的性质
2
知，
只要这个数的后两位数能被
4
（或
25
）整除，这个数就能被
4
（或
25
）
整除。
这就证明了（
4
）。
类似地可以证明（
5
）。
（
6
）的正
确性，我们用一个具体
的数来说明一般性的证明方法。
837
＝
800
＋
30
＋
7
＝
8
×
100
＋
3
×
10
＋
7
＝
8
×（
99
＋
1
）＋
3
×（
9
＋
1
）＋<
/p>
7
＝
8
×
99
＋
8
＋
3
×
9
＋
3
＋
7
＝（
8
×
99
＋
3
×
9
）＋（
8
＋
3
＋
< br>7
）。
因为
99
和
9
都能被
9
整
除，
所以
根据整除的性质
1
和性质
2
知，
（
8x99
＋
3x9
）<
/p>
能被
9
整除。
再
根据整除的性
质
2
，由（
8
＋
3
＋
< br>7
）能被
9
整除，就
能判断
837
能被
9
整除。
利用（
4
）（
5
）（
6
）还可以求出一
个数除以
4
，
8
，
9
的余数：
（
4
‘）一个数除以
4
的余数
，与它的
末两位除以
4
的余数相同。<
/p>
（
5
＇）一个
数除以
8
的余数，与它的
末三位除以<
/p>
8
的余数相同。
（
6
＇）一个数除以
9
的余数，与它的
各位数字之和除以
9
的余数相同。
例
1
在下面
的数中，哪些能被
4
整
除？哪些能被<
/p>
8
整除？哪些能被
9
整
除？
234
< br>，
789
，
7756
，
8865
，
3728.
8064
。
解
：能被
4
整除的数有
7756
，
3728
，
806
4
；
能被
8
整除的数有
3728
，
8064
；
能被
9
整除的数有
234<
/p>
，
8865
，
8
064
。
例
2
在四位
数
56
□
2
中
，被盖住的十
位数分别等于几时，这个四位数分别
能被
9
，
8
，
4
整除？
解：如果
56
□
2
能被
9
整除，那么
5
＋
6
＋□＋
2
＝
13<
/p>
＋□
应能被
9
整除，
所以当十位数是
5
，
即
四位数是
5652
时能被
9
整除；
如果
56
□
2
能被
8<
/p>
整除，那么
6
□
2
应能被
8
整除，
所以当十位数是
3
或
7
，
即四位数是
5632
或
5672
时能被
8
整除；
如果
56
□
2
能被
4
整除，
那么□
2
应能被
4
整除，
所以当十位数是
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
即四位数是
5612
，
5632
< br>，
5652
，
5672
，
5692
时能被
4<
/p>
整除。
<
/p>
到现在为止，我们已经学过能被
2
，
3
，
5
，
4
，
8
，
9
整除的数的特征。
根据整除的性质
3
，
我们可以把判断整
除的范
围进一步扩大。例如，判断一
个数能否被
6
整除，因为
6
＝
2
×
3
，
2
与
3
互质，所以如果这个数既能被
2
整除又能被
3
整除，那么根据整除的
性质
3
，
可判
定这个数能被
6
整除。
同
理，判断一个数能否被
12
整除，
< br>只需
判断这个数能否同时被
3
和
4
整除；
判断一个数能否被
72
整除，
只需判断
这个
数能否同时被
8
和
9
< br>整除；如此
等等。
例
3
从
0
，
2
，
5
，
7
四个数字中任选
三
个，组成能同时被
2
，
5
，
3
整除的数，
并将这些数从小到大进行排列。
解
：因为组成的三位数能同时被
2
，
5
整除，
所以个位数字为
0<
/p>
。
根据三位数
能被
3
整除的特征，数字和
2
＋
7
＋
0
与
5
＋
7
＋
< br>0
都能被
3
整除，因此所求
的这些数为
270
，
570
，
720
，
< br>750
。
例
4
五位数
能被
72
整除，
问：
A
与
B
各代表什么数字？
分析与解
：已知<
/p>
能被
72
整
除。
因为
72
＝
8
×
9
，
8
和<
/p>
9
是互质数，
所以
既能被
8
整除，又能被
9
整除。根据能被
8
整除的数的特征，
要求
能被
8
整除，由此可确
定
B
＝
6
。<
/p>
再根据能被
9
整除的数的特征，
的各位数字之和为
A
＋
3
＋
2
＋
9
＋
B
＝
A
＋
3
－
f
－
< br>2
＋
9
＋
6
＝
A
＋
2
0
，
<
/p>
因为
l
≤
A
≤
9
，
所以
21
≤
A
＋
20
≤
29
。
在这个范围内只有
27
能被
9
整除，
所以
A
< br>＝
7
。
解答例
4
的
关键是把
72
分解成
8
×
9
，
再分别根据能被
8
和
9
整除的数的<
/p>
特征去讨论
B
和
A
所代表的数字。在
解题顺序上，应先确定
B
所代表的数
字，因为
B
代表的数字不受
A
的取值
大小的影响，一旦
B
代表的数字确定
下来，
A
所代表的数字就容易确定了。
- 6 -
3
．
一些四位数，百位上的数字都
例
5
六位数
是
6
的倍数，
这样的六位数有多少个？
分析与解
：因为
6
＝
2
×
3
，且
2
与
3
互质，所以这个整数既能被
2
整除又<
/p>
能被
3
整除。由六位数能被
2
整除，
推知
A
可取
0
，
2
，
4
，
6
< br>，
8
这五个值。
再由六位数能被
3
整除，推知
3
＋
A
＋
B
＋
A
＋
B
＋
A
＝
3
＋
3A
＋
2B
能被
3<
/p>
整除，故
2B
能被
3
整除。
B
可取
0
，
3
，
6
，
9
这
4<
/p>
个值。由于
B
可以取
4
个值，
A
可以取
5
个值，
题目
没有要求
A
≠
B
，所以符合条
件的六位
数共有
5
×
< br>4
＝
20
（个）。
例
6
< br>要使六位数
能被
36
整
除，而且所得的商最小，问
A
，
B
，
C
各代表什么数字？
分析与解：
因为
36
＝
4
×
9
，且
4
与
9
互质，
所以这个六位数应既能被
4
整除又能被
9
整
除。
六位数
能被
4
整除，就要
能被
4
整除，
因此
C
可取
1
，
3
，
5
，
7
，
9
< br>。
要
使
所
得
的
商
最
小
，
就
要
使
这个六位数
尽可能小。
因此
首先是
A
尽量小，其次是
B
尽量小，
最后是
C
尽量小。
先试取
A=0
。
六位数
的各位数字
之和为
12
＋
B
＋
C
。它应能被
9
< br>整除，因此
B
＋
C
＝
6
或
B
< br>＋
C
＝
15
。
因为
B
，
C
应尽量小，
所
以
< br>B
＋
C
＝
6
，而
C
只能取
1
，
3
，
5
，
7
，
9<
/p>
，所以要使
尽可能小，应
取
B
＝
1
，
< br>C
＝
5
。
当
A
=0
，
B=1
，
C
＝
5
时，六位数能
被
36
整除，而且所得商最小，为
150156
÷
36
＝
4171
。
练习
4
1
．
653
9724
能被
4
，
8
，
9
，
24
，
36
，
72
中的哪几个数整除？
2
．个位数是
5
，且能被
9
整除的
三位数共有多少个？
是
3<
/p>
，
十位上的数字都是
6
< br>，
并且它们
既能被
2
整除又能被
3
整除。在这样
的四位数中，最大的和最小的各是多
少？
4
．
五位数
能被
12
整
除，
求这个五位数。
5
．有一个能被
24
整除的四位数
□
23
□，这个四位数最大是几？最小
是几？
6
．从<
/p>
0
，
2
，
3
，
6
，
7
这五个数码
中选出四个，
可以组成多少个可以被
8
整除的没有重复数字的四位数？
7
．在
123
的左右各添一个数码，
使得到的五位数能被
72
整除。
8
．学校买了
72
只小足球，发票
上的总
价有两个数字已经辨认不清，
只看到是□
67.9
□元，你知道每只小
足球多少钱吗？
第
5
讲
弃九法
从第
4
讲知道，如果一个数的各
个数位上的数字之和能被
9
整除，那
么这个数能被
9
整除；如果一个数各
个数位上的数字之和被
9
除余数是几，
那么这个数被
9
除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数
能否被
9
整除或者求出被
9
除的余数
是几。
例如，
3645732
这个数，
各个数位
上的数字之和为
3
＋
6
＋
4
＋
5
＋
7
＋
3
＋
2
＝
30
，
30
被
9
除余
3
，所以
3645732
这
个数不能被
9
整除，且被
9
除后余数
为
3
< br>。
但是，当一个数的数位较多时，
这种计算麻烦且易错。有没有更简便
< br>的方法呢？
因为我们只是判断这个式子被
9
除的余数，
所以凡是若干个数的和是
9
时，就把这些数划掉
，如
3
＋
6
＝
9
，
4
＋
5
＝
9
，
7
＋
2
＝
9
，把这些数划掉后，
最多只剩下一个
3
（如下图）
，
所以这
个数除以
9
的余数是
3
。
这种
将和为
9
或
9
的倍数的数字
< br>划掉，用剩下的数字和求除以
9
的余
数的方法，叫做弃九法
。
一个数被
9
除的余数叫做这个数
的
九余数
。利用弃
九法可以计算一个
数的九余数，还可以检验四则运算的
正确性。
例
1
求多
位数
76458215
除以
9
的余数。
分析与解
：
利用弃九法，将和为
9
的
数依次划掉。
只剩下
7
，
6
，
1
，
5
四个数，这
时
口算一下即可。口算知，
7
，
6
，
5
的和
是
9
的倍数，
又可划掉
，
只剩下
1
。
所
以这个多位数除以
9
余
1
。
例
2
将自然数
1
，
2
，
3
，…依次无间
隔
地
写
下
去
组
成
一
个
数
11
213
…如果一直写到自
然数
100<
/p>
，
那么所得的数除以
9
< br>的余数
是多少？
分析与解
：因为这个数太大，全部写
出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐
个划掉和为
9
或
9
的倍数的数，所以
要配合适当的分析。我们已经熟知
1
＋
2
＋
3
＋…＋
9
＝
45
< br>，
而
45
是
9
的倍数，
所以每一组
1
，
2
，
3
，…，
9
都可以划掉。在
1
～
99
这九十九个数中，
个位数有十组
1
，
2
，
3
，…，
9
，都可划掉；
十位数也有十
组
1
，
< br>2
，
3
，…，
< br>9
，也都划掉。这样
在这个大数中，除了
0
以外，只剩下
最后的
100
中的数字
1
。
所以这个数除
以
9
余
< br>1
。
在上面的解法中，并没有计算出
这个
数各个数位上的数字和，而是利
用弃九法分析求解。本题还有其它简
捷的解法。因为一个数与它的各个数
位上的数字之和除以
9
的余数相同，
所以题中这个数各个数位上的数字之
- 7 -
和，与
1
＋
2
＋…＋
100
除以
9
的余数
相同。
利用高斯求和法，
知此和是
5050
。
因为
5050
的数字和为
5
＋
0
＋
5
＋
0=10
，利用弃九法，弃去一个
9
余
1
，
故
5050
除以
9
余
1
。因此题中的数除
以
9
余
1
。
例
3
检验下面的加法算式是否正确：
2638457
＋
< br>3521983
＋
6745785
＝
12907225
。
分析与解
：
若干个加数的九余数相加，
所得和的九余数应当等于这些加数的
和的九余数。如果不等，那么这个加<
/p>
法算式肯定不正确。上式中，三个加
数的九余数依次为
8
，
4
，
6
，
8+4+6
的
九余数为
0
；和的九余数为
1
。因为
0
≠
1
，所以这个算式不正确。
例
4
检验下面的减法算式是否正确：
<
/p>
7832145-2167953
＝
56
64192
。
分析与解
：被减数的九余数减去减数
的九余数（若不够减，可在被减数的
九余数上加
9
，
然后再减）
应当等于差
的九余数。如果不等，那么这个减法
计算肯定不正确。上式中被减数的九
余数是
3
，
减数的九余数是
6
，
由
（
9+3
）
-6
＝
6
知，
原题等号左边的九余数是
6
。
等号右边的九余数也是
6
。
因为
6
＝
6
，
所以这个减法运算可能正确。
值得注意的是，这里我们用的是
“可
能正确”
。
利用弃九法检验加法、
减法
、
乘法
（见例
5
）
运算的结果是否
正确时，如果等号两边的九余数不相
等，那么这个算式肯定不正确；如果
等号两边的九余数相等，那么还不
能
确定算式是否正确，因为九余数只有
0
，
1
，
2
，
…，
8
九种情况，不同的数
可能有相同
的九余数。所以用弃九法
检验运算的正确性，只是一种粗略的
检
验。
例
5
检验下面的乘法算式是否正确：
46876
×
9537
＝
447156412
。<
/p>
分析与解
：两个因数的九余数相乘，<
/p>
所得的数的九余数应当等于两个因数
的乘积的九余数。如果不等，
那么这
个乘法计算肯定不正确。上式中，被
乘数的九余数是
4
，
乘数的九余数是
6
，
4
×
6
＝
24
，
24
的九余数是
6
。乘积的
九余数是
7
。
6
≠
7
，
所以这个算式不正<
/p>
确。
说明：
因为除法是乘法的逆运算，
被除数<
/p>
=
除数×商
+
余
数，所以当余数
为零时，利用弃九法验算除法可化为
用弃九法去
验算乘法。例如，检验
383801
÷
253=1517
的正确性，只需检
验
1517
×
253=383801
的正
确性。
练习
5
<
/p>
1
．求下列各数除以
9
< br>的余数：
（
1
）
7468251
；
（
2
）
36298745
；
（
3
）
2657348
；
（
4
）
6
678254193
。
2
．求下列各式除以
9
的
余数：
（
1
）
67235
＋
82564
；
（
2
）
97256-4782
3
；
<
/p>
（
3
）
2783
×
6451
；
（
4
）
347
7+265
×
841
。
3
．
用弃九法检验下列各题计算的
正确性：
< br>
（
1
）
228
×
222
＝
50616
；
（
< br>2
）
334
×
< br>336
＝
112224
；
（
3
）
23372428
÷
6
236
＝
3748
；
< br>
（
4
）
12345
÷
6789
＝
83810105
。
4
．有一
个
2000
位的数
A
< br>能被
9
整除，数
A
的各个数位上的数字之和
是
B
，
数
B
的各个数位上的数字之和是<
/p>
C
，
数
C
的各个数位上的数字之和是
D
。
求
D
。
第
6
讲
数的整除性（二）
这一讲主要讲能被
11
整除的数的
特征。
一个数从右边数起，
第
1
，
3
，
< br>5
，
…
位称为奇数位，
第
2
，
4
，
6
，
…位称为
偶数位。也就是说，个位、百位、万
位……是奇数位，十位、千位、十万<
/p>
位
…
…
是
偶
数
位
。
例
如
9
位
数
768325419
中，
奇
数位与偶数位如下图
所示：
能被
11
整除的数的特征：
一个数的奇
数位上的数字之和与偶数位上的数字
之和的差（大数减小数）如果能被<
/p>
11
整除，那么这个数就能被
11
整除
。
例
1
判断七
位数
1839673
能否被
11
整除。
分析与解
：
奇数位上的数字之和为
1
＋
3
＋
6
＋
3=13
，偶数位上的数字之和
为
8
< br>＋
9
＋
7=24
，因为
24-13=11
能被
11
整除，所以
1839673
能被<
/p>
11
整除。
根据能被
11
整除的数的特征，
也
能求出一个数除以
11
的余数。
一个数除以
11
的余数，
与它的奇
数位上的数字之和减去偶数位上的数
字之和所得的差除以
11
的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位
上的数字之和，那么应在奇数位
上的
数字之和上再增加
11
的整数倍，
使其
大于偶数位上的数字之和。
例
2
求下列各数除以
11
的余数：
（
1
）
41873
；
（
2
）
296738185
。
分析与解
：（
1
）
[
（
4
＋
8
＋
< br>3
）－（
1
＋
< br>7
）
]
÷
11
=7
÷
11
＝
0
……
7
，
所以
41873
除以
11
的余数是
7
。
（
2
< br>）奇数位之和为
2
＋
6
＋
3
＋
1
＋
5=17
，
偶数位之和为
9
＋
7
＋
8
＋
8
＝
32
。
因为
17
＜
32
，所以应给
1
7
增加
11
的
整数倍，使其大于
32
。
（
17+
11
×
2
）
-
32
＝
7
，
所以
296738185
除以
11
的余数是
7
。
需要说明的
是，当奇数位数字之
和远远小于偶数位数字之和时，为了
计算方
便，也可以用偶数位数字之和
减去奇数位数字之和，再除以
11
，所
得余数与
11
的差即为所求。
如上题
（
2
）
中，（
32-17
）÷
11
＝
1
……
4
，所求余
数是
< br>11-4=7
。
例
3
求
除以
11
的余
数。
分析与解
：
奇数位是
101
个
1
< br>，
偶数位
是
100
个
9
。
（
9
×
100-1
×
1
01
）÷
11
=799
÷
11=72
……
7
，
< br>
11-7=4
，所求余数是
4
。
- 8 -
例
3
还有其它简捷解法，例如每
个“
19
”奇偶数位上的数字相差
9-1
＝
8
，
奇数位上的数字
和与偶数位上的数字和相差
8
×
99=8
×
9
×
11
，能被
11<
/p>
整除。所以例
3
相
当于求最后三位数
191
除以
11<
/p>
的余
数。
例
4
用
3
，
3
，
7
，
7
四个数码能排出
哪
些能被
11
整除的四位数？
解
：
只要奇数位和偶
数位上各有一个
3
和一个
7
即可。
有
3377
，
3773
，
7337
，
7733
。
例
5
用
1
～
9
九个数码组
成能被
11
整
除的没有重复数字的最大
九位数。
分析与解
：最大的没有重复
数字的九
位数是
987654321
，
由
（<
/p>
9
＋
7
＋
5
＋
3
＋
1
）
-
（
8
＋
6
＋
4
＋
2
）＝
5
知，
987654321
不能被
11
整除
。
为了保证这个数尽可能大，我们尽量
调整低位数字，只要使奇
数位的数字
和增加
3
（
偶数位的数字和自然就减少
3
）
，
奇数位的数字之和与偶数位的数
字之和的差就变为
5
＋
3
×
2=11
，这个
数就能被
1
1
整除。调整“
4321
”，只
要
4
调到奇数位，
1
调到偶数位，
奇数
位就比原来增大
3
，
就可达到目的。
此
时，
4
，
3
在奇数位，
2
，
1
在偶数位，
后
四
位
最
大
是
2413
。
所
求
< br>数
为
987652413
。
例
6
六位数<
/p>
能被
99
整
除，
求
A
和
B
。<
/p>
分析与解
：由
99=9
×
11
，且
< br>9
与
11
互质，所以六位数既能
被
9
整除又能
被
11
整除。因为六位数能被
9
整除，
所以
A+2+8+7+5+B
＝
22+A+B
应能被
9
整
除，
由此推知
A
＋
B
＝
5
或
14
。
又因为六位数能被
11
整除，
所
以
（
A
＋
8
＋
5
）－（
2
＋
7
＋
B
）
＝
A-B
＋
4
应能被
1
1
整除，即
A-B+4=0
或
< br>A-B+4=11
。
化简得
B-A
＝
4
或
A-B
＝
7
。
因为
A+B
与
A-B
同奇同偶，所以
有
在（
1
）中，
A
≤
5
与
A
< br>≥
7
不能同
时满足，所以无解。
在（<
/p>
2
）中，上、下两式相加，得
（
B
＋
A
）＋（
B-A
）＝
14
＋
4
，
2B
＝
18
，
B=9
。
将
B=9
代
入
A
＋
B=14
，得
A
＝
5
。
所以
，
A=5
，
B
＝
9
。
练习
6
1
．
为使五
位数
6
□
295
能被
11
整
除，□内应当填几？
2
．用
1
，
2
，
3
，
4
四个数码能排
出哪些能被
11
整除的没有重复数字的
四位数？
3
．求能被
11
整除的最大的没有
重复数字的五位数。
4
．求下列各数除以
11
的余数：
（
1
）
2485
；
<
/p>
（
2
）
6358
2
；
（
3<
/p>
）
987654321
。
5
．求
除以
11
的
< br>余数。
< br>6
．
六位数
5A634B
能被
33
整除，求
A
+B
。
7
．
七位数
3
A8629B
是
88
的倍数，求
A
和
B
。
第
7
讲
找规律（一）
我们在三年级已经见过
“找规律”<
/p>
这个题目，学习了如何发现图形、数
表和数列的变化规律。这一讲
重点学
习具有“周期性”变化规律的问题。
什么是周期性变化规
律呢？比如，一
年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季
过后就是夏
天，赤日炎炎的夏季过后
就是秋天，果实累累的秋季过后就是
冬
天，白雪皑皑的冬季过后又到了春
天。年复一年，总是按照春、夏、秋、
冬四季变化，
这就是周期性变化规律。
再比如，数列<
/p>
0
，
1
，
2
，
0
，
1
，
2
，
0
，
1
，
2
，
0
，…是按照
0
，
1
，
2
三个数重
复出现的，这也是周期性变化问题。
下面，我们通过一
些例题作进一
步讲解。
例
1
节日的夜景真漂亮，街上的彩灯
按照
5
盏红灯、
再接
4
盏蓝灯、
再接
3
盏黄灯，
然后又是
5
盏红灯、
4
盏蓝灯、
3
盏黄灯、……这样排下去。问：
（
1
）第<
/p>
100
盏灯是什么颜色？
（
2
）
前
150
盏彩灯
中有多少盏蓝
灯？
分析与解
：这是一个周期变化问题。
彩灯按照
5
红、
4
蓝、
3
黄，每
12
盏
灯一个周
期循环出现。
< br>（
1
）
100
< br>÷
12
＝
8
……
4
，所以第
100
盏灯是第
9
个周期的第
4
盏灯，
是
红灯。
（
2
）
150
÷
1
2=12
……
6
，前
< br>150
盏灯共有
12
个周期零<
/p>
6
盏灯，
12
个
周
期中有蓝灯
4
×
12
＝
48
（盏）
，
最后的
6
盏灯中有
1
盏蓝灯，所以共有蓝灯
48
< br>＋
1=49
（盏）。
例
2
有一串数，任何相邻的四个数之
和都等于
25
。
已知第
1
个数是
3
< br>，
第
6
个数是
< br>6
，第
11
个数是
7
。问：这串
数中第
24<
/p>
个数是几？前
77
个数的和
是多少？
分析与解
：因为
第
1
，
2
，<
/p>
3
，
4
个数的<
/p>
和等于第
2
，
3
，
4
，
5
个数的和，所以
第
1
个数与第
5
个数相同。进一步可
推知
，
第
1
，
5<
/p>
，
9
，
13
，
…个数都相同。
同理，第
2
，
6
，
10
，
14
，…个数
都相同，第
3
，
7
< br>，
11
，
15
< br>，…个数都
相同，第
4
，
8
，
12
，
16
…个数都相同。
也就是说，这串数是按照每四个
数为
一个周期循环出现的。
所以，
第
2
个数等于第
6
个数，
是
6
；
第
3
个数等
于第
11
个数，是
7
。前三个数依次是
3
，
6
，
7
，第四个数是
<
/p>
25-
（
3+6+7
）
=9
。
这串数按照
3
，
6
，
7
，
9
的顺序循
不会出现四个偶数连在一起的情况，
环出现。第
24
个数与第
4
个数相同，
即
不会出现“
2000
”。
是
9
。由
77
÷
4
＝
9
……
1
知，前
77
个
例
5
A
，
B
，
C
，
D
四个盒子中依次放有
数是
19
个周期零
1
个数，其和为
25
8
< br>，
6
，
3
，
1
个球。第
1
个小朋友找到
×
19+3=478
。
放球最少的盒子，然后从其它盒子中
例
3
下面这串数的规律是：从第
3
个
各取一个球放入这个盒子；第
2
个小
数起，每个数都是它前面两个数之和
朋
友也找到放球最少的盒子，然后也
的个位数。
问：
这串数中第
88
个数是
从其
它盒子中各取一个球放入这个盒
几？
子……当
100
位小朋友放完后，
A<
/p>
，
B
，
628088640448
…
C
，
D
四个盒子中各
放有几个球？
分析与解
：这串数看起
来没有什么规
分析与解
：按照题意，前六位小朋友
律，但是如果其中有两个相邻数字与
放过后，
A
，
B
，
C
，
D
四个盒子中的球
前
面的某两个相邻数字相同，那么根
数如下表：
据这串数的构成规律，这两个相邻数
字后面的数字必然与前面那两个相邻
数字后面的数字相同，也就是说将出
现周期性变化。我们试着将这串数
再
多写出几位：
当写出第
21
，
22
位
（竖线右面的
两位）时就会发现，它们与第
1
< br>，
2
位
数相同，
所以这串数按每
20
个数一个
可以看出，第
6
人放过后与第
2
周期循环出现。
由
88
÷
20=4
……
8
知，
人放过后四个盒子中球的
情况相同，
第
88
个数与第
8
个数相同，
所以第
88
所以从第
2
人放过后，每经过
4
人，
个数是
4
。
四个盒子中球的情况重复出现一次。
从例
3
看出
，周期性规律有时并
（
100-1
）÷
4
＝
24
……
3
，
不明显，要找到它还真得动点脑筋。
所以第
1
00
次后的情况与第
4
次
例
4
在下面的一串数中，从第五个数
（
3
＋
1
< br>＝
4
）后的情况相同，
A
，
B
，
C
，
起，每个数都是它前面四个数之和的
D
盒中依次有
4
，
6
，
3
，
5
个球。
个位数字。那么在这串数中，能否出
练习
7
现相
邻的四个数是“
2000
”？
1
．
有一串很长的珠子，它是按照
7134
…
5
颗红珠、
3
颗白珠、
4
颗黄珠、
2
颗
分析与解
：
无休止地将这串数写下去，
绿珠的顺序重复排列的。问：第
100
显然不是聪明
的做法。按照例
3
的方
颗珠子是什么颜
色？前
200
颗珠子中
法找到一周期，
因为这个周期很长，
有多少颗红珠？
所以也不是好方法。那么怎么办呢？
2
．将
1
，<
/p>
2
，
3
，
4
，…除以
3
的余<
/p>
仔细观察会发现，这串数的前四个数
数依次排列起来，得到一个数
列。求
都是奇数，按照“每个数都是它前面
这个数列前
100
个数的和。
四个数之和的个位数字”，如果不看
3
．
有一串数，
前两个数是
9
和
7
< br>，
具体数，只看数的奇偶性，那么将这
从第三个数起，每
个数是它前面两个
串数依次写出来，得到
数乘积的个位数。这串数中第
100
个
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……
数是几？前
100
个数之和是多少？<
/p>
可以看出，这串数是按照四个奇
<
/p>
4
．有一列数，第一个数是
6
，以
数一个偶数的规律循环出现的，永远
后每一个
数都是它前面一个数与
7
的
- 9 -
和的个位数。这列数中第
88
个数是
几？
5
．
小明按
1
～
3
报数，
小红按
1
～
4
报数。
两人以同样的速度同时开始报
数
，当两人都报了
100
个数时，有多
少
次两人报的数相同？
6
．
A
，
B
，
C
，
D
四个盒子中依次放
有
9
，
6
，
3
，
0
个小球。第
1
个小朋友
找到放球最多的盒子，从中拿出
3
个
球放到其它盒子中各
1
< br>个球；第
2
个
小朋友也找到放球
最多的盒子，也从
中拿出
3
个球放到其
它盒子中各
1
个
球……当
100
个小朋友放完后，
A
，
B
，
C
，<
/p>
D
四个盒子中各放有几个球？
第
8
讲
找规律（二）
整数
a
与它
本身的乘积，即
a
×
a
叫做这个数的
平方
，记作
a<
/p>
2
，
即
a
2
＝
a
×
a
；
同样，三个
a
的乘积叫做
a
的三
次
方，记作
a
3
，即
a
3
＝
a
×
a
×
a
。一
般
地，
n
个
a
相乘，
叫做
a
的
n
次方
，
记
作
a
n
，即<
/p>
本讲主要讲
a
n
的个
位数的变化规
律，以及
a
n
除以某数所得余数的变化
规律。
因为积的个位数只与被乘数的个<
/p>
位数和乘数的个位数有关，
所以
an
的
个位数只与
a
的
个位数有关，而
a
的
个位数只有
0
，
1
，
2
，…，
9
共十种情
况，故我们只需讨论这十种情况。
为了找出一个整数
a
自乘
n
次后，
乘积的个位数字
的变化规律，我们列
出下页的表格，
看看
a
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
…
的个位数字
各是什么。
从表看出，
a
n
的个位数字的变化
规律可分为三类：
（
1
）当<
/p>
a
的个位数是
0
，
1
，
5
，<
/p>
6
时，
a
n
的个位数仍然是
0
，
1
，
5
，
6
。
（
2
）当
a
的个位数是
4
，
9<
/p>
时，
随着
n
的增
大，
a
n
的个位数按每两个
数为一周期循环出现。其中
a
的个位
数是
4
时，按
4
，
6
的顺序循环出现；
a
的个位数是
9
时，按
< br>9
，
1
的顺序循
环出现。
- 10 -
（
3
）当
a
的个位数
是
2
，
3
，<
/p>
7
，
8
时，随着
n
的增大，
a
n
的个位数按每
四个数为一周期循环出现。其中
a
的
个位数是
2
时，按
2
，
4
，
8
，
6
< br>的顺序
循环出现；
a
的个位数是
3
时，按
3
，
9
，
7
，
1
的顺序循环出现；
当
a
的个位
数是
7
< br>时，按
7
，
9
< br>，
3
，
1
的顺序循环
出现；
当
a
的个位数是
8
时，
按
8
，
4
，
2
，
6
的顺序循环出现。
例
1
求
67
999
的个
位数字。
分析与解：
因为
67
的个位数是
7
，
所以
67
n
的个位数随着
n
的增大，
按
7
，
9
，
3
，
1
四个数的顺序循环出现。
999
÷
4
＝
249
……
3
，
<
/p>
所以
67
999
的个位数字与
7
3
的个位
数字相同，即
67
999
的
个位数字是
3
。
例
2
求
2
91
+3
291
的个位数字。
分析与解
：
因为
2
n
的个位数字按
2
，
4
，
8
，
6
四个数的顺序循环出现，
91
÷
4
＝
22
……
3
，所以，
2
91
的个位数字与
2
3
的个位数字
相同，等于
8
。
类似地，
3
n
的个位数字按
3
< br>，
9
，
7
，
1
四个数的顺序循环出现，
291
÷
4
＝
72
……
3
，
所以
3
291
与
3
3
的个位数相同，
等于
7
。
最后得到
2
91
+3
291
的个位数字与
8+7
的个位数字相同，等于
5
。
例
3
求
28
128
-29
29
的个位数字。
解
：由
128
÷
4<
/p>
＝
32
知，
28
128
的个位数
与
8
4
的个位数相同，
等于
6
。
由
29
÷
2
＝
14
……
1
知，
29
29
的个位数与
9
1
的个
位数相同，等于
9
。因为
6
＜
9
，在减
法中需向十位借位，所以所求个位数
字为
16
－
9
＝
7
。
例
4
求下列各除法运算所得的余数：
（
1
）
78
55
÷
5
；
（
2
）
5
55
÷
3
。
分析与解
：（
1
）由
55
÷
4
＝
13
……
3
知，
78
55
的个位数与
8
3
的个位数相同，
< br>等于
2
，所以
78
55
可分解为
10
×
a
＋
2
。
因为
10
×
a
能被
5
整除，所以
78<
/p>
55
除
以
5
的余数是
2
。
（
2
）
因为
a
÷
3
的余数不仅仅与
a
的个位数有关，所以不能用求
5
55
的
个
位数的方法求解。
为了寻找
5
n
÷
3
的余
数的规律，先将
5
的各次方除以
3
的
余数列表如下：
注意：表中除以
< br>3
的余数并不需
要计算出
5
n
，然后再除以
3
去求，而
是用上次的余数乘以
5
后，再
除以
3
去求。比如，
5
2
除以
3
的余数是
1
，
5
3
除以
3
的余数与
1
×
5=5
除以
3
的余数
相同。这是因为
5
2
＝
3
×
8
+1
，其中
3
×
8
能被
3
整除，而
< br>
5
3
=
（
3
×
8+1
）
×
5
=
（
3
×
8<
/p>
）
×
5+1
×<
/p>
5
，
（
3
×
8
）×
5
能被
3
整除，所以
5
3
除以
3
的余数与
1
×
5
除以
3
的余数
相同。
由上表看出，
5
n
除以
3
的余数，
随着
n
的增大，
按
2
，
1
的顺序循环出
现。
由
55
÷
2=27
……
1
知，
5
55
÷
3
的余
数与
5
1
÷
3
的余数
相同，等于
2
。
例
5
某种细菌每小时分裂一次，每次
1
个细茵分裂成
3
个细菌。
20
时后，
将这些细菌每
7
个分为一组，还剩下
几个细菌？
分析与解
：
1<
/p>
时后有
1
×
3=
3
1
（个）细
菌，
2
时后有
3
1
×
3=3
2
（个）细菌……
20
时后，
有
3
20
个细菌，
所以本题相当
于“求
3
20
÷
7
的余数”。
由例
4
（<
/p>
2
）的方法，将
3
的各次
方除以
7
的余数列表如下：<
/p>
由上表看
出，
3
n
÷
7
的余数以六个
数为周期循环出现。
由<
/p>
20
÷
6
＝
3
……
2
知，
3
20
÷
7
的余数与
3
2
÷
7
的余数相同，
等于
2
。所以最后还剩
2
个细菌。
最后再说明一
点，
a
n
÷
b
所得余
数，随着
n
的增大，必然会出现周期
性变化规律，因为所得余数必然小于
b
，所以在
b
个数以内必会重复出现
。
练习
8
1
．求下列各数的个位数字：
（
1
）
38
38
；
（
2
）
29
30
；
（
3
）
64
31
；
（
4
）
17
215
。
2
．求下列各式运算结果的个位数字：
（
1
）
92<
/p>
22
＋
57
31
；
（
2
）
61
5
+48<
/p>
7
+34
9
；<
/p>
（
3
）
46
9
-62
11<
/p>
；
（
4
）
3
7
×
4
8
+5
9
×
6
10
。
3
．求下列各除法算式所得的余数：
（
1
）
5
100
÷
4
；
（
2
）
8
111
÷
6
；
（
3
）
4
88
÷
7
第
9
讲
数字谜（一）
我们在三年级已经学习过一些简
单的
数字谜问题。这两讲除了复习巩
固学过的知识外，还要学习一些新的
内容。
例
1
< br>在下面算式等号左边合适的地方
添上括号，使等式成立：
5+7
×
8+12
÷
4-2
＝
20
。
分析：等式右边是
20
，而等式左
边算式中的
7
×
8
所得的积比
20
大得
多。因此必须设法使这个积缩小一定
的倍数，化大为小。
<
/p>
从整个算式来看，
7
×
< br>8
是
4
的倍
数，
12
也是
4
< br>的倍数，
5
不能被
4
整
除，因此可在
7
×
8+12
前后添上小括
号，再除以
4
得
17
，
5
＋
17-2=20
。<
/p>
解
：
5+
（
7
×
8+12<
/p>
）÷
4-2=20
。
例
2
把
1
～
9
这九
个数字填到下面的
九个□里，组成三个等式（每个数字
只能填一
次）：
分析与解
< br>：如果从加法与减法两个算
式入手，那么会出现许多种情形。如
< br>果从乘法算式入手，那么只有下面两
种可能：
2
×
3
＝
6
或
2
×
4
＝
8
，
- 11 -
所以应当从乘法算式入手。
因为在加法算式□
+
□
=
□中，等
号两边的数相等
，所以加法算式中的
三个□内的三个数的和是偶数；而减
法算式
□
-
□
=
可以
变形为加法算式□
=
□
+
□，所以减法算式中的三个□内
的三个数的和也是偶数。于是可知，
原题加减法算式中的六个数的和应该
是偶数。
若乘法算式是
2
×
4
＝
8
，
则剩下的
六个数
< br>1
，
3
，
5
，
6
，
7
，
9
的和是奇数，
不合题意；
若乘法算式是
2
×
3
＝
6
，
则剩下的
六个数
1
，
4
，
5
，
7
，
8
，
9
可分为两组：
4
＋
5
＝
9
，
8-7
＝
1
（或
8-1
＝
7
）；
1
＋
7
＝
8
，
9
－
5
＝
4
（或
9
－
4
＝
5
）
。
所以答案为
与
例
3
下面的
算式是由
1
～
9
九个数字
组成的，其中“
7
”已填好
，请将其余
各数填入□，使得等式成立：
□□□÷□□
=
□
-
□
=
□
-7
。
分
析与解
：因为左端除法式子的商必
大于等于
2
，
所以右端被减数只能填
9
，
由此知左端被除数的百位数只能填
1
，
故中间减式有
8-6
，
6-4
，
5-3
和
4-2
四种可能。经逐一验证，
8-6
，
6-4
和
4-2
均无解，只有当中间减式为
5-3
时有如下两组解：
<
/p>
128
÷
64=5-3=9-7
，
或
164
÷
82
＝
5-3
＝
9-7
。
例
4
将
1<
/p>
～
9
九个数字分别填入下面
四个算式的九个□中，使得四个等式
都成立：
□
+
□
=6
，
□×□
=8
，
□
-
□
=6
，
□□÷□
=8
。
<
/p>
分析与解
：因为每个□中要填不同的
数字
，对于加式只有两种填法：
1
＋
5
或
2
＋
4
；
对于乘式也只有两种填法：
1
×
8
或
2
×
4
。加式与乘式的数字不能
相同
，搭配后只有两种可能：
（
1
）加式为
1
＋
5
，乘式为
2
×
4<
/p>
；
（
2
）加式为
2+4
，乘式为
1
×
8
。
对于（
1
），还剩
3
，
6
，
7
，
8<
/p>
，
9
五个数字未填，
减式只能是
9-3
，
此时
除式无法满足；
对于（
2
），还剩
3
，
5
，
6
，
7
，
9<
/p>
五个数字未填，
减式只能是
9-3
，
此时
除式可填
56
÷
7
。答案如下：
2
＋
4
＝
6
，<
/p>
1
×
8
＝
8
，
9
－
3
＝
6
，
56
÷
7
＝
8
。
例
2
～例
4
都是对题目经过初步
分析后，将满足题目条件的所有可能
情况全部列举出来，再逐一试算，决
定取舍。这种方法叫做
枚
举法
，也叫
穷举法
或
< br>列举法
，它适用于只有几种
可能情况的题目，如果可能的
情况很
多，那么就不宜用枚举法。
例
5
从
1<
/p>
～
9
这九个自然数中选出八
个填入下式的八个○内，使得算式的
结果尽可能大：
[
○÷○
×（○
+
○）
]-[
< br>○×○
+
○
-
< br>○
]
。
分析与解
：
为使算式的结果尽可能大，
应当使前一个中括号内的结果尽量
大，后一个中括号内的结果尽量小。
为叙述方便，将原式改写为：
[A
÷
B<
/p>
×
（
C
＋
D
）
]-[E
×
F
＋
G
－
H]
。
通过分析，
A
，
C
，
D
，
H
应尽可能
大，且
A
应最大，
C
，
< br>D
次之，
H
再次
之；
B
，
E
< br>，
F
，
G
应尽可能小，且
B
应
最小，
E
，
F
次之，
G
再次之。于是得
到
A
=9
，
C=8
，
D=7
，
H=6
，
< br>B=1
，
E=2
，
F=3
，
G=4
，其中
C
与
D
，
E
与
F
的值可
互换。将它们代入算式，得到
[9
÷
1<
/p>
×（
8
＋
7
）
]
－
[2
×
3
＋
4
－
6]=131
。
练习
9
1
．
在下面的算式里填上括号，
使
等式成立：<
/p>
（
1
）
4
×
6+24
÷
6-5=15
；
（<
/p>
2
）
4
×
6+24
÷
6-5=35
；
（
3
）
4
×<
/p>
6+24
÷
6-5=48
；
（
4
）
4
×
6+24
÷
6-5
< br>＝
0
。
2
．加上
适当的运算符号和括号，
使下式成立：
1 2 3 4 5
＝
100
。
3
．把<
/p>
0
～
9
这十个数
字填到下面
的□里，组成三个等式（每个数字只
能填一次）：<
/p>
□
+
□
=
□，
□
-
□
=
□，
□×□
=
□□。
4
．在下面的□里填上
+
，
-
，×，
÷，（）等符号，使各个等式成立：
4
□
4
□
4
□
4
＝
1
，
4
□
4
□
4
□
4
＝
3
，
4
< br>□
4
□
4
□
4
＝
5
，
4
□
4
□
4
□
4
＝
9
。
< br>5
．将
2
～
7
这六个数字分别填入
下式的□中，使得等式成立：
□
+
□
-
□
=
□×□÷□。
6
．将
1<
/p>
～
9
分别填入下式的九个
□内，使算式取得最大值：
□□□×□□□×□□□。
7
．将<
/p>
1
～
8
分别填入
下式的八个
□内，使算式取得最小值：
□□×□□×□□×□□。
第
10
讲
数字谜（二）
例
1
把下面算式中缺少的数字补上：
<
/p>
分析与解
：一个四位数减去一个三位
数，
差是一个两位数，也就是说被减
数与减数相差不到
100
。
四位数与三位
数相差不到
< br>100
，
三位数必然大于
900
，
四位数必然小于
1100
。由此我们找出
解决本题的突破口在百位数上。
（
1
）填百位与千位。由于被减数
是四位数，减数是三位数，差是两位<
/p>
数，
所以减数的百位应填
9
，
被减数的
千位应填
1
，百位应填
0
，
且
十位相减
时必须向百位借
1
。
（
2
）填个位。由于被减数个位数
字是
0
，差的个位数字是
1
，
所以减数
的个位数字是
9
< br>。
- 12 -
（
3
）填十位。由于个位向十位借
1
，十位又向百位借
1
，所以被减数十
位上的实际数值是
18
，
18
分解成两个
一位数的和，
只能是<
/p>
9
与
9
，
因此，
减
数与差的十位数字都是
9
。
所求算式如右式。
由例<
/p>
1
看出，考虑减法算式时，
借位是一个重
要条件。
例
2
在下列各加法算式中，相同的汉
字代表相同的数字，不同的汉字代表
不同的数字，求出这两个算式：
分析与解：
（
1
）这是一道四个数
连加的算式，
其特点是相同数位上的
数字相同，且个位与百位上的数字相
同，
即都是汉字“学”。
从个位相同数相加的情况来看，
和的个位数字是
8
，有两种可能情况：
2
＋
2
＋
2
＋
< br>2
＝
8
与
7
＋
7
＋
7
＋
7
＝
28<
/p>
，
即“学”＝
2
或
7
。
如果
“学”
＝
2
，
那么要使三个
< br>“数”
所代表的数字相加的和的个位数字为
8
，“数”只能代表数字
6
。此时，百
位上的和为“学”＋“学”＋
1
＝
< br>2
＋
2
＋
1
＝
5
≠
4
。因此“学”≠
2
。
< br>
如果
“学”
＝
7
，
那么要使三个
“数”
所代表的数字相加再加上个位进位的<
/p>
2
，和的个位数字为
8
< br>，“数”只能代
表数字
2
。
百位上两个
7
相加要向千位
进位
1
，由此可得“我”代表数字
3
。
满足条件的解如右式。
（
2
）由千位看出，“努”
=4
。由
千、百、十、个位上都有“努”，
5432-4
444=988
，
可将竖式简化为左下
式。同理，由左下式看出，“力”
=8
，
988-888=100
，
可将左下式简化为下中
式，从而求出“学”
=9
，“习”
=1
。
满足条件的算式如右下式。
分析与解
：
为清楚起见，
我们用
A
，
B
，
C
，
< br>D
，…表示□内应填入的数字（见
右上式）。
例
2
中的两题形式类似，但题目
由被乘数大于
500
知，
E=1
。
由于
特点并不相同，解法也不同，请同学
乘数的百位数与被乘数的乘积的末位<
/p>
们注意比较。
数是
5
，
故
B
，
C
中必有一个是
5
< br>。
若
C
例
3
下面竖式中每个汉字代表一个数
＝
5
，则有
字，不同的汉字代表不同的数字，求
6
□□×
5=
（
600+
□□）
×
< br>5=3000+
被乘数。
□□×
5
，
不可能等于□
5
□
5
，
与题意不符，
所以
B=5
。再由
B=5
推知
G=0
或
5
。
若
G=5
，则
F=A=9
，此时被乘数为
695
，
无论
C
为何值，它与
695
的积不可能
分析与解
：
由于个位上
的
“赛”
×
“赛”
等于□
5
□
5
，与题意不符，所以
G=0
，
所得
的积不再是“赛”，而是另一个
F=A=4
。此时已求出被乘数
是
645
，经
数，
所以
“赛”
的取值只能是
2
，
3
，
4
，
试验只有
645
×
7
满足□
5
□
5
，所以
7
，
8
，
9
。
C=7
；最后由
B=
5
，
G=0
知
D
为偶数，
下面采用逐一试验的方法求解。
经试
验知
D=2
。
（
1
）若“赛”＝
2
，则“数”＝
4
，
右式为所求竖式。
积
=444444
。被乘数为
444444
÷
2
＝
222222
，而被乘数各个数位上的数字
各不相同，所以“赛”≠
2
。
（
2
）若“
赛”＝
3
，则“数”
=9
，
仿（
1
）讨论，也不行。
（
3
）若“赛”＝
4
，则“数”＝
6
，
< br>积
=666666
。
66666
6
÷
4
得不到整数商，
此类乘法竖式题应根据已给出的
< br>不合题意。
数字、乘法及加法的进位情况，先填
（
4
）若“赛”＝
7
，则“数”＝
9
，
比较容易的未知数，再依次填其余未
积
=99999
9
。被乘数为
999999
÷
7
＝
知数。
有时某未知
数有几种可能取值，
142857
，符合题意。
需逐一试验决定取舍。
（
5
）若“
赛”＝
8
或
9
，仿上讨
例
5
在□内填入适当数字，
使左下方
论可知，不合题意。
的除法竖式成立。
所以，被乘数是
142857
。
例
4
在□内填入适当的数字，使左下
式的乘法竖式成立。
- 13 -
因为除数与
8
的积是两位数，除
数与商的千位数字的积是三位数，知
商的千位数是
9
，即商为
< br>9807
。
因为“除数×
9
”是三位数，所以
除数≥
12<
/p>
；又因为“除数×
8
”是两位
数，所以除数≤
12
。推知除数只能是
12
。被除数为
9807
×
12
＝
117684
。
除法算式如上页右式。
练习
10
分
析与解
：把左上式改写成右上式。
根据除法竖式的特点知，
B=0
，
D=G=1
，
E=F=H=9
，因此除数应是
9
9
的两位数
的约数，
可能取值有
11
，
33
和
99
，
再
由商的个位
数是
5
以及
5
与除数的积
是两位数得到除数是
11
，
进而知
A
＝
C-9
。至此，除数与商都已求出，其余
未知数都可填出（见右式）。
1
．
在下面各竖式的□内填入合适
的数
字，使竖式成立：
第
11
讲
归一问题与归总问题
在解答某些应用题时，常常需要
先找
出“单一量”，然后以这个“单
一量”为标准，根据其它条件求出结
果。用这种解题思路解答的应用题，
称为
归一问题
。所谓“单一量”是指
单位时间的工作量、物品的单价、单
位面积的产量、单位时间所走的路程
等。
例
1
一种钢轨，
4
根共重
1900
千克，
现在有
95000
千克钢，可以制造这种
钢轨多少根？（损耗忽略不计）
2
．
右面的加法算式中，相同的汉
字代表相同的数字，不同的汉字代表<
/p>
此类除法竖式应根据除法竖式的
特点，
如商的空位补
0
、
余数必须小于
除数，
以及空格间
的相互关系等求解，
只要求出除数和商，问题就迎刃而解
了。<
/p>
例
6
把左下
方除法算式中的
*
号换成
数字，
使之成为一个完整的式子
（各
*
所表示的数字不一定相同）。
3
．
在下列
各算式中，不同的汉字
代表不同的数字相同的汉字代表相同
的数
字。求出下列各式：
不同的数字。问：“小”代表什么数
字？
分析：以一根钢轨的重量为单一
量。
（
1
）一根钢轨重多少千克？
1900
÷
4
＝
475
（千克）。
（
2
）
95000
千克能制造多少根
钢
轨？
95000
÷
475
< br>＝
200
（根）。
解
：
95000
÷
（
1900
÷
4
）
＝
200
（根）
。
答：可以制造
200
根钢轨。
例
2
王家养了
5
头奶牛，
7
天产牛奶
630
千克，照这样计算，
8
头奶牛
15
天可产牛奶多少千克？
分析：以
1
头奶牛
1
天产的牛奶<
/p>
为单一量。
（
1
）
1
头奶牛
1
天产奶多少千克？
630
÷
5
÷
7
＝
18<
/p>
（千克）。
（
2
）
8
头奶牛
15
天可产牛奶多少
千克？
4
．
在下列各算式中，相同的字母
代表相同的数字，不同的字母代表不
< br>18
×
8
×
15
＝
2160
（千克）。
解
：（
630
÷
5
÷
7
）×
8
×
15=216
0
（千
克）。
答：可产牛奶
2160
千克。
例
3
三台同样的磨面机
2.5
时可以磨
面粉
240
0
千克，
8
台这样的磨面机磨
25600
千克面粉需要多少时间？
分析与解
：由上面的除法算式容易看
出，商的十
位数字“
*
”是
0
，即商为
。
同的数字。这些算式
中各字母分别代
表什么数字？
-
14 -
分析与解
：以
1
台磨面机
1
时磨的面
粉为单一量。
（
1
）
1
台磨面机
1
时磨面粉多少
千克？
2400
÷
3
÷
2.5=320
（千克）。
（
2
）
8
台磨面机磨
25600
< br>千克面
粉需要多少小时？
25600
÷
320
÷
8=10
（时）。
综合列式为
25600
÷
（
2400
÷
3
÷
2.5
）
÷
8=10
（时）。
例
4
4
辆大
卡车运沙土，
7
趟共运走沙
土
336
吨。
现在有沙土
420
吨，
要求
5
趟运完。问：需要增加同样的卡车多
少辆？
分析与解
：以
1
辆卡车
1
趟运的沙土
为单一量。
< br>
（
1
）
1
辆卡车
1
趟运沙土多少吨？
336
÷
4
÷
7=12
（吨）。
< br>
（
2
）
5
趟运走
420
吨沙土需卡车
多少辆？
420
÷
12
÷
5
＝<
/p>
7
（辆）。
（
3
）需要
增加多少辆卡车？
7-4
＝
3
（辆）。
综合列式为
420
÷（
336
÷
4
÷
7
）÷
5-4
＝
3
（辆）。
与归一问题类似的是归总问题，
归一
问题是找出“单一量”，而
归总
问题
是
找出“总量”，再根据其它条
件求出结果。所谓“总量”是指总路
程、总产量、工作总量、物品的总价
等。
例
5
一项工程，
8
个人工作
15
时可以
完成，
如果
12
个人工作
，
那么多少小
时可以完成？
分析：
（
1
）工程总量相当于
1
个
人工作多少小时？
15
×
8<
/p>
＝
120
（时）。
（
2
）
12
个人完成这项工程需要多
少小时？
120
÷
12
＝<
/p>
10
（时）。
解
：
15
×
8
÷
12
＝
10
（时）。
答：
12
人需
10
时完成。
例
6
一辆汽车从甲地开往乙地，每小
时行
60
千米，
5
时到达。若要
4
时到
达，则每小时需要多行多少千米？
分析：从甲地到乙地的路程是一
定的
，以路程为总量。
（
1
）从甲地到乙地的路程是多少
< br>千米？
< br>60
×
5=300
（千米）。<
/p>
（
2
）
4
时到达，每小
时需要行多
少千米？
300
÷
4
＝
75
（千米）。
（
3
）每小时多行多少千米？
75
－
60
＝
15
（千米）。
解
：
（
60
×
5
）
÷
4
——
60
＝
15
（千米）
。
答：每小时需要多行
15
千米。
例
7
修一条公路，原计划
60
人工作，
80
天完成。
现在工作
20
天后，
又增加
了
< br>30
人，
这样剩下的部分再用多少天
可以完成？
分析：
（
1
）修这条公路共需
要多
少个劳动日（总量）？
60
×
80
＝
4800
（劳动日）。
（
< br>2
）
60
人工作
20
天后，还剩下
多少劳动日？
4800-60
×
20=3600
（劳动日）。
（
3
）剩下的工程增加
30
人后还
需多少天完成？
3600
÷（
60
＋
30
）
=40
< br>（天）。
解
：（
60
×
80-60
×
20
）÷（
60
＋<
/p>
30
）
＝
40<
/p>
（天）。
答：再用
40
天可以完成。
练习
11
1
．
2
台拖拉机
4
时耕地
20
公顷，
照这样速度，
5
台拖拉机
6
时可耕地多
少
公顷？
2
．
4
台织布机
5
时可以织布
2600
米，
24
台织布机几小时才能织布
24960
米？
3
．一种幻灯机，
5
秒
钟可以放映
80
张片子。问：
48
秒钟可以放映多少
张片子？
4
．
3
台抽水机
8
时灌
溉水田
48
公顷，
照这样的速度，
5
台同样的抽水
机
6
时可以灌溉水田多小公顷？
5
．
平整一
块土地，原计划
8
人平
整，
每天工作
7.5
时，
6<
/p>
天可以完成任
务。由于急需播种，要求
5
天完成，
并且增加
1
< br>人。问：每天要工作几小
时？
6
．食堂管理员去农贸市场买鸡
蛋，原计划按每千克
3.00
元买
35
千
克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔
钱多买了
2.5
千克鸡蛋。问：鸡蛋价
格下调后是每千克多少元？
7
．
锅炉房
按照每天
4.5
吨的用量
储备了
120
天的供暖煤。
供暖
40
天后，
由于进行了技术改造，
每天能节约
0.9
吨煤。
问：
这些煤共可以供暖多少天？
第
12
讲
年龄问题
年龄问题是一类以“年龄为内
容”的数学应用题。
年龄问题的主要特点
是：二人年
龄的差保持不变，它不随岁月的流逝
而改变；
二人的年龄随着岁月的变化，
将增或减同一个自然数；二人年龄的
倍数关系随着年龄的增长而发生变
化，年龄增大，倍数变小。
根据题目的条
件，我们常将年龄
问题化为“差倍问题”、“和差问
题”、“和
倍问题”进行求解。
例
1
儿子今年
10
岁，
5<
/p>
年前母亲的年
龄是他的
6
倍，母亲今年多少岁？
分析与解
：儿子今年
10
岁，
5
年前的
年龄为
5
岁，那么
5
年前母亲的年龄
为
< br>5
×
6
＝
30
（岁），因此母亲今年是
30
＋
5=
35
（岁）。
例
2
今年爸爸
48
岁，儿子
20
岁，几
年前爸爸的年龄是儿子的
5
倍？
< br>
分析与解
：今年爸爸与儿子的年龄差
< br>为“
48
——
20
”岁，因为二人的年龄
差不随时间的变化而改变，所以当爸
< br>爸的年龄为儿子的
5
倍时，两人的年
龄差还是这个数，这样就可以用“差
倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿
子年龄的
5
倍时，儿子的年龄是
< br>
（
48
——
20
）
÷
（
5
——
1
）
＝
7
（
岁）
。
由
20
－<
/p>
7
＝
13
（岁）
，推知
13
年
前爸爸的年龄是儿子年龄
的
5
倍。
例
3
兄弟二人的年龄相差
5
岁，兄
3
年后的年龄为
弟
4
年前的
3
倍。问：
兄、弟二人今年各多少岁？
分析与解
：
根据题意，
作示意图如下：
- 15 -
妹
[
（
97
——
2
——
8
）
-
（
4
＋
5
）
]
÷
2=39
（岁）。
例
6
1994
年父亲的年龄是哥哥和弟弟
年龄之和的
4
倍。
2000
年，父亲的年
由上图
可以看出，兄
3
年后的年
龄比弟
4
年前的年龄大
5
＋
3
＋
4
＝
12
（岁），由“差倍问题”解得，弟
4<
/p>
年前的年龄为（
5
＋
3
＋
4
）÷（
3
－
1
）
＝
6
（岁）。由此得到
弟今年
6
＋
4
＝
10<
/p>
（岁），
兄今年
10
＋
5
＝
15
（岁）。
例
4
今年兄弟二人年龄之和为
55
岁，
哥哥某一年的岁数与弟弟今年
的岁数
相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟
岁数的
2
倍，请问哥哥今年多少岁？
分析与解
：在哥哥的岁数是弟弟的岁
数
2
倍的那一年，若把弟弟岁数看成
一份，
< br>那么哥哥的岁数比弟弟多一份，
哥哥与弟弟的年龄差是
1
份。又因为
那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相
< br>等，所以今年弟弟岁数为
2
份，今年
哥哥岁数为
2
＋
1=3
（份）
（见下页图）
。
由“和倍问题”解得，哥哥今年<
/p>
的岁数为
55
÷
(3+2)
×
3=33(
岁
)
。
例
5
哥哥
5
年前的年龄与妹妹
4
年后
的年龄相等，哥哥
2
年后的年龄与妹
妹
8
年后的年龄和为
97
岁，
请问二人
今年各多少岁？
分析与解
：由“哥哥
5<
/p>
年前的年龄与
妹妹
4
年后的年龄相等”可知兄妹二
人的年龄差为
“
4
＋
5
”
< br>岁。
由
“哥哥
2
年后的年龄与妹妹
8
年后的年龄和为
< br>97
岁”，可知兄妹二人今年的年龄和
为“
97
——
2
——
8
”岁。由“和差问
题”解得，
< br>
兄
[
（
97
——
2
——
8
）
＋
（
4
＋
5<
/p>
）
]
÷
2
＝
48
（岁），
<
/p>
龄是哥哥和弟弟年龄之和的
2
倍。
问：
父亲出生在哪一年？
< br>分析与解
：如果用
1
段线表示兄
弟二
人
1994
年的年龄和，则父亲<
/p>
1994
年
的年龄要用
< br>4
段线来表示
（见下页图）
。<
/p>
父亲在<
/p>
2000
年的年龄应是
4
段线
再加
6
岁，
而兄弟二人在
2000
年的年
龄之和是
1
段线再加
2
×
6
＝
12
（岁）
，
它是父亲年龄的一半，也就是
2
段线
再加
3
岁。由
1
段＋
12
岁
=2
段＋
3
岁，
推知
1
段是
9
岁。所以父亲
1994
年的年龄是
9
×
4
＝
36
（岁），他出生
于
1994
——
36
＝
1958
（年）。
例
7
今年父亲的年龄为儿子的年
龄的
4
倍，
20
年后父亲的年龄为儿子
的年龄的
2
倍。问：父子今年各多少<
/p>
岁？
解法一
：
假设父亲的年龄一直是儿子
年龄的
4
倍
，那么每过一年儿子增加
一岁，父亲就要增加
4
岁。这样，
20
年后儿子增加
20
岁，
父亲就要增加
80
岁，
比儿子多增加了
80
－
20
＝
60
（
岁）
。
事实上，
20
年后父亲的年龄为儿
子的年龄的
2
倍
，根据刚才的假设，
多增加的
60
岁，
正好相当于
20
年后
儿子年龄的（
4
——
2
＝）
2
倍，因此，
今年儿子的年龄为
（
20
×
4
－
< br>20
）÷（
4
－
2
）－
20
＝
10
（岁），
父亲今年的年龄为
10
×
4
＝
40
（岁）。
解法二
：如果用<
/p>
1
段线表示儿子今年
的年龄，那么父亲今
年的年龄要用
4
段线来表示（见下图）。
20
年后，父亲的年龄应是
4
段线
再加上<
/p>
20
岁，
而儿子的年龄应是
1
段
线再加上
20
岁，是父亲年龄的一半，
也就是
2
段线再加上
10
岁。由
1
段＋<
/p>
20=2
段＋
10
，
求
得
1
段是
10
岁，
即儿子今年
10
岁，从而父亲今年
40
岁。
例
8
今年爷爷
78
岁，长孙
27
岁，次
孙
23
岁，三孙
16
岁。问：几年后爷
爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
分析：今年三个孙子的
年龄和为
27
＋
23
< br>＋
16=66
（岁），爷爷比三个孙
子的年龄和多
78
——
66
＝
12
（岁）。
每过
一年，爷爷增加一岁，而三个孙
子
的
年
龄
和却
要
增加
1
＋
1
＋
1
＝
3
（岁）
，
比爷爷多增加
3
－
1
＝
2
（岁
）
。
因而只需求出
12
里面有几个
2
即可。
解
：
[78
－（
27
＋
23
＋
16
）
]
÷（
1
＋
1
＋
1
－
1
）＝
6
（年）。
答：
6
年后
爷爷的年龄等于三个孙
子年龄的和。
练习
12
1
．父亲比儿子大
< br>30
岁，明年父
亲的年龄是儿子年龄的
< br>3
倍，那么今
年儿子几岁？
2
．王梅
比舅舅小
19
岁，舅舅的
年龄比王梅年
龄的
3
倍多
1
岁。问：
他们二人各几岁？
3
．小明今年
9
岁，父亲
39
岁，
再过多少年父亲的年龄正好是小明年
龄的
2
倍？
4
．
父亲年龄是女儿的
4<
/p>
倍，
三年
前父女年龄之和是
49
岁。
问：
父女两
人现在各多少岁？
5
．
一家三
口人，三人年龄之和是
74
岁，妈妈比爸爸小
< br>2
岁，妈妈的年
龄是儿子年龄的
4
倍。问：三人各是
多少岁？
6
．今年
老师
46
岁，学生
16
岁，
几年后老师年龄的
2
倍与
学生年龄的
5
倍相等？
- 16 -
7
．
已知祖孙三人，
祖父和父亲年
龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，
祖父和孙子年龄之和为
82
岁，
明年祖
父的年龄恰好
等于孙子年龄的
5
倍。
问：祖孙三人各
多少岁？
8
．
小乐问刘老师今年有多少岁，
刘老
师说：“当我像你这么大时
，你才
3
岁；
当你像我这么大时，
我已经
42
岁
了。
”你能算出刘老师有多少岁吗？
第
13
讲
鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容
涉及
到鸡与兔而命名的，它是一类有
名的中国古算题。许多小学算术应用
题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加
以计算。
例
1 <
/p>
小梅数她家的鸡与兔，数头
有
16
个，数脚有
44
只。问：小梅家
的鸡与兔各有多少只？
分析：
假设
16
只都是鸡，
那么就
应该有
2
×
16
＝
32
（只）
脚，
但实际上
有
44
只脚，比假设的情况多了
44-3
2
＝
12
（只）脚，出现这种情况的原
因
是把兔当作鸡了。如果我们以同样数
量的兔去换同样数量的鸡
，那么每换
一只，头的数目不变，脚数增加了
2
只。因此只要算出
12
里面有几个
2
，
就可以求出兔的只数。
解
：
有兔
（
44-2
×
16
）<
/p>
÷
（
4-2
）<
/p>
=6
（只）
，
有鸡
16
-6
＝
10
（只）。
< br>
答：有
< br>6
只兔，
10
只鸡。
当然，
我们也可以假设
16
只都是
兔子，那么就应该有
4
×
16
＝
64
（只）
脚，<
/p>
但实际上有
44
只脚，
< br>比假设的情
况少了
64
－
44
＝
20
（只）脚
，这是因
为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，
每换一只，头的数
目不变，脚数减少
了
4-2
＝
2
（只）。因此只要算出
20
< br>里面有几个
2
，就可以求出鸡的只数。
< br>
有鸡（
< br>4
×
16-44
）÷（
4-2
）
=10
（只）
，
有兔
16
——
10
＝
6
（只）。
由例
1<
/p>
看出，解答鸡兔同笼问题
通常采用假设法，
可以先假设都是鸡，
然后以兔换鸡；
也可以先假设都是兔，<
/p>
然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置
换问题。
例
2
100
< br>个和尚
140
个馍，大和尚
1<
/p>
人分
3
个馍，小和尚
1
人分
1
个馍。
< br>问：大、小和尚各有多少人？
分析与解
：本题由中国古算名题“百
僧分馍问题”演变而得。如果将大和
尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作
腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以
用假设法来解。
假设
100
人全是大和尚，那么共
需馍
300
个，
比
实际多
300
－
140
＝
160
（个）。现在以小和尚去换大和尚，
每换一个总人数不变，
而馍就要减少
3
——
1
＝
2
（个），因为
160
÷
2
＝
80
，
故小
和尚有
80
人，大和尚有
100
－
80
＝
20
（
人）。
同样，也可以假设
100
人都是小
和尚
，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一
种假设方法。
例
3
彩色文化用品每套
19
元，
普通文
化用品每套
11
元，
这两种文化用品共
买了
16
套，用钱
280
元。问：两种文
化用品各买了多少套？
分析与解
：我们设想有一只“怪鸡”
有
1
个头
11
只
脚，一种“怪兔”有
1
个头
19
只脚，它们共有
16
个头，
< br>280
只脚。这样，就将买文化用品问题转
换成鸡兔同笼
问题了。
假设买了
16
套彩色文化用品，
则<
/p>
共需
19
×
16
＝
304
（元），比实际多
304
——
280
＝
24
（元），现在用普通
文化用品去换彩色
文化用品，每换一
套少用
19
——
11
＝
8
（元），
所以
买普通文化用品
24
÷
8=3
（套）
，
买
彩
色
文
化
用
品
16
－
3
＝
13
（套）。
例
4
鸡、兔共
100
只，鸡脚比兔脚多
20
只。问
：鸡、兔各多少只？
分析：假设
100
只都是鸡，没有
兔，那么就有鸡脚
200
只，而兔的脚
数为零。这样鸡脚比兔脚多
200
只，
而实际上只多
20
只，
这说明
假设的鸡
脚比兔脚多的数比实际上多
200
——
20=180
（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚<
/p>
减少
2
只，兔脚增加
4
只，即鸡脚比
兔脚多的脚数中就会减少
< br>4
＋
2
＝
6
（只），而
180
÷
6
＝
30
，因此有兔子
30
只，鸡
100
——
30
＝
70
（只）。
解
：有兔（
2
×
100
——
20
）÷（
2
＋
4
）
＝
30
（只），
有鸡
100
——
30=
70
（只）。
答：有鸡
70
只，兔
30
只。
例
5
现有大、
小油瓶共
50
个，
每个大
瓶可装油
4
千克，每个小瓶可装油
2
千克，
大瓶比小瓶共多装
2
0
千克。
问：
大、小瓶各有多少个？<
/p>
分析：本
题与例
4
非常类似，仿
照例
4
的解法即可。
解
：小瓶有（
4
×
5
0-20
）÷（
4
＋
< br>2
）
＝
30
（个），
< br>大瓶有
50-30
＝
20
（个）。
答：有大瓶
20
个，小瓶
< br>30
个。
例
6
一批钢材，用小卡车装载要
45
辆，用大卡车装载只要
36
辆。
已知每
辆大卡车比每辆小卡车多装
4
吨，那
么这批钢材有多少吨？
< br>
分析：
< br>要算出这批钢材有多少吨，
需要知道每辆大卡车或小卡车能装多
< br>少吨。
< br>利用假设法，
假设只用
36
辆小
卡
车来装载这批钢材，因为每辆大卡车
比每辆小卡车多装
4
吨，
所以要剩下
4
×
36=144
（吨）。根据条件，要
装完
这
144
吨钢材还需要
45-36=9
（辆）
小
卡车。这样每辆小卡车能装
144
÷
9
＝
16
（吨）。由此可求出这批钢材有
多
少吨。
解
：
4
×
36
÷
（
45-36
）
×
45
＝
720
（吨）
。
答：这批钢材有
720
吨。
例
7
乐乐百货商店委托搬运站运送
500
只花瓶，双方商
定每只运费
0.24
元，但如果发生损坏，那么每打破一
只不仅不给运费，而且还要赔偿
1.26
元，
结果搬运站共得运费
115.5
元。
问
：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设
500
只花瓶在搬运过
程中一只也没有打破，那么应得运费
0.24
×
500=120
（元）。实际上只得到
115.5
元，
少得
120-11
5.5=4.5
（元）
。
- 17 -
搬运站每打破一只花瓶要损失
0.2
4
＋
1.26
＝
1.5
（元）
。
因此共打破花瓶
4.5
÷
1.5
＝
3
（只）。
解
：（
0.24
×
500
－
115.5
）÷（
0.24
＋
1.26
）＝
3
（只）。
答：共打破
3
只花瓶。
例
8
小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳
了
2
分钟，然后两人各跳了
3
分钟，
一共跳了
780
下。已知小喜比小乐每
分钟多跳
12<
/p>
下，
那么小喜比小乐共多
跳了多少下？<
/p>
分析与解
：利用假设法，假设小喜的<
/p>
跳绳速度减少到与小乐一样，那么两
人跳的总数减少了
12
×（
2
＋
3
）＝
60
（下）。
可求出小乐每分钟跳
（
780
—
—
60
）÷（
2
＋
3
＋
3
）
＝
90
（下），
小乐一共跳了
90
×
3=270
（下），
因此小喜比小乐共多跳
780
——
270
×
2
＝
240
（下）。
练习
13
1
．鸡、兔共有头
< br>100
个，脚
350
只，鸡、兔
各有多少只？
< br>2
．学校有象棋、跳棋共
26
副
，
2
人下一副象棋，
6
人下一副跳棋，
恰好
可供
12
0
个学生进行活动。问：象棋
与跳棋各有多少副？
3
< br>．
班级购买活页簿与日记本合计
32
本，花钱
74
元。活页簿每本
1.
9
元，日记本每本
3.1
元。问：买活
页
簿、日记本各几本？
4
．龟、鹤共有
100
个头，鹤腿比
龟腿多
20<
/p>
只。问：龟、鹤各几只？
5
．
小蕾花
40
元钱买了
14
张贺年
卡与明信片。贺年卡每张
3
元
5
角，
明信片每张
< br>2
元
5
角。问：贺年卡、
明信片各买了几张？
6
．
一个工
人植树，
晴天每天植树
20
棵，
雨天每天植树
12
棵，
他接连几
天共植树
112
棵，
平均每天植树
14
棵。
问：这几天中共有几个雨天？
7
．振兴小学六年级举行数学竞
赛，<
/p>
共有
20
道试题。
做对一题得
5
分，
没做或做错一题都
要扣
3
分。小建得
了
< br>60
分，那么他做对了几道题？
8
．有一
批水果，用大筐
80
只可
装运完，用小
筐
120
只也可装运完。
已知每只大筐
比每只小筐多装运
20
千
克，那么这批
水果有多少千克？
9
．
蜘蛛有
8
条腿，
蜻蜓有
6
条腿
和
2
对翅膀，
蝉有<
/p>
6
条腿和
1
对翅
膀。
现有三种小虫共
18
只，
有
118
条腿和
20<
/p>
对翅膀。问：每种小虫各有几只？
10
．鸡、兔共有脚
100
只，若将鸡换<
/p>
成兔，
兔换成鸡，
则共有脚
92
只。
问：
鸡、兔各几只
？
第
14
讲
盈亏问题与比较法（一）
人们在分东西的时候，经常会遇
到剩
余（盈）或不足（亏），根据分
东西过程中的盈或亏所编成的应用题
叫做盈亏问题。
例
1
小朋友分糖果，若每人分
4
粒则
多
9
粒；
若每人分
5
粒则少
6
粒。
问：
有多少个小朋友分多少粒糖？
分析：由题目条件可以知道，小<
/p>
朋友的人数与糖的粒数是不变的。比
较两种分配方案，
第一种方案每人分
4
粒就多
9
粒，第二种方案每人分
5
粒
就少
6
粒，两种不同的方案一多一少
相差
9
＋
6
＝
15
（粒）。相差的原因在
于两种方案的分配数不同，第一种方
案每人分
4
粒，第二种方案每人分
5
粒，
两次分配数之差为
5
－
4
＝
1
（粒）
。
每人相差
1
粒，
多少人
相差
15
粒呢？
由此求出小朋友的人数
为
15
÷
1
＝
15
（人），糖果的粒数为
4
×
15
＋
9
＝
69
（粒）。
解<
/p>
：（
9
＋
6
）÷（
5-4
）＝
15
（人），
4
×
15<
/p>
＋
9
＝
69
（粒）。
<
/p>
答：有
15
个小朋友，
< br>分
69
粒糖。
例
2
小朋友分糖果，若每人分
3
粒则
剩
2
粒；
若每人分
5
粒则少
6
粒。
问：
有
多少个小朋友？多少粒糖果？
<
/p>
分析：
本题与例
1
基本相同，
例
1
中两次分配数之差是
5-4=1
（粒）
，
< br>本
题中两次分配数之差是
5-3
＝
2
（粒）
。
例
1
中，两种分配方案的盈数与亏数
之
和为
9
＋
6
＝
15
（粒），本题中，两
种分配方案的
盈数与亏数之和为
2
＋
6=8
（粒）。仿照例
1
的解法即可。
解
：
（
6
＋
2
）÷（
4
——
2
）＝
4
（人），
3
×
4
＋
2
＝
14
（粒）。
答：有
4
个小朋友，
14
粒糖果。
由例
1
、<
/p>
例
2
看出，
所谓
盈亏问题，
就是把一定数量的东西分给一定数量
的人，由两种分
配方案产生不同的盈
亏数，反过来求出分配的总人数与被
分配东
西的总数量。解题的关键在于
确定两次分配数之差与盈亏总额（盈
数
+
亏数）
，由此得到求解
盈亏问题的
公式
：
<
/p>
分配总人数
=
盈亏总额
< br>÷
两次分配数
之差
。
需要注意的是，两
种分配方案的
结果不一定总是一“盈”一“亏”，
也会出现两“
盈”、
两“亏”、
一“不
盈不亏”一“
盈”或“亏”等情况。
例
3
小朋友分糖果，
每人分
10
< br>粒，
正
好分完；若每人分
16<
/p>
粒，
则有
3
个小
朋友分不到糖果。
问：
有多少粒糖果？
分析与解
：第一种方案是不盈不亏，
第二种方案是亏
16
×
3
＝
48
（粒）
，
所
以盈亏总额是
0
＋
48=48
（粒），而两
< br>次分配数之差是
16
——
10<
/p>
＝
6
（粒）。
由
盈亏问题的公式得
有小朋友（
0
＋
16
×
3
）÷（
16
—
—
10
）＝
8
（人），
有
糖
10
×
8
＝
80
（粒）。
下面的几道例题是购物中的盈亏
问题。
例
4
一批小朋友去买东西，若每人出
10
元则多
8
元；若每人出
7
元则少
4
元。问：有多少个小朋友？东西的价
格是多少？
<
/p>
分析与解
：两种购物方案的盈亏总额
是<
/p>
8
＋
4
＝
12
（元），两次分配数之差
是
10
——
7
＝
3
（元）。由公式得到
小朋友的人数（
8
< br>＋
4
）÷（
10
—
—
7
）＝
< br>4
（人），
东西的价格是
10
< br>×
4
——
8
＝
32
（元）。
例
5
顾老师到新华书店去买书，若买
5
本则多
3
元
；若买
7
本则少
1.8
元。
这本书的单价是多少？顾老师共带了
多少元钱？<
/p>
- 18 -
分析与解
：买
5
本多
3
元，买
7
本少
1.8
元。
盈亏总额为
3
＋
1.8=4.
8
（
元）
，
这
4.8
元刚好可以买
7
——
5
＝
2
< br>（本）
书，因此每本书
4.8
÷
2=2.4
（元），
顾老师共带钱
2.4
×
5
＋
3
＝
15
（元）。
例
6
王老师去买儿童小提琴，若买<
/p>
7
把，
则所带的钱差
110
元；
若买
5
把，
则所带的钱还差
30
元。
问：
儿童小提
琴多少钱一把？王老师带
了多少钱？
分析：
本题在购物的两个方案中，
每一个方案都出现钱不足
的情况，
买
7
把小提琴差
110
元，买
5
把小提琴差
30
元。从买
7
把变成买
5
把，少买了
7
——
5=2
（把）提琴，而钱的差额减
少了
110
——
30
＝
80
（元），即
80
元
钱可以买
2
把小提琴，可见小提琴的
单价为每把
40
< br>元钱。
解
：（
110
——
30
）÷（
7
——
5
）＝
40
（元），
40
×
7<
/p>
——
110
＝
1
70
（元）。
答：
小提琴
40
元一把，
王老师带
了
170
元钱。
练习
14
1
．小朋友分糖果，每人
3
粒，余
30
粒；每人<
/p>
5
粒，少
4
粒。
问：有多
少个小朋友？多少粒糖？
2
．
一个汽
车队运输一批货物，
如
果每辆汽车运
3
500
千克，
那么货物还
剩下
5000
千克；
如果每辆汽车运
4000
千克，
那么货物还剩下
500
千克。
问：
这个汽车队有多少
辆汽车？要运的货
物有多少千克？
3
．
学校买
来一批图书。
若每人发
9
本，则少
25
本；若每人发
6
本，则
少
7
本。问：有多少个学生？
买了多
少本图书？
4
．
参加美
术活动小组的同学，
分
配若干支彩色笔。如果每人分
4
支，
那么多
12
支；
如果每人分
8
支
，
那么
恰有
1
人没分到笔。
问：
有多少同学？
多少支
彩色笔？
5
．
红星小学去春游。
如果每辆车<
/p>
坐
60
人，那么有
15
人上不了车；如
果每辆车多坐
5
人，那么恰好多出一
辆车。
问：
有多少辆车？多少个学生？
6
．某数的
8
倍减去
153
，比其
5
倍多
66
，求这个数。
7
．
某厂运来一批煤，如果每天烧
1500
千克，那么比原计划提前一天烧
完；
如果每天
烧
1000
千克，
那么将比
原计划多用一天。现在要求按原计划
烧完，那么每天应烧煤多少千克？
8
．
同学们为学校搬砖，
每人搬
< br>18
块，还余
2
块；每人搬
20
块，就有一
位同学没砖可搬。
问：
共有砖多少块？
第
15
讲
盈亏问题与比较法（二）
有些问题初看似乎不像盈亏问
题，但
将题目条件适当转化，就露出
了盈亏问题的“真相”。
例
1
某班学生去划船，如果增加一条
船，那么每条船正好坐
6
人；如果减<
/p>
少一条船，那么每条船就要坐
9
人。
问：学生有多少人？
分析：本题也是盈亏问题，为清
楚起
见，我们将题中条件加以转化。
假设船数固定不变，题目的条件“如
果增加一条船……”表示“如果每船
坐
6
< br>人，
那么有
6
人无船可坐”
；
“如
果减少一条船……”表示“如果每船
坐
9
人，那么就空出一条船”。这样，
用盈亏问题来做，
盈亏总额为
6
＋
9=15
（人），两次分配的差为
9
——
6
＝
3
（人）。
解：
（
6<
/p>
＋
9
）
÷
（
9
——
6
）
＝
5
（条）
，
6
×
5
＋
6=36
（人）。
答：有
36
名学生。
例
2
少先队员植树，如果每人挖
5
个
坑，那么还有
3
个坑无人挖；如果其
中
2
人各挖
4
个坑，其余每人挖
6
个
坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要
挖几个坑？
分析：我们将“其中
2
人各挖
4
个坑，
其余每人挖
6
个坑”
转化为
“每
人都挖
6
个坑，就多挖了
4
个坑”。
这样就变成了“典型”的盈亏问题。
盈亏总额为
4
＋
3
＝
7
（个）
坑，
两次分<
/p>
配数之差为
6
——
5
＝
1
（个）坑。
< br>
解：
[3
＋
< br>（
6-4
）
×
< br>2]
÷
（
6-5
）
＝
7
（人）
5
×
7
＋
3
＝
38
（个）。
答：一共要挖
38
< br>个坑。
例
3
< br>在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面，则余
< br>8
米；
若把绳子三折垂到水面，则余
2
米。
问：桥有多高？绳子有多长？
分析与解：
因为把绳子对折余
8<
/p>
米，
所以是余了
8
×
2=16
（米）；
同样，
把
绳子三折余
2
米，就
是余了
3
×
2
＝
6
（米）。两种方案都是“盈”，故盈
亏总额为
16
——
6=10
（米），两次分
配数之差为
3-2
＝
1
（折），所以
桥高（
8
×
2-2
×
3
）÷（
3-2
）＝
10
（米）
，
绳子的长度为
2
×
10
＋
8
×
2
＝
36
（米）。
例
4
有若干个苹果和若干个梨。如果
按每
1
个苹果配
2
个梨分堆
，那么梨
分完时还剩
2
个苹果；如果按
每
3
个
苹果配
5
个梨分堆，那么苹果分完时
还剩
1<
/p>
个梨。问：苹果和梨各有多少
个？
分析与解：
容易看出这是一道盈亏应
用题，
但是盈亏总额与两次分配数之
差很难找到。
原因在于第一种方案
是
1
个苹果
“搭配”
< br>2
个梨，
第二种方案是
3
个苹果“搭配”
5
个梨。如果将这两
种方案统一为
1
个苹果“搭配”若干
个梨，那么问题就好解决了。将原题
条件变为“
1
个苹果搭配
2
个梨，
< br>缺
4
个梨；
有梨<
/p>
15
×
2-4
＝
26
（个）。
例
5
乐乐家去学校上学，每分钟走
5
0
米，走了
2
分钟后，发觉按这样的速
度走下去，到学校就会迟到
8
分钟。<
/p>
于是乐乐开始加快速度，每分钟比原
来多走
10
米，
结果到达学校时离上课
还有
5
分钟。问：乐乐家离学校有多
远？<
/p>
分析与解：
乐乐从改变速度的那一点<
/p>
到学校，若每分钟走
50
米，
则要迟到
8
分钟，
也就是
到上课时间时，
他离学
- 19 -
校还有
50
×
8
＝
400
（米）；若每分钟
多走
10
米，即每分
钟走
60
米，则到
达学校时离上课还有
5
分钟，如果一
直走到上课时间，那么
他将多走（
50
＋
10
）×
5
＝
300
（米）。所以盈亏总
额，即总的路程相差
400
＋
300
＝
700
（米）。
两种走法每分钟相差
10
米，
因此
所用时间为
700
÷
1
0
＝
70
（分），
也就是说，从乐乐改变速度
起到
上课时间有
70
分钟。
所以乐乐家到学
校的距离为
50
×（
2
＋
70
＋<
/p>
8
）＝
4000
（米），
或
50
×
2
＋
60
×（
7
0
——
5
）＝
4000
（米）。
例
6
王师傅加工一批零件，每天加工
20
个，可以提前
1
天完成。工作
4
天
后，
由于改进了技术，
每天可多加工
5
个，结果提前
3
天完成。问：这批零
件有多少个？
分析与解：
每天加工
20
个，
如果一直
加工到计划时间，
那么将多加工
20
个
零件；改
进技术后，如果一直加工到
计划时间，那么将多加工（
20
＋
5
）×
3
＝
75
（个）。盈亏总额为
< br>75
——
20
＝
55
（个）。两种加工的速度比较，
每天相差
5
个。
根据盈亏问题的公式，
< br>从改进技术时到计划完工的时间是
55
÷
5
＝
11
（天），计划时间为
11
＋
4
＝<
/p>
15
（天），这批零件共有
20
×（
15
—
—
1
）＝
280
（个）。
练习
15
1.
筑路队计划每天筑路
720
米，
实际每天比原计划多筑
80
米，
这样在
完成规定任务
的前三天，就只剩下
1160
米未筑。问：这条路共有多长？<
/p>
2.
小红家买来一篮桔子，分给全
家人。如果其中二人每人分
4
只，其
余每人分
2
只，那么多出
4
只；如果
< br>一人分
6
只，其余每人分
4
只，那么
缺
12
只
。
问：
小红家买来多少只桔子？
小红家
共有几人？
3.
食堂采购员小李去买肉，如果
买牛肉
< br>18
千克，
那么差
4
元；
如果买
猪肉
20
千克，
那么多
2
元
。
已知牛肉、
猪肉每千克差价
8
角，求牛肉、猪肉
每千克各多少钱。
4.
李老
师给小朋友分苹果和桔
子，苹果数是桔子数的
2
倍。桔子每
人分
3
个，
多
4
个；苹果每人分
7
个，
少
5
个
。问：有多少个小朋友？多少
个苹果和桔子？
5.
用绳
子测量井深。如果把绳子
三折垂到水面，
余
7
米；
如果把绳子
5
折垂到水面，
余
1
米。求绳
长与井深。
6.
老师给幼儿园小朋友分苹果。
每两人三个苹果，多两个
苹果；每三
人五个苹果，少四个苹果。问：有多
少个小朋友？多
少个苹果？
7.
小明从家到学校去上学，如果
每分钟走
60
米，那么将迟到
5
分钟；
如果每分钟走
80
米，
那么将提前
3
分
钟。小明家距
学校多远？
第
16
讲
数阵图（一）
我们在三年级已经学习过辐射型
和封
闭型数阵，
其解题的关键在于
“重
叠数
”。本讲和下一讲，我们学习三
阶方阵，就是将九个数按照某种要求
排列成三行三列的数阵图，解题的关
键仍然是“重叠数”。我们先从一道
典型的例题开始。
例
1
把
1
～
9
这九个数字填写在右图正
方形的九个方格中，使得每一横行、
每一竖列和每条对角线上的三个数之
和都相等。
分析与解：
我们首先要弄清每行
、每
列以及每条对角线上三个数字之和是
几。
< br>我们可以这样去想：因为
1
～
9
这
九个数字之和是
45
，正好是三个横行
数字之和，所以每一横行的数字之和
等于
45
÷
3=15
< br>。
也就是说，
每一横行、
每一竖
列以及每条对角线上三个数字
之和都等于
15
< br>。
在
1
～
9
这
九个数字中，
三个不同
的数相加等于
1
5
的有：
9
＋
5
＋
1
，
9
＋
4
＋
2
，
8
＋
6
＋
< br>1
，
8
＋
5
＋
2
，
8
＋
4
＋
3
，
7
＋
6
＋
2
，
7
＋
< br>5
＋
3
，
6
＋
5
＋
4
。
因此每行、每列以及每条对角线
上的三个数字可以是其中任一个算式
中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横
行中
，又在一个竖列中，还在两对角
线上，所以它应同时出现在上述的四
个算式中，只有
5
符合条件，因此应
将
5
填在中心方格中。同理，四个角
上的数既在一个横行中，又在一个竖
列中，还在一条对角线上，所以它应
同时出现在上述的三个算式中，符合
条件的有
2
，
4
，
6
，
8
，
因此应将
2
，
4
，
6
，
8
填在四个角的方格中
，同时应保
证对角线两数的和相等。经试验，有
下面八种不同填
法：
上面的八个图，都可以通过一个
图的旋转和翻转得到。例如，第
一行
的后三个图，依次由第一个图顺时针
旋转
< br>90
°，
180
°，
270
°得到。
又如，
第
二行的各图，都是由它上面的图沿
竖轴翻转得到。所以，这八个图本质
< br>上是相同的，可以看作是一种填法。
例
1
中的数
阵图，我国古代称为
“纵横图”、“九宫算”。一般地，
将九个
不同的数填在
3
×
3
< br>（
三行三列）
的方格中，如果满足每个横行、每个
竖列和每条对角线上的三个数之和都
相等，那么这样的图称为三阶幻方
。
在例
1
中如果只要求任一横行及
任一竖列的
三数之和相等，而不要求
两条对角线上的三数之和也相等，则
解
不唯一，这是因为在例
1
的解中，
任意
交换两行或两列的位置，不影响
每行或每列的三数之和，
故仍然
是解。
例
2
用
11
，
13
，
15
，
17
，
19
，
21
，
23
，
25
，
27
编制成一个三阶幻方。
分析与解：
给出的九个数形成一个等
差数列，
对照例
1
，
1
～
9
也是一个等
差数列。不难发现：中
间方格里的数
字应填等差数列的第五个数，即应填
19
；填在四个角上方格中的数是位于
偶数项的数，即
13
，
17
，
21
，
25
，而
且对角两数的和相等，即
13
＋
2
5=17
- 20 -
＋
21
；余下各数就不难填写了（见右
图）。
证明：
因为每行的三数之和都等于
k
，
共有
三行，所以九个数之和等于
3k
。
如右
上图所示，经过中心方格的有四
条虚线，每条虚线上的三个数
之和都
等于
k
，
四条虚线上的所有数之和等于
4k
，其中只有中心方格中的数
是“重
与幻方相反的问题是反幻方
。将
九个数填入
3
×
< br>3
（三行三列）的九个
方格中，使得任一行、任一列以及
两
条对角线上的三个数之和互不相同，
这样填好后的图称为三阶
反幻方。
例
3
将前
9
个自然数填入右图的
9
个
方格中，使得任一行、任一列以及两
条对角
线上的三个数之和互不相同，
并且相邻的两个自然数在图中的位置
也相邻。
叠数”，九个数各被计算一次后，它
又被重复计算了三次。所以有
九数
之和
+
中心
方格
中
的
数×
3=4k
，
3k+
中
心方格中的数×
3=4k
，
2.
将<
/p>
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，
13
，
15
，
17
填入
3
×
3
的方格内，
使其构成一个
幻方。
3.
用
2
，
4
，
6
，
12<
/p>
，
14
，
16<
/p>
，
22
，
24<
/p>
，
26
九个偶数编制一个幻方。
4.
在下列各图空着的方格内填上
合适的数，使每行、每列及每条对角
线上的三数之和都等于
27
。
< br>
5.
将右图中的数重新排列，使得
每行、每列及两条对角线上
的三个数
之和都相等。
注意：例
4
中对九个数及定数
k
都没有特殊要求。这个结论对求解
3
×
3
方格中的数阵问
题很实用。
在
3
×
3
的方格中，
如果要求填入
九个互不相同的质数，要求任一行、<
/p>
任一列以及两条对角线上的三个数之
和都相等，那么这样填好的图
称为三
6.
将九个质数填入
3
×
3
的方格
内，使得每一横行
、每一竖列及两条
对角线上的三个数之和都等于
21
。
7.
求九个数之和为
657
的
三阶质
数幻方。
第
17
讲
数阵图（二）
例
1
在右图的九个方格中填入不大于
12
且互不相同的九个自然数（其中已
填好一个数），使得任一行、任一列
及两条对角线上的三个数之和都等于
21
。
分析与解：
题目要求相邻的两个自然
数在图中的位置也相邻，所以这
9
个
自然数按照大小顺序在图中应能连成
一条不相交的折线。经试验有下图所<
/p>
示的三种情况：
阶质数幻方。
例
5
求任一列、任一行以及两条对角
线上的三个数之和都等于
267
的三阶
质数幻方。
分析与解：
由例
4
知中间方格中的数
为
267
< br>÷
3
＝
89
。由于在两条对角线、
中间一行及中间一列这四组数中，
每
组的三个数中都有
89
，所以每组的
其
按照从
1
到
9
和从
9
到
1
逐一对
这
三种情况进行验算，只有第二种情
况得到下图的两个解。因为第二种情
< br>况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反
幻方。
余两数之和必为
267-89
＝
< br>178
。
两个质
数之和为
178
的共有六组：
5+173
＝
11
＋
167
＝
29<
/p>
＋
149
＝
41
＋
137
＝
47+131
＝
71+107
。
经试验，可得右图所示的三阶质
数幻
方。
解
：
由上一讲例
4
知中间方格中的数
为
7
。再设右下角的数为
< br>x
，
然后根据
任一行、任一列及每条对角线上的三
个数之和都等于
2
1
，如下图所示填上
各数（含
x
）。
例
4
将九个数填入左下图的九个空格
中，使得任一行、任一列以及两条
练习
16
1.
将九
个连续自然数填入
3
×
3
的
方格内，使得每一横
行、每一竖列及
两条对角线上的三个数之和都等于
66
。
因为九个数都不大于
12
，
由
16
－
x
≤
12
知
4
≤<
/p>
x
，由
x+2
≤
12
知
x
≤<
/p>
10
，
即
4
≤
x
≤
10
。
考虑到
5
，
7
，
9
已填好，
- 21 -
所以
x
只能
取
4
，
6
，<
/p>
8
或
10
。
经验证，
当
x
＝<
/p>
6
或
8
时，
九个数中均有两个数
相同，不合题意；当
x
＝
4
或
10<
/p>
时可
得两个解（见下图）。这两个解实际
上一样，只是方向不同而已。
<
/p>
例
2
将九个数填入右图的空格中，使
得每行、每列、每条对角线上的三个
数之和都相等，则一定有
证明：
设中心数为
d
。
由上
讲例
4
知每
行、每列、每条对角线上的
三个数之
和都等于
3d
。由此计算出第
一行中间
的数为
2d
——
b
，右下角的数为
2d-c
（见下图）。
< br>根据第一行和第三列都可以求出
上图中★处的数由此得到
3d-c-
（
2d-b
）＝
3d-a-
（
2d-c
），
3d-c-2d
< br>＋
b
＝
3d-a-2d
＋
c
，
d
——<
/p>
c
＋
b
＝
d
——
a
＋
c
，
2c
＝
a<
/p>
＋
b
，
a
＋
b
c
＝
2
。
值得注意的是，这个结论对于
a
和
b
并没有什么限制，
可以是自然数，
也可以是分数、小数；可以相同，也
可以不同。
例
3
在下页右上图的空格中填入七个
自然数，使得每一行、每一列及每一
条对角线上的三个数之和都等于<
/p>
90
。
解：
由上一讲例
4
知，
中心数为
90
÷
< br>3
＝
30
；由本讲例
2
知，右上角的数为
（
2
3
＋
57
）÷
2
＝
40
（见左下图）。其
它数依次可填（见右下图）。
例
4
在右图的每个空格中填入个自然
< br>数，使得每一行、每一列及每条对角
线上的三个数之和都相等。
< br>
解：
由例
< br>2
知，右下角的数为
（
8
＋
10
）÷
2=9
；由上一讲例
4
知，中心数为（
5
＋
9
）÷
2=7
（见左下
图），且每行、每列、每条对角
线上
的三数之和都等于
7
×
3=21
。
由此可得
右下
图的填法。
例
5
在下页上图的每个空格中填一个
自然数，使得每行、每列及每条对角
线上的三个数之和都相等。
解：
由例
2
知，
右下角的数为
（
6
＋
12
）
÷
2=9
（左下图）。因为左下图中两条
虚线上的三个数之和相等，所以，
“中心数”＝（
10
＋
6
）<
/p>
-9
＝
7
。
其它依次可填（见右下图）。
由例
3
～<
/p>
5
看出，在解答
3
×
3
方
阵的问题时，
上讲的例
4
与本讲的例
2
很有用处。
练习
17
1.
在左下图的每个空格中填入一
个数
字，使得每行、每列及每条对角
线
上
的
三
个
数
之
和
都
相
等
。
2.
在右上图的每个空格中填入一<
/p>
个数字，使得每行、每列及每条对角
线上的三个数之和都等于
24
。
3.
下列各图中的九个小方格内各<
/p>
有一个数字，而且每行、每列及每条
对角线上的三个数之和都相等
，求
x
。
4.
在左下图的空格中填入七个自<
/p>
然数，使得每行、每列、每条对角线
上的三个数之和都等于
48
。
5.
在右
上图的每个空格中填入一
个自然数，使得每行、每列及每条对
角
线上的三个数之和都相等。
6.
在右图的每个空格中填入不大
于
12
且互不相同的九个自然数，
使得
每行、每列、每条对角线上的三个数
之和都等于
21
。
第
18
讲
数阵图（三）
数阵问题是多种多样的，解题方
法也
是多种多样的，这就需要我们根
据题目条件灵活解题。