二次方程根的判别式2
-
二次方程的根的判别式
2
【学习目标】
1
．知道什么是一元二次方程的根的判别式．
2
．会用判别式判定根的情况．
【主体知识归纳】
2
2
1
．一元二次方程的根的判别式：
< br>b
－
4
ac
叫做一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）的根的判别
式．通常用符号“
Δ
< br>”来表示．
2
2
．对于一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）
，当
Δ
＞
0
时，方程有两个不相等的实数
根；当
Δ
＝
0
时，方程有两
个相等的实数根；当
Δ
＜
0
时，方程没有实数根．反过来也成立．
【基础知识讲解】
1
．根的判别式是指
Δ
＝
b
－
4
ac
，而不是
指
Δ
＝
b
2<
/p>
4
ac
．
2
2
．根的判别
式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一
般形式再判别根
的情况．要注意方程中各项系数的符号．
3
< br>．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的
2
实数根两种情况，此时
b
－
4
ac
≥
0
，不要丢掉等号．
4
．判别式有以下应用：
(1)
不解方程，判定一元二次方程根的情况；
(2)
根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值
范围；
(3)
应用判别式进行有关的证明．
【例题精讲】
例
1
：不解方程，判别下列方程的根的情况：
2
（
1
）
< br>3
x
－
2
x
－
1
＝
0
；
2
（
2
）
y
＝
2
y
－
4
；
2
2
< br>（
3
）
（
2
k
＋
1
）
x
－
2
kx<
/p>
＋
1
＝
0
；
2
（
4
）
9
x
－（
p
＋
7
< br>）
x
＋
p
－
3
＝
0
．
2
解：
(1
)
∵
Δ
＝（－
2
）
－
4
×<
/p>
3
×
（－
1
）＝
4
＋
12
＞
0
，
∴原方程有
两个不相等的实数根．
2
2
(2)
原方程就是
y
－
2
y
＋
4
＝
0
．∵
Δ
＝（－
2
）
－
4
×
1
×
4
＝
4
－
16
＜
0
，∴原方程无实数<
/p>
根．
2
(3)
∵
2
k
＋
1
≠
0
，∴原方程
为一元二次方程．
2
2
2
又∵
Δ
＝（－
2
k
）
－
4
（
2
k
＋
1
）×
1
＝－
4
k
－
4
＜
0
，∴原方程无实数根．
2
2
(4)
Δ
＝［－（
p
＋
7
）
］
－
4
×
9
×（
p
－
3
）＝（
p
－
11
）
＋
36
，
< br>2
∵不论
p
取何实数，
（
p
－
11
）
均为非负数，
2
∴
(
p
－
11)
＋
36
＞
0
，即
Δ
＞
0
，
∴原方程有两个不相等的实数根．
说
明：
(1)
运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，
要把不是一般形式的化
为一般形式．
2
(2)
判别式的应用是以方程
ax<
/p>
＋
bx
＋
c
＝
0
中
a
≠
0
为前提条件的，
对
于含字母系数的二
次方程要特别注意这一点．
(3)
要判断含字母
(
代表实
数
)
的二次式的正负等情况，
配方是个
有效的方法，
如
(4)
小题．
2
例
2
：已知关于
x
的一元二次方程
(
k
－
1)
x
＋
2
kx
＋
k
＋
3
＝
0
．
k
取什么值时
，
(1)
方程有两个不相等的实数根
?
(2)
方程有两个相等的实数根
?
(3)
方程没有实数根
?
2
解：
Δ
＝
(2
k
)
－
4
（
k
－
1
< br>）
（
k
＋
3
）＝－
8
k
＋
12
．
3
且
k
≠
1<
/p>
时，方程有两个不相等的实数根；
2<
/p>
3
(2)
当－
8
k
＋
12
＝<
/p>
0
，且
k
－
1
≠
0
，即
k
＝
时，方程有两个相等的实数根；
2
3
(3)
当－
8
k
＋
12
＜
0
，且
k
－
1
≠
0
，即
k
＞
< br>时，方程没有实数根．
2
(1
)
当－
8
k
＋
12
＞
0
，且
k
－
1
≠
0
，即
k
＜
说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．
2
例
3:
求证：不论
a
、
b
、
c
为何值，关于
x
的方程
(
b
－
x
)
－
4(<
/p>
a
－
x
)(
c
－
x
)
＝
0
必有实数
根．
剖析：
此题考查运用一元二次方程根的判
别式的能力，
由于所给方程从形式上不能直接
2
2
判断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得－
3
x
＋
(4
a<
/p>
＋
4
c
－
2
b
)
x
＋
b
－
4
ac
＝
0
，显然
是关于
x
的一元二次方程，所以只要证明
Δ
≥
0
即可．
2
2
证明
:
原方程可化为－
3
x
＋
(4
a
＋
4
c
－
2
b
)
x
＋
b
－
4
ac
< br>＝
0
，
2
2
2
2
2
∴
Δ
＝
(4<
/p>
a
＋
4
c
－
2
b
)
－
4
×
(
－
3)(
b
－
4
ac
)
＝
< br>16
a
＋
16
< br>b
＋
16
c
－
16
ab
－
16
bc
－
16
< br>ac
2
2
2
< br>＝
8
［
(
a
－
b
)
＋
(
a
－
c
)
＋
(
b
－
c
)
］
2
2
2
∵不论
a
、
b
、
c
为何值，都有
(
a
－
b
)
≥
0
，
(
< br>b
－
c
)
≥
0
，
(
c
－
a
)
≥
0
．
2
2
2
∴
Δ
＝
8
［
(
< br>a
－
b
)
＋
(
b
－
c
)
＋
(
c
－
a
)
］≥
0
∴方程必有实数根．
< br>说明：判断一代数式的正、负时，通常的方法是将其进行恒等变形，配成完全平方式，再利
用其非负性的特点进行证明．
2
2
例
4:
如果关于
x
的方程
x
＋
2
x
＝
m
＋
9
没有实数根，
试判断关于
y
的方程
y
＋
my
－
2
m
＋
5
＝
0
的根的情况．
2
2
2
剖析：
要判断
y
＋
my
－
2<
/p>
m
＋
5
＝
0
根的情况，
只要判断
Δ
2
＝
m
－
4(
－
2
m<
/p>
＋
5)
＝
m
＋
8
m
－
20
2
2
的取值情况即
可．而
x
＋
2
x
－
m
－
9<
/p>
＝
0
没有实数根，可得
< br>Δ
1
＝
2
－
4(
－
m
－
9)
＝
4
m
＋
40
＜
0<
/p>
，
2
2
即
m
＜－
10
，
而当
m
＜－
10
时，
m
＋
8
m
－
20
恒大于零，
所以方程
y
＋
my
－
2
m
＋
5
＝
0
有两
个不等的实数根．
< br>2
2
解：∵
x
< br>＋
2
x
－
m
－
9
＝
0
没有实数根，∴
Δ
1
< br>＝
2
－
4(
－
m
－
9)
＝
4
m
＋
4
0
＜
0
，即
m
＜－
10
．
2
2
又
y
＋
my
－
2
m
＋
5
＝
0
的判断式
Δ
2
．
Δ
2
＝
m
2
－
4(
－
2
m
＋
5)
＝
m
＋
8
m
－
20
2
当
m
＜－
10
时，
m
＋
8
m
－
20>0
，即
Δ
2
>0
．
2
∴方程
y
＋
my
－
2
m
＋
5
＝<
/p>
0
有两个不相等的实数根．
说明：判定
Δ
2
的值用到
了
Δ
1
＜
0<
/p>
所得的结论
m
＜－
10
，这种条件和结论的相互转化在
解综合性的题目中常常遇
到．
【思路拓展题】
秦九韶的高次方程
公元
1819
年
7
月
1
日，英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任
意高次方程的巧妙方法，
一时引起了英国数学界的轰动．
由于这一方法有其独到之处，
而且
对数学科学有很大
的推动作用，因而这一方法被命名为“霍纳方法”
．
但是没过多久，意大利数学界就提出了异议，因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在
15
年前就得出了同样的方法，
只是没有及时地报导罢
了．
因此，
意大利数学界要求将这一数学
方法命名为“鲁菲尼方法”
．于是英、意双方开始了喋喋不休的争论．正巧，有个阿拉
伯人
前往欧洲，听到了双方的争论后，不置可否地大笑起来．争论双方问他，为何这般嘲
笑，这
位阿拉伯人从背包中掏出一本书，递与争论双方，说到：
“你们都不要争了，依我看来，这
个方法应该称作“秦九韶方法”
．他们这才知道，早在
570
年前，有个叫秦九韶的中国人就
发明了这种方法．双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了．
秦九韶，生于
1202
年，南宋普州安
岳
(
今四川安岳
)
人，他自幼随做官的父亲周游过许
多地方．
20
岁的时候，秦九韶随父亲来到南宋的都城——临安
(
今杭州
)
．
秦九韶被父亲送到掌官天文历法的太史院学习．
在这里，
他了
解了制定历法的一些基本
算法和理论依据，这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益
处．
后来他回到四川老家，在一个县城里当县尉，这时，北方
的元兵大举进犯，战乱频繁，
他在这种动乱的环境中度过了他的壮年．后来他在《数书九
章》中写了“天时”和“军旅”
等问题，想必与这段生活有关．
过了几年，
秦九韶的母亲去世了，他按照封建社会的传统，回家
为母亲守孝三年．
正是
在这段时间里，秦九韶完成了他的辉煌的
数学著作——《数书九章》
．
《数书
九章》共分九大类，每类各有九题，全书共有
81
道数学题目，
内容包括天时、
军旅、赋役、钱谷、市易等类问题，在这
81<
/p>
道题目中，有的题目比较复杂，但题后大多附
有算式和解法．
正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造，
高次方程的解法就是
其中最
重要的一项．
高次方程就是未
知数的最高次幂在
3
次以上的方程．
对
于一元二次方程，
我们可以用求
根公式来解，
< br>三、
四次方程的求根公式很复杂，
至于五次以上的方程，
那就没有求根公式了．
那么用什么方
法来解决呢
?
秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法，但是它
能够把结
果算到任意精确的程度，只要你按照一些简单的程序，反复地进行四则运算即可
．
除了高次方程的解法之外，
这本书
的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作．
什么叫
同余式呢<
/p>
?
我们还是从
“韩信点兵”
的故事说起：传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场，只见军
士们龙腾虎跃
，你来我往，好不热闹．韩信问带兵的军官．
“你们这里共有多少士兵
< br>?
”军官
说：
“人太多太乱，数
不准确．
”韩信说：
“你把令旗给我，我来给你点数．
”军官一听，慌忙
将令旗奉上，只见韩信挥起令旗，命令道：
“排一长队．
”韩信见军士们已排好长队，便交待
道：
“先从
1
到
3
报数，再从
1
到
< br>5
报数，最后从
1
到
7
报数．报完后，把剩余的人数告诉
我，我便知总
的军士人数．
”
于是，
军士们便认真地报起数来，
第一报数后余
2
，
第
2
报数后余
3
；
第
3
报数后余
2
．
韩
信掐指一算，共计
233
人．
< br>
其实，
“韩信点兵”问题又叫“孙子问题”
，最早出现在公元
4
世纪的数学著作《孙子算
经》中，原来的问题是这样表述的：
“有物不知其数，三个一数余<
/p>
2
，五个一数余
3
，七个一
数余
2
，问该物总数几何<
/p>
?
”
这个问题
按照现在的人可以列出方程来：设总数为
N
，
< br>x
为
3
人一数的次数，
y
为
5
人
一数的次数，
z
为
7
人一数的次数．则
N
＝
3
x
＋
2
，
N
＝
5
y
＋
3
，
N
＝
7
z
＋
2
．
< br>三个方程式，
但却有四个未知数，
这就叫不定方程．
解不定方程在现代数论中有一个著
名的定理：剩余定理．
但这个问题出现在公元
4
世纪的中国算书中，
他们虽然给出算法，
但却没有明确地表述
和证明这个定理．
到公元
13
世纪，大数学家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上获得了超越前
人的
成果．
秦九韶在写作《数书九章》时，把当年在太史院学到的天文学知识与《孙子算经》的数
学问题结合起来，发展了同余式的理论和算法，从而圆满地解决了韩信点兵之类的问题．
秦九韶还有许多数学创造，
他是世界上最早提出十进小数概
念和表示法的人．
他还独立
地推导出了已知三边求三角形面积的
公式：