一元一次方程知识点总结归纳45444
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一元一次方程
方程的有关概念
夯实基础
一．等式
用等号（“
=
”）来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示
①等式可以是数字算式，可
以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。
②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含
等号，它只能作为
等式的一边。如
5
x
3
7
2
x
才是等式。
二．等式的性质
< br>性质
1
：
等式两边同时加
（或减）
同一个数
（或式子）
，
结果仍相等。
即如果
a
b
，
那么
a
c
b
c
。
性质
2
：等式两边同时乘同
一个数，或除以同一个不为
0
的数，结果仍相等。即
如果
a
b
，那么
ac
bc
；如果
a
b
c
0
，那么
。
温馨提示
①等式类似天
平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。若在天
平的两端各加（或减
）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。所以运用等式性
质
1
时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的
结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。如
1
< br>
x
3
，左边加
2
，右边也加
2
，
则有
1
x
2
< br>3
2
。
②运用等式的性质
2
时，等式两边
不能同除以
0
，因为
0
不能作除数或分母。
③等式性质的延伸：
a.
对称性：
等式左、
右
两边互换，
所得结果仍是等式，
即如果
a
b
，
那么
b
a
。
b.
传递性：如果
a
b
,
b
c
，那么
a
c
（也叫等量代换）。
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a
c
b
c
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例
1
：用适当的数或整式填空，使
所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变
形得到的。
（
1
）如果
4
4
x
< br>11
5
，那么
x
5
；
3
3
（
2
）如果
ax
by
c
，那么
ax
c
；
4
3
（
3
）如果
t
，那么
t
。
3
4
三．方程
含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示
方程有两层含义：
①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。如
x
2
1
。
四．方程与等式的区别与联系
概念及其特点
含有未知数的等式叫做
方
程。一个式子是方程，要
区别
方程一定是等式，并且是
含有未知数的等式。
联系
方程是特殊的等式。
方程
满足两个条件：
一是等式，
二含有未知数。
用等号来表示相等关系的
等式
式子叫做等式。等式的主
体是相等关系。
五．方程的解与解方程
等式不一定是
方程，因为
方程和等式的关系式从属
等式不一定含有未知数。<
/p>
关系，且有不可逆性。
方程的解
内容
使方程中等号左右两边相等的未知
实质
具体的数值
数的值叫做方程的解
解方程
温馨提示
求方程的解的过程叫做解方程
变形的过程
①检验一个数是否是方程
的解，
只要用这个数代替方程中的未知数，
如果方程两边的值相
等，
那么这个数就是方
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程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。
②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。
③等式的基本性质是解方程的依据。
④方程的解释结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。
<
/p>
例
3
：下列方程中解为
< br>x
2
的是（）
A.
3
x
< br>
3
x
B.
x
3
0
C.
2
x
6
D.
5
x
2
8
例
4
：利用等式的性质解下列方程：
（
1
）
< br>6
x
2
7
x
（
2
）
5
x
6
2
x
3
掌握方法
一．等量关系的确定方法
列方程解应
用题是初中数学的一个重点也是一个难点，
要突破这一难关，
学
会寻找等量关系是关键，
那么怎
样寻找应用题中的等量关系呢？
（
1
）从关
键词中找等量关系；
（
2
）对于同一个量，从不同角度用不同的方法表示，得到等量关系；
（
3
）运用基本公式找等量关系；
（
4
）运用不变量找等
量关系。
例
1
：某村原有林地
108
公顷，旱地
5
4
公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地
面积
占林地面积的
20
％，设把
x
公顷旱地改为林地，则可列方程为（）。
A.
54
x
<
/p>
20
%
108
B.
54
x
20
%(
1
08
x
)
C.
54
x
20
%
<
/p>
162
D.
108
x
20
%(
54
x
)
二．利用方程的解求待定字母的方法
利用方程的解求方程中的待定字母时，
只要将方程的解代入方程，
得到关于待定字母的方程，
即可解决问题。
例
2
：已知
x
2
是关于
x
的方程
1
A.
9
B.
9
1
C.
D.
1
3
x
1
k
k
(
x
2
)<
/p>
的解，则
k
的值应为（）。
3
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一元一次方程
解一元一次方程
夯实基础
一．
一元一次方程
< br>1.
定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是
1
，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
2.
标准形式：方程
ax
< br>
b
0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，并且
a
0
）叫做一元一次方程的标准形式。
温馨提示
①一
元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。
②一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为
1
。如<
/p>
元一次方程。
1
3
，
x
y
6
，
x
2
x
6
0
都不是一
x
2
例
1
：下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不
是？
（
1
）
5
4
x
11
；（
2
）
2
x
y
5
；（
3
）
x
2
5
x
6
0
；
（
4
）
2
x
y
1
y
3
；（
5
）
1
。
x
2
3
二．移项
< br>
1.
定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做
移项。
2.
示例：解方程
3
x
2
2
x
5
时，可在方程的两边先加
2
，再
减
2
x
，得
3
x
2
2
2
x
2
x
5
2
< br>
2
x
，即变形为
3
x
2
< br>x
5
2
。
与原方程比较，这个变形过程如下：
温馨提示
①移项的原理就是等式的性
质
1
。
②移
项所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是方程的一边交换两个项的位置。
③移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。如解方程<
/p>
3
x
5
x
10
，
若移项，
得
5
x
3
x
10
就出错了，
原因是被移动的项
“
5
x
”
的符号没有改变，
而改变了没
有被移动的项
“
3
x
< br>”
的符号。
④在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。
例
2
：下列各题中的变形为移项的是（
）。
A.
由
1
1
(
x
<
/p>
2
)
1
，得
x
1
1
2
2
B.
由
5
x
3
7
x
5
，得
7
x
5
5
x
3
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C.
由
x
5
2
x
6
，得
2
x
x
5
6
D.
由
x
5
< br>
8
x
，得
x
x
8
5
三．去括号与去分母
解一元一次方程
的最终目标是要得到“
x
a
”这一结果。为了达到这一目标，方程中有括号就要根据去括
号法则去掉
括号，即为去括号；方程中有分母的，根据等式性质
2
去掉分母
，即为去分母。
温馨提示
（
1
）解含有括号的一元一次方程时，去括号时
一般遵循去括号的基本法则。但在实际去括号时，应根据方程的
结构特点利用一些方法技
巧，
恰当地去括号，
以简化运算。
对于
一些特殊结构的方程，
可采用以下去括号的技巧：
①先去外再去内。即在解题时，打破常规，不是由内到外去括号，而是由外到内去括号。< p>
②整体合并去括号。有些方程，把含有的某些多项式看作整体，先合并，
再去括号，往往会简单。如，解方程
1
3
x
(
x
8
)
(
x
8
)
时，可把
x
8
看作整体先合并，再去括号。
2
2
（
2
）去分母时，在方程两边要同时乘以所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分
母的项。当分母时小数时，需
要把分母化整。同时注意分母化整只与这一项有关，而与其
他项无关，要与去分母区分开。
例
3
：下列方程去括号正确的是（）。
A
.
由
2
x
<
/p>
3
(
4
2
x
)
6
得
2
x
12
2
< br>x
6
B.
由
2
x
3
(
4
<
/p>
2
x
)
6
得
2
x
12
6
x
6
< br>C.
由
2
x
3
(
4
2
x
)
<
/p>
6
得
2
x
12
6
x
6
D.
由
2
x
3
(
4
2
x
)
6
得
2
x<
/p>
3
6
x
6
例
4
：方程
3
x
2
x
1
x
1
，去分母正确的是（）。
<
/p>
3
3
2
A.
18
x
2
(
2
x
1
)
18
3
(
< br>x
1
)
B.
3
x
(
2
x
<
/p>
1
)
3
(
x
1
)
C.
18
x
(
2
x
1
)
18
(
x
1
)
D.
3
x<
/p>
2
(
2
x
1
)
3
3
(
x
1
)
四．解一元一次方程的一般步骤
步骤
去分母
去括号
具体做法
变形依据
在方程的两边同乘各分母的最小公倍数
等式性质
2
先去小括号，再去中括号
，最后去大括
去括号法则、分配律
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号
把含有未知数的项移到方程的一边，其
移项
它各项都移到方程的另一边（记住移项
要变号）
合并同类项
把方程
化为
ax
b
(
a
0
)<
/p>
的形式
在方程的两边都除以未知数的系
数
a
，
系数化为
1
合并同类项法则
等式性质
1
b
得到方程的解
x
a
等式性质
2
温馨提示
1.
解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活<
/p>
运用。
2.
在
解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
（
1
）分子是多项式的，去分母后要加括号；
去分母
（
2
）不要漏乘不含分母的项
（
1
）括号前的数要乘括号内的每一项；
去括号
（
2
）括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
（
1
）移项时不要漏项；
移项
（
2
）将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置
时不变号
合并同类项
按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
<
/p>
（
1
）未知数的系数为整数或小数时，方
程两边同除以该系数；
系数化为
1
（
2
）未知数的系数为分数时，方程两
边同乘该系数的倒数
例
5
：解一元一次方程
x
1
2
x
1
1
。
3
2
掌握方法
一．一元一次方程概念的应用
原方程
为一元一次方程，即未知数的次数为
1
，系数不为
0
，由此来确定原方程中待定字母的值。
例
1
：（
1
）若
2
x
m
2
1
< br>
2
是关于
x
< br>的一元一次方程，则
m
=
；
（
2
）若方程<
/p>
(
m
4
)
x
2014
2015
是关于
x
的一元一次方程，则
m
。
二．利用合并同类项与移项解方程的方法
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