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2021年2月13日发(作者：另类圣诞节)

精心整理

一元一次方程

方程的有关概念

夯实基础

一．等式

用等号（“

=

”）来表示相等关系的式子叫做等式。

温馨提示

①等式可以是数字算式，可 以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。

②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含 等号，它只能作为

等式的一边。如

5

x



3



7



2

x

才是等式。

二．等式的性质

< br>性质

1

：

等式两边同时加

（或减）

同一个数

（或式子）

，

结果仍相等。

即如果

a



b

，

那么

a



c



< p>
b



c

。

性质

2

：等式两边同时乘同 一个数，或除以同一个不为

0

的数，结果仍相等。即

< p>
如果

a



b

，那么

ac



bc

；如果

a



b



c



0



，那么



。

温馨提示

①等式类似天 平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。若在天

平的两端各加（或减 ）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。所以运用等式性

质

1

时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的

结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。如

1

< br>

x



3

，左边加

2

，右边也加

2

< p>
，

则有

1



x



2



< br>3



2

。

②运用等式的性质

2

时，等式两边 不能同除以

0

，因为

0

不能作除数或分母。

③等式性质的延伸：

< p>
a.

对称性：

等式左、

右 两边互换，

所得结果仍是等式，

即如果

a



b

，

那么

b



a

。

b.

传递性：如果

a



b

,

b



c

，那么

a



c

（也叫等量代换）。

精心整理

a

c

b

c

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例

1

：用适当的数或整式填空，使 所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变

形得到的。

（

1

）如果

4

4

x



< br>11



5

，那么

x



5



；

3

3

（

2

）如果

ax



by





c

，那么

ax





c



；

4

3

（

3

）如果



t



，那么

t



。

3

4

三．方程

含有未知数的等式叫做方程。

温馨提示

方程有两层含义：

①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。

②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。如

x



2



1

。

四．方程与等式的区别与联系

概念及其特点

含有未知数的等式叫做 方

程。一个式子是方程，要

区别

方程一定是等式，并且是

含有未知数的等式。

联系

方程是特殊的等式。

方程

满足两个条件：

一是等式，

二含有未知数。

用等号来表示相等关系的

等式

式子叫做等式。等式的主

体是相等关系。

五．方程的解与解方程

等式不一定是 方程，因为

方程和等式的关系式从属

等式不一定含有未知数。< /p>

关系，且有不可逆性。

方程的解

内容

使方程中等号左右两边相等的未知

实质

具体的数值

数的值叫做方程的解

解方程

温馨提示

求方程的解的过程叫做解方程

变形的过程

①检验一个数是否是方程 的解，

只要用这个数代替方程中的未知数，

如果方程两边的值相 等，

那么这个数就是方

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程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。

②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。

③等式的基本性质是解方程的依据。

④方程的解释结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。

< /p>

例

3

：下列方程中解为

< br>x



2

的是（）

A.

3

x

< br>

3



x

B.



x



3



0

C.

2

x



6

D.

5

x



2



8

< p>
例

4

：利用等式的性质解下列方程：

（

1

）

< br>6

x



2



7

x

（

2

）

5

x



6



2

x



3

掌握方法

一．等量关系的确定方法

列方程解应 用题是初中数学的一个重点也是一个难点，

要突破这一难关，

学 会寻找等量关系是关键，

那么怎

样寻找应用题中的等量关系呢？

（

1

）从关 键词中找等量关系；

（

2

< p>
）对于同一个量，从不同角度用不同的方法表示，得到等量关系；

（

3

）运用基本公式找等量关系；

< p>

（

4

）运用不变量找等 量关系。

例

1

：某村原有林地

108

公顷，旱地

5 4

公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地

面积 占林地面积的

20

％，设把

x

公顷旱地改为林地，则可列方程为（）。

A.

54



x

< /p>

20

%



108

B.

54



x



20

%(

1 08



x

)

C.

54



x



20

%

< /p>

162

D.

108



x



20

%(

54



x

)

二．利用方程的解求待定字母的方法

利用方程的解求方程中的待定字母时，

只要将方程的解代入方程，

得到关于待定字母的方程，

即可解决问题。

例

2

：已知

x



2

是关于

x

的方程

1

A.

9

B.

9

1

C.

D.

1

3

x



1



k



k

(

x



2

)< /p>

的解，则

k

的值应为（）。

3

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一元一次方程

解一元一次方程

夯实基础

一．

一元一次方程

< br>1.

定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是

1

，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

2.

标准形式：方程

ax

< br>

b



0

（其中

x

是未知数，

a

、

b

是已知数，并且

a



0

）叫做一元一次方程的标准形式。

温馨提示

①一 元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。

②一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为

1

。如< /p>

元一次方程。

1



3

，

x



y



6

，

x

2



x



6



0

都不是一

x



2

< p>
例

1

：下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不 是？

（

1

）

5



4

x



11

；（

2

）

2

x



y



5

；（

< p>
3

）

x

2



5

x



6



0

；

（

4

）

2



x

y



1

y



3

；（

5

）





1

。

x

2

3

二．移项

< br>

1.

定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做 移项。

2.

示例：解方程

< p>
3

x



2



2

x



5

时，可在方程的两边先加

2

，再 减

2

x

，得

3

x



2



2



2

x



2

x



5



2

< br>

2

x

，即变形为

3

x



2

< br>x



5



2

。

与原方程比较，这个变形过程如下：

温馨提示

①移项的原理就是等式的性 质

1

。

②移 项所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是方程的一边交换两个项的位置。

③移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。如解方程< /p>

3

x



5

x



10

，

若移项，

得

5

x



3

x

< p>




10

就出错了，

原因是被移动的项

“

5

x

”

的符号没有改变，

而改变了没 有被移动的项

“

3

x

< br>”

的符号。

④在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。

例

2

：下列各题中的变形为移项的是（ ）。

A.

由

1

1

(

x

< /p>

2

)



1

，得

x



1



1

2

2

B.

由

5

x



3



7

x



5

，得

7

x



5



5

x



3

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C.

由



x



5



2

x



6

，得

2

x



x



5

< p>


6

D.

由

x



5

< br>

8



x

，得

x



x



8



5

三．去括号与去分母

解一元一次方程 的最终目标是要得到“

x



a

”这一结果。为了达到这一目标，方程中有括号就要根据去括

号法则去掉 括号，即为去括号；方程中有分母的，根据等式性质

2

去掉分母 ，即为去分母。

温馨提示

（

1

）解含有括号的一元一次方程时，去括号时 一般遵循去括号的基本法则。但在实际去括号时，应根据方程的

结构特点利用一些方法技 巧，

恰当地去括号，

以简化运算。

对于 一些特殊结构的方程，

可采用以下去括号的技巧：

< p>
①先去外再去内。即在解题时，打破常规，不是由内到外去括号，而是由外到内去括号。

< p>

②整体合并去括号。有些方程，把含有的某些多项式看作整体，先合并， 再去括号，往往会简单。如，解方程

1

3



x



(

x



8

)





(

x



8

)

时，可把

x



8

看作整体先合并，再去括号。

< p>

2

2

（

2

）去分母时，在方程两边要同时乘以所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分 母的项。当分母时小数时，需

要把分母化整。同时注意分母化整只与这一项有关，而与其 他项无关，要与去分母区分开。

例

3

：下列方程去括号正确的是（）。

A .

由

2

x

< /p>

3

(

4



2

x

)



< p>
6

得

2

x



12



2

< br>x



6

B.

由

2

x



3

(

4

< /p>

2

x

)



6

得

2

x

< p>


12



6

x



6

< br>C.

由

2

x



3

(

4



2

x

)

< /p>

6

得

2

x



12



6

x



6

D.

由

2

x



3

(

4



2

x

)



6

得

2

x< /p>



3



6

x



6

< p>
例

4

：方程

3

< p>
x



2

x



1

x



1

，去分母正确的是（）。

< /p>

3



3

2

A.

18

x



2

(

2

x

< p>


1

)



18



3

(

< br>x



1

)

B.

3

x



(

2

x

< /p>

1

)



3



(

x



< p>
1

)

C.

18

x



(

2

x



1

)



18



(

x



1

)

D.

3

x< /p>



2

(

2

x



1

)

< p>


3



3

(

x



1

)

四．解一元一次方程的一般步骤

步骤

去分母

去括号

具体做法

变形依据

在方程的两边同乘各分母的最小公倍数

等式性质

2

先去小括号，再去中括号 ，最后去大括

去括号法则、分配律

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号

把含有未知数的项移到方程的一边，其

移项

它各项都移到方程的另一边（记住移项

要变号）

合并同类项

把方程 化为

ax



b

(

a



0

)< /p>

的形式

在方程的两边都除以未知数的系 数

a

，

系数化为

1

合并同类项法则

等式性质

1

b

得到方程的解

x



a

等式性质

2

温馨提示

1.

解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活< /p>

运用。

2.

在 解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：

（

1

）分子是多项式的，去分母后要加括号；

去分母

（

2

）不要漏乘不含分母的项

（

1

）括号前的数要乘括号内的每一项；

去括号

（

2

）括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号

（

1

）移项时不要漏项；

移项

（

2

）将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置

< p>

时不变号

合并同类项

按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当

< /p>

（

1

）未知数的系数为整数或小数时，方 程两边同除以该系数；

系数化为

1

（

2

）未知数的系数为分数时，方程两 边同乘该系数的倒数

例

5

< p>
：解一元一次方程

x



1

2

x



1





1

。

3

2

掌握方法

一．一元一次方程概念的应用

原方程 为一元一次方程，即未知数的次数为

1

，系数不为

0

，由此来确定原方程中待定字母的值。

例

1

：（

1

< p>
）若

2

x

m



2



1

< br>

2

是关于

x

< br>的一元一次方程，则

m

=

；

（

2

）若方程< /p>

(

m



4

)

x



2014



2015

是关于

x

的一元一次方程，则

m



< p>
。

二．利用合并同类项与移项解方程的方法

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