一元一次方程(公式、因式分解)
-
一元一次方程（公式、因式分解）
用公式法求解一元二次方程
★一元二
次方程
ax
2
的根是
< br>________
，这
个
式
子
叫
做
一
元
二
次
方
程
的
_________
____
，
利
用
它
解
一
元
二
次
方
程
的
方
法
叫
做
______________
．
★一元二次方程
ax
2
bx
c
<
/p>
0(
a
0)<
/p>
：
当
b
2
4
ac
_ _
时，方程有实数根
_______
__________
；
当
b
2
4
ac
_ _
时，方程有实数根
_________________
；
当
b
2
4
ac
_
_
时，方程没有实数根．
题型一：利用根的判别式判断根的个数
例
1
：
下列方程中，没有实数根的是
（
）
< br>A
．
x
2
2
x
1
0
B
．
x
2
2
2
x
2
0
C
．
x
2
2
x
1
0
D
．
x
2
x
2
0
例
2
：
一元二次方程
x
2<
/p>
4
x
4
0
的根的情况是
（
）
A
．有两
个不相等的实数根
B
．有两个相等的实数根
C
．有一个实数根
< br>例
4
：
不解方程，判定下列一元
二次方程根的情况：
（
1
）
9
x
2
6
x
1
0
（
2
）
16
x
2
8
x
3
（
3
）
3
(
x
2
1
)
5
x
0
< br>
例
5
：
已知：关于
x
的方程
x
2
2
m
x
m
2
<
/p>
1
0
．
（
1
）不解方程，
判别方程的根的情况；
（
2
）若方程有一个根为
3
，求
m
的值．
[
来源<
/p>
学科网
]
bx
c
0(<
/p>
a
0)
的根由
方程的
______
确定．当
____
__
时，它
D
．无实数根
题型二：利用根的判别式确定字母的取值
例
1
：
若关于
x
的一元二次方程
4
x
2
4
x
c
0
有两个相等的实数根，则
c
的值是
(
)
A
．－
1
B
．
1
C
．－
4
D
．
4 <
/p>
例
2
：
一元二次
方程
x
2
2
x
m
0
总有实数根，则
m
应满足的条件是
(
)
A
．
m
＞
1
B
．
m
＝
1
C
．
m
＜
1
D
．
m
≤
1
例
3
：
若关于
x
的方程
x
2
x
a
(
)
A
．
< br>a
≥
2
B
．
a
≤
2
C
．
a
＞
2
D
．
a
＜
2
例
4
：
当
k
为何值时，关于
x
的一
元二次方程
x
2
(
2
k
1
)
x
<
/p>
k
2
2
k
3
．
（
1
）有两个不相等的
实数根；
（
2
）有两个相等的实数根；
（
3
）无实根．
【课堂练习】
1
．若关于
x
的方程
x
2
-
x
< br>＋
k=
0
没有实数根，则（
）
A
．
k
＜
9
0
有两个不相等的实数根，则实数
a
的取值范围是
4
1
1
1
1
B
．
k
＞
C
．
k
≤
D
．
k
≥
4
4
4<
/p>
4
2
．已知
k<
/p>
≠
1
，一元二次方程（
< br>k
-
1
）
x
2
+
kx
+
1
=
0
有根
，则
k
的取值范围是（
）
A
．
k
≠
2
B
．
k
＞
2
C
．
k
＜
2
且
k
≠
< br>1
D
．
k
为一切实数
3
．若关于
x
的一元二次方程
(
m
1
)
x
2
2
mx
m
3
0
有
两个不相等的实数根，则
m
的取
值范围
是（
）
3
3
3
3
A
．
m
＜
B
．
m
＜
且
m
≠
1
C
．
m
≤
且
m
≠
1
D
．
m
＞
2
2
2
2
4
．若关于
x
的一元
二次方程
(
a
－
1)
x
2
－
2
x
＋
2
＝<
/p>
0
有实数根，则整数
a
< br>的最大值为（
）
A
．－
1
B
．
0
C
．
1
D
．
2
5<
/p>
．若关于
x
的一元二次方程
x
2
2
< br>x
kb
1
0
有两个不相等的实数根，则
一次函数
y
kx
b
的大致图象可能是（
）
6
．等腰三角形三边长分别为
a
，
b
，
2
，且
a
，
b
是关于
x
的一元二次方程
x
2
－
6
x
＋
n
－
1
＝
0
的两根，则
n
的值为
(
)
A
．
9
B
．
10
C
．
9
或
10
D
．
8
或
10
7
．
关于
x
的一元二
次方程
x
2
5
x
p
2<
/p>
2
p
5
0
的一个实数根
为
1
，
则实数
p
的值是
（
）
A
．
4
B
．
0
或
2
C
．
1
D
．
-
1
2
8
．
一元二次方程
ax
b
x
c
0<
/p>
（
a
≠
0
）
的求根公式是
________
，
条件是
____
____
．
9
．
已知
b
≠
0
，
不解方程，
试判定关于
x
的一元二次方程
x
2<
/p>
(
2
a
b
)
x
(
a
ab
2
b
< br>2
)
0
的
根的情况是
_
___
．
10
．
k
取什么值时，关于
x
的方程
4
x
2
(
k
2
)
x
k
1
0
有两个相等的实数根？求出这时
方程的根
.
11<
/p>
．求证：不论
m
取任何实数，方程
x
2
(
m
1
)
x
12
．
已知
关于
x
的一元二次方程
m
2
x
2
< br>(
2
m
1
)
x
1
0
有两个不相等的实数根，
求
m
的取
值范围．
m
0
都有两个不相等的实数根．
2
13
．
若关于
x
的一元二次方程
(
a
2
)
x
2
2
ax
a
1
0
没有实数解，
求
ax
3
＞
0
的解集
（用
含
a
的式子表示）
．
14
．关于
x
的方
程
(
m
1<
/p>
)
x
m
2
2
(
m
2
)
x
1
0
（
1
）若使方程为一元二次方程，
m
是否存在？若存在，求出
m
并解此方程．
（
2
）若使方程为一元二次方程
m
是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？
15<
/p>
．已知关于
x
的一元二次方程
x
2
2
(
k
1
)
x
k
2
1
0<
/p>
有两个不相等的实数根．
（
1
）求实数
k
的取值范围
：
（
2
）<
/p>
0
可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，
请说明理由．
b
4
ac
b
2
2
★将一元二次方程的一般式
< br>ax
bx
< br>c
0
经过配方法得到
x
2
a
< br>4
a
2
b
b
2
4
ac<
/p>
当
b
4
ac
0
时，有
x
2
a
2
b
b
2
< br>4
ac
一元二次方程的求根公式：
x
2
a
例
1
：
用公式法解一元二次方程
3
x
2
< br>2
x
3
0
时，首先要确定
a
，
b
，
c
< br>的值，下列
叙述
正确的是（
）
< br>A
．
a
3
，
b
2
，
c
3
B
．
a
3
，
b
2
，
c
3
< br>
C
．
a
3
，
b
2
，
< br>c
3
D
．
a
3
，
b
2
，
c
< br>3