一元一次方程知识点和常考题型解析
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一元一次方程知识点和常考题型
一
知识点复习巩固
知识点一：一元一次方程及解的概念
1
、一元一次方程：
一元一
次方程的标准形式是：
ax+b=0(
其中
x
是未知数，
a,b
是已知数，且
a
≠
0)
。<
/p>
要点诠释：
一元一次方程须满足下列三个条件：
（
1
）
只含有一个未知数；
（
2
）
未知数的次数是
1
次；
（
3
）
整式方程．
注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。
2
、方程的解：
判断一个数是否是某方程的解：将
其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：一元一次方程的解法
1
、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）
等式的性质
1
：等式两边加（或减）同一个数（或式子）
，结果仍相等。
如
果
，
1
那
么
；
(c<
/p>
为一个数或一个式子
)
。
等式的性质
2
：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为
0<
/p>
的数，结果仍相等。
如
果
，
那
么
；
2
如
果
，
那
要点诠释：
分数的分子、分母同时乘
以或除以同一个不为
0
的数，分数的值不变。
< br>
即：
（其中
m
≠
0
）
3
么
2
、解一元一次方程的一般步骤：
常用步骤
去分母
在
方
程
两
边
都
乘
以
等式基本性质
2
各
分
母
的
最
小
公
倍
数
去括号
一般先去小括号，再
去括号法则、
分配
注意变号，防止漏乘；
去中括号，最后去大
律
括号
移项
把
含<
/p>
有
未
知
数
的
项
等式基本性质
1
都移到方程的一边，
其
他
项
都
移
到
< br>方
程
的另一边
(
记住移项
要变号
)
合
并
同
类
把方程化成<
/p>
ax
＝
b(a
合
并同类项法则
项
≠
0)
的形式
未知数的系数
a
，得
< br>到方程
的
解
< br>x
＝
系数化成
1
在
方
程
两
边
都
除
以
等式基本性质
2
计算要仔细，不要出差
错；
计算要仔细，分子分母勿
颠倒
移项要变号，不移不变
号；
防止漏乘（尤其整数项）
，
注意添括号；
具体做法
依据
注意事项
要点诠释：
理解方
程
ax=b
在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用
:
4
<
/p>
①
a
≠
0
时，方程有唯一解
；
<
/p>
②
a=0
，
b=
0
时，方程有无数个解；
③<
/p>
a=0
，
b
≠<
/p>
0
时，方程无解。
知识点三：列一元一次方程解应用题
1
、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（
1
）审—
审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。
（
2
）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（
3
）列—列出方程
：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。
（
4
）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（
5
）答—检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，
检验后写出答案，注意带上单位。
2
、常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型：
知识点三：方程与整式、等式的区别
（
1
）从概
念来看：
整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如
2+3=5
，
m
＝
n
＝
n
＋
m
等都叫做等
式，而像－
3a+2b
，
3 m
2
n
不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：
含
有未知数的等式叫做方程。
如
5x
＋<
/p>
3
＝
11
。
理解方程的概念必须明确两点：
①是等式；②含有未知数。两者缺一
不可。
（
2
）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝
”将两个代数式连
接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（
3
）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”
，但
不一定含有未知量；方程既含
有“＝”
，又必须含有未知数。但
整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式
和多项式。
二
常见应用题举例
5
1
、一般行程问题（相遇与追击问题）
1.
行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度
×
时间
时间＝路程
÷
速度
速度＝路程
÷
时间
2.
行程问题基本类型
（
1
）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（
2
）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
1
、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用
3.
6
小时，已知步行速度为每小时
8
千米
，公交车的速
度为每小时
40
千米，设
甲、乙两地相距
x
千米，则列方程为
。
解：等量关系
步行时间－乘公交车的时间＝
3.6
小时
列出方程是：
x
x
3
.
6
8<
/p>
40
2
、某人从家里骑自行车到学校。若
每小时行
15
千米，可比预定时间早到
15
分钟；若每小时行
9
千
米，可比预定时间晚到
15
分钟；求从家里到学校
的路程有多少千米？
解：等量关系
⑴
速度<
/p>
15
千米行的总路程＝速度
9
千米行的总路程
⑵
速度
15
千米行的时间＋
< br>15
分钟＝速度
9
千米行的时间
－
15
分钟
提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：设预定时间为
x
小
/
时，则列出方程是：
15
（
x
－
0.25
）＝<
/p>
9
（
x
＋
0.25
）
方法二
：设从家里到学校有
x
千米，则列出方程是：
< br>x
15
x
15
< br>
15
60
9
60
3
、一列客车车长
200
米，一列
货车车长
280
米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到
两车
车尾完全离开经过
16
秒，已知客
车与货车的速度之比是
3
：
2
，问两车每秒各行驶多少米？
提醒：将两车车
尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和
设客车的速度为
3
< br>x
米
/
秒，货车的速度为
2
x
米
/
秒，则
16
×
3
x
＋
16
×
2
x
＝
200
＋
280
4
、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时
3.6km
，
骑自行车的人的速度是每小时
10.8km
。
如果一列火车从他们背后开
来，
它通过行人的时间是
22
秒，通过
骑自行车的人的时间是
26
秒。⑴
行人的速度为每秒多少米？
⑵
这列火车的车长
是多少米？
提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。
等量关系：
①
两种情形下火车的速度相等
②
两种情形下火车的车长相等
6
在时间已知的情况下，设速度列
路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。
解：⑴
行人的速度是：
3.6km/
时＝
3600
米÷
3600
秒＝
1
< br>米
/
秒
骑自行
车的人的速度是：
10.8km/
时＝
10800
米÷
3600
秒＝
3
米
/
秒
⑵
方法一：设火车的速
度是
x
米
/
秒
，则
26
×
(
x
－
3)
＝
22
×
(
x<
/p>
－
1)
解得
x
＝
4
方法二
：设火车的车长是
x
米，则
x
22
1
x
26
3
22
26
6
、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同
地出发。汽车速度是
60
千
米
/
时，步行的速度是
5
千米
/
时，步行者比汽车提前
1
小时出发，这辆汽车到达目的地后，再
回头接步行的这部分人。出发地
到目的地的距离是
60
千米。问：步行者在出发后经过多少时间
与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）
提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈
即
步行者行的总路程＋汽车行的总路
程＝
60
×
2
解：设步行者在出发后经过
x
小时与回头接他们的汽车相遇，
则
5x
＋
60(x
－
1)
＝
60
×
2
7
、某人计划骑车以每小时
12<
/p>
千米的速度由
A
地到
B
地，这样便可在规定的时间到达
B
地，但他因
事将原计划的时间推迟了
20
分，便只好以每小时
15
千米的速度前进，结果比规定时间
早
4
分
钟到达
B
地，求
A
、
B
两地间的距离。
解：方法一：设由
A
地到
B
地规
定的时间是
x
小时，则
12
x
＝
15
x
<
/p>
20
4
x
＝
2
12
x
＝
12
×
2<
/p>
＝
24(
千米
)
60
60
方法二：设由
A
、
B
两地的距离是
x
千米，则
（设路程，列时间等式）
x
x
20
4
x
＝
24
答：<
/p>
A
、
B
两地的距
离是
24
千米。
12
15
60
60
温馨提醒：当速度已知
，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。
8
、一列火车匀速行驶，经过一条长
300m
的隧道需要
20s
的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂
直向下
发光，灯光照在火车上的时间是
10s
< br>，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是
多少？若不能，请说明理
由。
解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，
前者为此人通过
300
米的隧道再加上一个车长，后者
仅为此人通过一个车长。
此题中告诉时间，只需设车长列速度
关系，或者是设车速列车长关系等式。
解：方法一：设这列火
车的长度是
x
米，根据题意，得
7