一元一次方程培优讲义
-
练习题：
一、选择题：
1
、下列各式中不是代数式的是（
）
A
、π
B
、
0
C
、
2
、用代数式表示比
y
的
2
倍少
1
的数，正确的是（
）
A
、
2( y – 1 )
B
、
2y + 1
C
、
2y – 1
D
、
1 – 2y
1
D
、
a
+
b
=
b
+
a
x
y
< br>3
、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低<
/p>
m
元后，又降价
20%
< br>，现售价为
n
元，那么该电脑的原售价为（
）
A
、
(
4
5
n
m
)
元
< br>B
、
(
5
4
n
m
)
元
C
、
(
5
m
n
)
元
D
、
(
5
n
m
)
元
4
、当
a
1
,
b
1
时，代数式
(
a
b
)
2
1
1
1
3
6
的值是（
）
A
、
12
B
、
6
C
、
4
1
36
<
/p>
5
、
已知公式
1
p
1
m
1
n
，
若
m=5
，
n=3
，
则
p
的值是
（
）
A
、
8
B
、
1
8
8
C
、
15
15
8
6
、下列各式中，是同类项的是（
）
A
、
3
x
2
y
与
3
xy
2
B
、
3
xy
与
2
yx
C
、
2
x
2
与
2
x
D
、
5
xy
与
5
yz
二、填空题：
7
、某商品利润是
a
元，利润率是
20%
，此商品进价是
_________
_____
。
8
、代数式
a
< br>b
2
c
的意义是
______________________________
。
9
、当
m=2
，
n= –5
时，
2
m
2
n
的值是
_______________
___
。
10
、化简
1
m
2
1
m
2
_________________
_________________
。
三、解答题：
11
< br>、已知当
x
1
2
,
y
1
时，代数式
2
xyz
8
x
2
z
的值是
3
，求代数式
2
z
2
z
的值。
D
、
D
、
12
、
一个
塑料三角板，
形状和尺寸如图所示，
（
1
）
求出阴影部分的面积；
（
2
）
当
a=5cm
，
b=4cm
，
r
=1cm
时，计算出阴影部分的面积是多少。
13
、已知
A=x – 2y +
2xy
，
B= 3x – 6y + 4xy
求
3A –
B
。
14
、代数式
x
15
、观察下面一组式子：
（
1
）
1
2
4
< br>x
2
的值为
< br>3
，求代数式
2
x
2
8
x
< br>
5
的值是多少
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
；
（
2
）
；
（
3
）
< br>
（
4
）
…
…
2
2
2<
/p>
3
2
3
3
4
3
4
4
5
4
5
写出这组式子中的
第（
10
）组式子是
________
_______________________
；
第（
n
）组式子是
_
__________________________________
；
利用上面的规建计算：
1
1
=__________________
；
9
10
11
12
3
2
16
、代简求值：
2
(
2
x
6
x
4
)
3
< br>(
x
x
2
x
3
)
，其中
x
3
2
。
3
第三章：一元一次方程
一、方程的有关概念
1
、方程的概念
（
1
）含有未知数的等式叫方程。
（
2
）在一个方程中，只含有一个未知
数，并且未知数的指数是
1
，系数不为
0
，这样的方程叫一
元一次方程。且一元一次方程的一般形式为
：
ax
b
0
(
a
0
)
概念剖析：
①
方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程；
②
等式：用等号“
=
”表示相等关系的式子叫
做等式；
③
一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数
是
1
；知数的系
数不为
0
；
例
1
、
下列式子是方程的是（
）
A
、
3
x
5
y
9
B
、
1
1
7
y
0
C
、
1
D
、
3
5
10
2
9
x
x
例
2
、
下列方程是一元一次方程的是
(
)
A
、
x
2
y
9
B
、
x
2
3
x
1
C
、
3
b
< br>
1
1
1
1
D
、
x
1
3
x
x
2
例
3
、
已知方程
mx
nx
2
、等式的基本
性质
2
0
是关于
x
的
一元一次方程，求
m
、
n
、
b
的值；
（
1
）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数
式，所得结果仍是等式。若
a
b
，则
b
，
a
c
b
c
或
a
c
b
c
。
（
2
）等式两边同时乘以（或除以）同
一个数（除数不能为
0
）
，所得结果仍
是等式。若
a
则
ac
< br>
bc
或
a
b
；
c
c
（
3
）对
称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若
a
（
4
）传递性：如果
a
b
，且
b
例
4
、
用适当的数或式子填空
b
，则
b
a
；
< br>
c
，那么
< br>a
c
，这一性质叫等量代换。
①
如果
2<
/p>
x
3
5
，
那么
2
x
5
____________
；
②
如果
2
x
6
，那么
x
____________
；
<
/p>
3
③
如果
a
3
3
b
12
，那么
___________________
3
b
；
④<
/p>
如果
1
1
a
，那么
2
a
___________________
；
b
2
二
、解方程
1
、解方程及解方程的解的含义
求得方
程的解的过程，叫做解方程。使方程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程
的解
。
例
5
、<
/p>
方程
4
x
1
的解为
___
_________________
；
2
例
6
、
如果
x
1
是
方程
m
(
x
1
)
4
(
x
m
)
的解，则
m
_________________
；<
/p>
例
7
、
程
2
x
a
4
(
x
1
)
的解为
x
3
，则
a
的值为（
）
2
A
、
2
B
、
22
C
、
10
D
、—
2
<
/p>
例
8
若
(
a
3
)
与
2
b
1
互为相反数，则
a
_____________
，
b
__________
；
2
、移项的有关概念
把方程中的某一项改变符号后，
从方程的一边移到另一边，
这种变形的过程叫做移项。
这个
法则是根据等式的性质
推出来的，
是解方程的依据。
要明白移项就是根据解方程变形的
需要，
把
某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。
知识概括：
①
移
项不仅仅是位置变化，
而是将方程的某一项改变符号后，
从方程
的一边移到另一
边；
②
移项
必变号，
“
+
”变“—”
，
“—”变“
+
”
；
“×”
变“÷”<
/p>
，
“÷”变“×”
；即移
加变减，移
乘变除，移减变加，移除变乘；
3
、解一元一次方程的步骤
解一元一次方
程的步骤
1
、去分母
主要依据
等式的性质
2
去括号法则
乘法分配律
等式的性质
1
合并同类项
法则
等式的性质
2
注意问题
注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一
项，分母是小数的，要先
利用分数的性质，把分母化为整数，若
分子是代数式，则必加括号。
严格执行去括号的法则，
若是数乘括号，
切记不漏乘括号内的项，
减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号。
越过“
=
”的叫移
项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注
意不遗漏
,
移项时把含未知数的项移在左边，
已知数移在右边，
< br>书
写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。
< br>
注意在合并时，
仅将系数加到了一起，
而字母及其指数均不改变。
两边同除以未知数的系数
，记住未知数的系数永远是分母（除
数）
，切不可分子、分母颠
倒。
2
、去括号
3
、移项
4
、
合并同类项
5
、
系数化为
1
6
、检验
知识窗口：①
解相同的方程称为同解方程；
②
方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生改变（方程同
解原理
1
）
；方程两边同时
乘以（或除以）同一个不为
0
数或代数式，方程的解不发
生改变（方程同解原理
2
）
< br>；
例
9
、
解程
2
x
1
5
x
<
/p>
1
0
.
5
6
8
解：
根据（
）得：
4
(
2
x
1
)
3
(
5
x
1
)
< br>
12
（
）得：
8
x
4
15
x
3
12
根据（
）得：
8
x
15
<
/p>
12
4
3
（
）得：
7
x
19
根据（
）得：
x
5
2
7
请选择正确的答案填如上面的括号内
A
、去括号
B
、合并同类项
C
、方程等式的性质
1
D
、方程
等式的性质
2
例
10
、
各方程
< br>①
y
y
1
y
2
x
0
.
2
0
.
3
x
4
1
②
2
6
0
.
7
1
.
4
2
2
1
1
)
< br>
④
(
x
1
)
1
(
x
2
)
< br>3
3
2
5
③
6
9
(
x
二、列方程初步（列代数式）
1
、列代数式
（
1
）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有
关的词语用含有数、字母和运算符
号的式子写出来，这就是列代数式。
< br>
（
2
）列代数式的实质也就是
把文字语言转化成数学符号语言，即用代数式表示。
（
3
）正确列代数式的关键是：
①
认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句）
；
②
正确
判断各数量关系中的运算顺序；
③
要理解并掌握基本的数量关系。如：
< br>路程问题：路程
=
时间×速度
速度
=
路程
÷时间
时间
=
路程÷速度
平均速
度
=
总路程÷总时间
轮船航行问题：顺水航行的速度
=
静水速度
+
水流速度
逆水航行的速度
=
静水速度—水流速度
工程问题：工作量
=
工作时间×工作效率
工作效率
=
工作总量÷工作时间
< br>
工作时间
=
工作
总量÷工作效率
价格问题：总价
=
单价×数量
< br>单价
=
总价÷数量
数量<
/p>
=
总价÷单价
利润问题：利润
=
售价—成本
售价<
/p>
=
利润
+
成本<
/p>
成本
=
售价
—利润
数字问题：表示数字的方法：
1
a
个
10
a
十
100
a
百
1000
a
千
10000
a
万
（其中
a
个
、
a
十
、
a
百
、
a
千
、
< br>a
万
表示个位、十位、百位、千位万位的数字）
。
面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特
殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。
例
11
、
用代数式表示
①
甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积；
< br>
②
n
除
m
的商与
c
的差的
< br>2
倍大
1
的数；
例
12
、
< br>设
n
表示任意一个整数利用含有
n
的代数式表示：
①
任意一个偶数；
②
任意一个奇数；③不能被
3
整除的数；④三个连续偶数的平方和；
例
13
、
一项工程甲
单独完成需要
a
天，乙单独完成需要
b
天，若两队合作，完成这项工程需要
多少天？
< br>
例
14
、
一个水池装有两条进水管，
单开甲进水管，
x
小时可以将空池注满，
单开乙进水管，
y
小
时可以将空池注满，则两管一起开，一小时可
以注水多少？
例
15
、
甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小
时共走全
程的几分之几？
例
16
、一
轮船在
A
、
B
两地航行，已知
A
、
B
两地相距
skm
，从
A
到
< br>B
是顺水，从
B
到
A
是
逆水，轮船在静水中的速度为每小时
mkm
，水流的速度为每小时
nkm
，求轮船在
A
、
B
两地间往返一次的平均速度。
例
17
、
轮船在
A
、
B
两地航行，静水中的速度为每小时
mkm
，水流的速度为每小时
nkm
，求
轮船在
A
、
B
两地间往返一次的平均速度。
例
18
、
张大佰从报社以每份
0.4
元的价格购进了
a
份报纸，以每份
0.5
元的价格售出了
b
份，剩